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    高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第一课时学案

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册第五章 三角函数5.4 三角函数的图象与性质第一课时学案,共6页。学案主要包含了学习目标,问题探究1,问题探究2等内容,欢迎下载使用。


    题型 1函数周期性的判断
    【问题探究1】 (1)观察f(x)的部分图象,函数图象每相隔多少个单位重复出现?
    (2)由诱导公式一:sin (x+2kπ)=sin x,cs (x+2kπ)=cs x.结合正(余)弦曲线,可以看出正(余)弦函数怎样的特征?图象变化趋势是怎样的?
    例1 求下列三角函数的周期:
    (1)y=3sin x,x∈R;
    (2)y=cs 2x;
    (3)y=2sin (x-);
    (4)y=|cs 2x|.
    题后师说
    求三角函数最小正周期的3种常用方法
    跟踪训练1 求下列三角函数的最小周期:
    (1)y=cs 3x;
    (2)y=3sin (2x+);
    (3)y=2cs (x-);
    (4)y=|sin x|.
    题型 2三角函数奇偶性的判断
    【问题探究2】 根据诱导公式三可知,对于x∈R,sin (-x)=-sin x,cs (-x)=cs x,这说明正弦函数、余弦函数具备怎样的性质?
    例2 判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=sin (x+);
    (2)f(x)=|sin x|+cs x;
    (3)f(x)=x2cs (x+).
    题后师说
    判断三角函数奇偶性的2个策略
    跟踪训练2 判断下列函数的奇偶性:
    (1)f(x)=sin x cs x;
    (2)f(x)=.
    题型 3三角函数周期性与奇偶性的综合
    例3 (1)下列函数中是奇函数,且最小正周期是π的函数是( )
    A.y=cs |2x| B.y=|sin 2x|
    C.y=sin (+2x) D.y=cs (-2x)
    (2)定义在R上的函数f(x)既是偶函数,又是周期函数,若f(x)的最小正周期为π,且当x∈[0,]时,f(x)=sin x,则f()=( )
    A.- B. C.- D.
    一题多变 将本例(2)中的“偶函数”改为“奇函数”,其他条件不变,结果如何?
    学霸笔记:三角函数周期性与奇偶性的解题策略
    利用函数的周期性,可以把x+nT(n∈Z)的函数值转化为x的函数值.利用奇偶性,可以找到-x与x的函数值的关系,从而可解决求值和求解析式的问题.
    跟踪训练3 函数f(x)=sin (ωx-)(ω≠0),则f(x)是________(填“奇函数”或“偶函数”),若f(x)的周期为π,则ω=________.
    随堂练习
    1.函数y=3sin (-2x+)最小正周期是( )
    A.3 B.π
    C. D.-π
    2.下列函数中是偶函数的是( )
    A.y=sin 2x B.y=-sin 2x
    C.y=sin |2x| D.y=sin 2x+1
    3.下列函数中周期为π,且为偶函数的是( )
    A.y=cs x B.y=sin 2x
    C.y=sin D.y=cs x
    4.已知f(x)是R上的奇函数,且f(1)=2,f(x+3)=f(x),则f(8)=________.
    课堂小结
    1.求三角函数周期性常用的方法.
    2.三角函数奇偶性的判断.
    3.三角函数周期性与奇偶性的综合应用.
    第1课时 正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性
    问题探究1 提示:(1)每相隔1个单位重复出现.
    (2)自变量x增加2π的整数倍时,函数值重复出现,图象发生“周而复始”的变化.
    例1 解析:(1)法一:因为3sin (x+2π)=3sin x,由周期函数的定义知y=3sin x的周期为2π.
    法二:因为ω=1,所以T=2π.
    (2)法一:因为cs 2(x+π)=cs (2x+2π)=cs 2x,由周期函数的定义知,y=cs 2x的周期为π.
    法二:因为ω=2,所以T==π.
    (3)法一:因为2sin [(x+4π)-]=2sin (x+2π-)=2sin (x-),由周期函数的定义知,y=2sin (x-)的周期为4π.
    法二:因为ω=,所以T==4π.
    (4)y=|cs 2x|的图象如图:
    由图象可知y=|cs 2x|的周期为.
    跟踪训练1 解析:(1)因为ω=3,所以T=.
    (2)因为ω=2,所以T==π.
    (3)因为ω=,所以T==4π.
    (4)y=|sin x|的图象如图:
    由图象可知y=|sin x|的周期为π.
    问题探究2 提示:函数y=sin x是奇函数,函数y=cs x是偶函数.
    例2 解析:(1)f(x)=sin (x+)=-cs x,x∈R.
    因为∀x∈R,都有-x∈R,
    又f(-x)=-cs (-x)=-cs x=f(x),
    所以函数f(x)=sin (x+)是偶函数.
    (2)函数f(x)=|sin x|+cs x的定义域为R,因为∀x∈R,都有-x∈R,又f(-x)=|sin (-x)|+cs (-x)=|sin x|+cs x=f(x),所以函数f(x)=|sin x|+cs x是偶函数.
    (3)f(x)=x2cs (x+)=-x2sin x,x∈R,
    因为∀x∈R,都有-x∈R,
    又f(-x)=-(-x)2sin (-x)=x2sin x=-f(x),
    所以函数f(x)=x2cs (x+)为奇函数.
    跟踪训练2 解析:(1)函数的定义域为R,关于原点对称.
    ∵f(-x)=sin (-x)cs (-x)=-sin x cs x=-f(x),
    ∴f(x)=sin x cs x为奇函数.
    (2)由得cs x=1,
    ∴函数的定义域为{x|x=2kπ,k∈Z},定义域关于原点对称.
    当cs x=1时,f(-x)=0,f(x)=±f(-x),
    ∴f(x)=既是奇函数又是偶函数.
    例3 解析:(1)y=cs |2x|是偶函数,y=|sin 2x|是偶函数,y=sin (+2x)=cs 2x是偶函数,y=cs (-2x)=-sin 2x是奇函数,根据公式得其最小正周期T=π.故选D.
    (2)f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=f()=sin =.
    答案:(1)D (2)D
    一题多变 解析:f()=f(-π)=f()=f(-π)=f(-)=-f()=-sin =-.
    跟踪训练3 解析:f(x)=sin (ωx-)=-cs ωx.
    ∴f(-x)=-cs (-ωx)=-cs ωx=f(x),
    ∴f(x)为偶函数,
    又T=π,∴=π,∴ω=±2.
    答案: 偶函数 ±2
    [随堂练习]
    1.解析:由y=3sin (-2x+)的最小正周期为T=得T=π.故选B.
    答案:B
    2.解析:A、B是奇函数,D是非奇非偶函数,C符合f(-x)=sin |-2x|=sin |2x|=f(x),
    ∴y=sin |2x|是偶函数.
    答案:C
    3.解析:对于A:y=cs x为周期为2π的偶函数,故A错误;对于B:y=sin 2x为周期为π的奇函数,故B错误;对于C:y=sin (2x+)=cs 2x为周期为π的偶函数,故C正确;对于D:y=cs x为周期为4π的偶函数,故D错误.故选C.
    答案:C
    4.解析:∵f(x+3)=f(x),
    ∴f(x)是周期函数,3就是它的一个周期.
    又f(-x)=-f(x),
    ∴f(8)=f(2+2×3)=f(2)=f(-1+3)=f(-1)=-f(1)=-2.
    答案:-2
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