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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第一课时学案
展开题型 1函数周期性的判断
【问题探究1】 (1)观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现?
(2)由诱导公式一:sin (x+2kπ)=sin x,cs (x+2kπ)=cs x.结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?
例1 求下列三角函数的周期:
(1)y=3sin x,x∈R;
(2)y=cs 2x;
(3)y=2sin (x-);
(4)y=|cs 2x|.
题后师说
求三角函数最小正周期的3种常用方法
跟踪训练1 求下列三角函数的最小周期:
(1)y=cs 3x;
(2)y=3sin (2x+);
(3)y=2cs (x-);
(4)y=|sin x|.
题型 2三角函数奇偶性的判断
【问题探究2】 根据诱导公式三可知,对于x∈R,sin (-x)=-sin x,cs (-x)=cs x,这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质?
例2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin (x+);
(2)f(x)=|sin x|+cs x;
(3)f(x)=x2cs (x+).
题后师说
判断三角函数奇偶性的2个策略
跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=sin x cs x;
(2)f(x)=.
题型 3三角函数周期性与奇偶性的综合
例3 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
A.y=cs |2x| B.y=|sin 2x|
C.y=sin (+2x) D.y=cs (-2x)
(2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x,则f()=( )
A.- B. C.- D.
一题多变 将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何?
学霸笔记:三角函数周期性与奇偶性的解题策略
利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值和求解析式的问题.
跟踪训练3 函数f(x)=sin (ωx-)(ω≠0),则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”),若f(x)的周期为π,则ω=________.
随堂练习
1.函数y=3sin (-2x+)最小正周期是( )
A.3 B.π
C. D.-π
2.下列函数中是偶函数的是( )
A.y=sin 2x B.y=-sin 2x
C.y=sin |2x| D.y=sin 2x+1
3.下列函数中周期为π,且为偶函数的是( )
A.y=cs x B.y=sin 2x
C.y=sin D.y=cs x
4.已知f(x)是R上的奇函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),则f(8)=________.
课堂小结
1.求三角函数周期性常用的方法.
2.三角函数奇偶性的判断.
3.三角函数周期性与奇偶性的综合应用.
第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
问题探究1 提示:(1)每相隔1个单位重复出现.
(2)自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化.
例1 解析:(1)法一:因为3sin (x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知y=3sin x的周期为2π.
法二:因为ω=1,所以T=2π.
(2)法一:因为cs 2(x+π)=cs (2x+2π)=cs 2x,由周期函数的定义知,y=cs 2x的周期为π.
法二:因为ω=2,所以T==π.
(3)法一:因为2sin [(x+4π)-]=2sin (x+2π-)=2sin (x-),由周期函数的定义知,y=2sin (x-)的周期为4π.
法二:因为ω=,所以T==4π.
(4)y=|cs 2x|的图象如图:
由图象可知y=|cs 2x|的周期为.
跟踪训练1 解析:(1)因为ω=3,所以T=.
(2)因为ω=2,所以T==π.
(3)因为ω=,所以T==4π.
(4)y=|sin x|的图象如图:
由图象可知y=|sin x|的周期为π.
问题探究2 提示:函数y=sin x是奇函数,函数y=cs x是偶函数.
例2 解析:(1)f(x)=sin (x+)=-cs x,x∈R.
因为∀x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-cs (-x)=-cs x=f(x),
所以函数f(x)=sin (x+)是偶函数.
(2)函数f(x)=|sin x|+cs x的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,又f(-x)=|sin (-x)|+cs (-x)=|sin x|+cs x=f(x),所以函数f(x)=|sin x|+cs x是偶函数.
(3)f(x)=x2cs (x+)=-x2sin x,x∈R,
因为∀x∈R,都有-x∈R,
又f(-x)=-(-x)2sin (-x)=x2sin x=-f(x),
所以函数f(x)=x2cs (x+)为奇函数.
跟踪训练2 解析:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
∵f(-x)=sin (-x)cs (-x)=-sin x cs x=-f(x),
∴f(x)=sin x cs x为奇函数.
(2)由得cs x=1,
∴函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
当cs x=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x),
∴f(x)=既是奇函数又是偶函数.
例3 解析:(1)y=cs |2x|是偶函数,y=|sin 2x|是偶函数,y=sin (+2x)=cs 2x是偶函数,y=cs (-2x)=-sin 2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.故选D.
(2)f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=f()=sin =.
答案:(1)D (2)D
一题多变 解析:f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=-f()=-sin =-.
跟踪训练3 解析:f(x)=sin (ωx-)=-cs ωx.
∴f(-x)=-cs (-ωx)=-cs ωx=f(x),
∴f(x)为偶函数,
又T=π,∴=π,∴ω=±2.
答案: 偶函数 ±2
[随堂练习]
1.解析:由y=3sin (-2x+)的最小正周期为T=得T=π.故选B.
答案:B
2.解析:A、B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin |-2x|=sin |2x|=f(x),
∴y=sin |2x|是偶函数.
答案:C
3.解析:对于A:y=cs x为周期为2π的偶函数,故A错误;对于B:y=sin 2x为周期为π的奇函数,故B错误;对于C:y=sin (2x+)=cs 2x为周期为π的偶函数,故C正确;对于D:y=cs x为周期为4π的偶函数,故D错误.故选C.
答案:C
4.解析:∵f(x+3)=f(x),
∴f(x)是周期函数,3就是它的一个周期.
又f(-x)=-f(x),
∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.
答案:-2
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