高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数的概念与性质3.4 函数的应用（一）学案

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题型 1一次函数模型的应用
例1 为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(分)与通话费用y(元)的关系如图所示．
(1)分别求出通话费用y1，y2与通话时间x之间的函数解析式；
(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜．
学霸笔记：
一次函数模型的解题策略
(1)一次函数模型问题，常设函数模型为y＝kx＋b(k≠0)，然后用待定系数法求出k，b的值．
(2)一次函数模型的突出特点是其图象是一条直线．
(3)用一次函数解决实际问题时，对于给出图象的应用题可先结合图象利用待定系数法求出解析式．主要步骤是：设元、列式、求解．对于一次函数y＝ax＋b(a≠0)，当a＞0时为增函数，当a＜0时为减函数．另外，要结合题目理解(0，b)和(－，0)这些特殊点的意义．
跟踪训练1 某列火车从北京西站开往石家庄，全程277 km.火车出发10 min开出13 km，之后以120 km/h的速度匀速行驶．试写出火车行驶的总路程s(km)与匀速行驶的时间t(h)之间的函数关系式，并求火车离开北京2 h时火车行驶的路程．
题型 2二次函数模型的应用
例2 某超市经销一种销售成本为每件40元的商品．据市场调查分析，如果按每件50元销售，一周能售出500件；若销售单价每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价为x元(x≥50)，一周的销售量为y.
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)设一周的销售利润为S，写出S与x的函数关系式，并确定当单价在什么范围内变化时，利润随着单价的增大而增大？
(3)在超市对该种商品投入不超过10 000元的情况下，使得一周销售利润达到8 000元，销售单价应定为多少？
学霸笔记：
二次函数模型的应用
根据实际问题建立二次函数模型后，可利用配方法、换元法以及函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题．
跟踪训练2 如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD，已知院墙MN长为25米，篱笆长50米(篱笆全部用完)，设篱笆的一面AB的长为x米．
(1)当AB的长为多少米时，矩形花园的面积为300平方米？
(2)若围成的矩形ABCD的面积为 S 平方米，当 x 为何值时， S 有最大值，最大值是多少？
题型 3分段函数模型的应用
例3 某企业开发了一种大型电子产品，生产这种产品的年固定成本为2 500万元，每生产x百件，需另投入成本c(x)(单位：万元)，当年产量不足30百件时，c(x)＝10x2＋100x；当年产量不小于30百件时，c(x)＝501x＋－4 500.若每百件电子产品的售价为500万元，通过市场分析，该企业生产的电子产品能全部销售完．
(1)求年利润y(万元)关于年产量x(百件)的函数关系式；
(2)年产量为多少百件时，该企业在这一电子产品的生产中获利最大？
题后师说
应用分段函数时的三个关注点
跟踪训练3 某厂生产某种零件，每个零件的成本为30元，出厂单价定为52元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于41元．
(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰好降为41元？
(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式；
(3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)
随堂练习
1.在自然界中，某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表所示：
下面的函数关系式中，能表达这种关系的是( )
A．y＝2x－1 B．y＝x2－1
C．y＝2x＋1 D．y＝1.5x2－2.5x＋2
2．国内快递1 000 g以内的包裹的邮资标准如下表：
如果某人在西安要快递800 g的包裹到距西安1 200 km的某地，那么他应付的邮资是( )
A．5.00元 B．6.00元
C．7.00元 D．8.00元
3．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋4x＋10(万元)，一万件售价是30万元，若商品能全部卖出，则该企业一个月生产该商品的最大利润为( )
A．139万元 B．149万元
C．159万元 D．169万元
4．某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元．
课堂小结
1.解决具体函数模型问题时，要有建模意识，求解函数解析式时要综合应用图形、待定系数法等．
2．解决函数模型应用题时，一要注意自变量的取值范围；二要检验所得结果是否符合实际问题的要求．
3．4 函数的应用(一)
例1 解析：(1)由图象可设y1＝k1x＋30(k1≠0)，y2＝k2x(k2≠0)，把点B(30，35)，C(30，15)分别代入y1＝k1x＋30，y2＝k2x，得k1＝，k2＝.
∴y1＝x＋30(x≥0)，y2＝x(x≥0)．
(2)令y1＝y2，即x＋30＝x，则x＝90.
当x＝90时，y1＝y2，两种卡收费一致；
当x＜90时，y1＞y2，使用便民卡便宜；
当x＞90时，y1＜y2，使用如意卡便宜．
跟踪训练1 解析：因为火车匀速行驶的总时间为(277－13)÷120＝(h)，所以0≤t≤.
因为火车匀速行驶t h所行驶的路程为120t km，所以火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的函数关系式为s＝13＋120t(0≤t≤)．火车离开北京2 h时火车匀速行驶的时间为2－＝(h)，
此时火车行驶的路程s＝13＋120×＝233 (km)．
例2 解析：(1)根据题意，按每件50元销售，一周售出500件，若销售单价每涨1元，每周销售量就减少10件，可得y与x的函数关系式为y＝500－10(x－50)＝1 000－10x，x∈[50，100].
(2)由题意，可得S＝(x－40)y＝(x－40)(1 000－10x)
＝－10x2＋1 400x－40 000＝－10(x－70)2＋9 000，当x∈[50，70]时，利润随着单价的增大而增大．
(3)由题意，令S＝8 000，可得－10x2＋1 400x－40 000＝8 000，
解得x＝60或x＝80.
当x＝60时，成本＝40×[500－10(60－50)]＝16 000＞10 000不符合要求，舍去；当x＝80时，成本＝40×[500－10(80－50)]＝8 000＜10 000符合要求．所以销售单价应定为80元，才能使一周销售利润达到8 000元的同时，投入不超过10 000元．
跟踪训练2 解析：(1)设篱笆的一面AB的长为 x 米，则BC＝(50－2x)m，
由题意得，x(50－2x)＝300，
解得x1＝15，x2＝10，
∵50－2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15，
∴AB的长为15米时，矩形花园的面积为300平方米．
(2)由题意得，S＝x(50－2x)＝－2x2＋50x＝－2(x－12.5)2＋312.5，12.5≤x<25，
∴x＝12.5时， S 取得最大值，此时，S＝312.5，
∴当 x 为12.5米时， S 有最大值，最大值是312.5平方米．
例3 解析：(1)当0当x≥30时，y＝500x－501x－＋4 500－2 500＝2 000－(x＋)，
∴y＝.
(2)当0∴当x＝20时，ymax＝1 500，
当x≥30时，y＝2 000－(x＋)≤2 000－2＝2 000－200＝1 800，
当且仅当x＝，即x＝100时，ymax＝1 800>1 500，
∴年产量为100百件时，该企业获得利润最大，最大利润为1 800万元．
跟踪训练3 解析：(1)设每个零件的实际出厂价恰好降为41元时，一次订购量为x0个，
则x0＝100＋＝650.
(2)当0当100当x≥650时，P＝41.
∴P＝f(x)＝
(3)设工厂获得的利润为L元，则L＝(54－－30)×500＝7 000，
即销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是7 000元．
[随堂练习]
1．解析：根据表中数据可判断函数为一次函数，
将各数据代入y＝2x－1中均成立，故选A.
答案：A
2．解析：通过邮资标准表可得到，当x＝1 200时，y＝7.00元．
故选C.
答案：C
3．解析：利润L(x)＝30x－(x2＋4x＋10)＝－x2＋26x－10＝－(x－13)2＋159，
故最大利润为159万元．故选C.
答案：C
4．解析：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
答案：125
x
1
2
3
…
y
1
3
5
…
运送距离
x(km)
0＜x
≤500
500＜x
≤1 000
1 000＜x
≤1 500
…
邮资y(元)
5.00
6.00
7.00
…