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七年级下册第7章 一次方程组7.4 实践与探索第2课时教案
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这是一份七年级下册第7章 一次方程组7.4 实践与探索第2课时教案，共4页。教案主要包含了问题探索等内容，欢迎下载使用。
第2课时 用二元一次方程组解决几何问题
教学目标
让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流，去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展.
教学重难点
重点：用方程或方程组表示几何图形中的数量关系.
难点：分析题目中所蕴含的数量关系.
教学过程
导入新课
1.列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?
2.上一节课我们探索了1个与生活密切相关的问题，它可以利用二元一次方程组来解决.今天我们再来探索一个有趣的问题.
探究新知
合作探究
小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图（1）所示的一个大的长方形.
小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2） 所示的正方形.咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！你能求出这些长方形的长和宽吗？
图（1） 图（2）
让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以作以下引导：
1.观察小明的拼图，你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗?
(根据长方形的对边相等，得3x＝5y)
2.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm的另一个关系式吗?
（1）两种拼图的面积之间的关系：
S大正方形−8×S长方形＝22，
即（x+2y）2−8xy=4.
这是没有研究过的方程，需要重新研究.
（2）再观察小红的拼图.
图7.4.2
观察图形，有x+2y=2x+2.
构成方程组 解得
所以长方形的长和宽分别为10 mm和6 mm.
想一想：用这8块大小一样的长方形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2 mm的小正方形洞?其中的道理是什么?
8个长方形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)，
大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)，
484－480＝4＝22.
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个边长恰好是2 mm的小正方形.
做一做.
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种方法，谈谈你的感受.
问题1：设长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列方程组
（1） （2）
问题2：七年级捐款x元，八年级捐款y元.
由题意得：
拓展延伸
例 某人乘一辆匀速行驶的汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数(表示千米)；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少.
【问题探索】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/时，那么这个两位数数值就是10y+x， 1小时后里程碑上的数值是10x＋y，又经过1小时，他看到第三块里程碑上数值是100y＋x，所以可列方程(10x＋y)－(10y＋x) =z与(100y＋x)－(10x＋y)=z，求得x与y的比例关系，再通过数字x,y满足0≤x≤9,1≤y≤9，确定出x,y的取值，代入即可求得z的值.
解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/时.
由题意，得
化简，得
由③÷④，得 ，即x＝6y.
又因为0≤x≤9,1≤y≤9，且x，y为整数，
所以x只能取6，y＝1，
所以z＝9×(6－1)＝45.即汽车的速度是45千米/时.
【总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字x，y之间的关系.另外注意题目中的隐含条件，数字x，y满足0≤x≤9,1≤y≤9，且x，y为整数.
课堂练习
1.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为110 cm，此时木桶中水的深度是（ ）
A.60 cm B.50 cm C.40 cm D.30 cm
2.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图（1）方式放置，再交换两木块的位置，按图（2）方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是 .
图（1） 图（2）
3.如图所示，大长方形图案由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的宽为30 cm，求图中每一个小长方形的面积.
参考答案
1. C 2. 76 cm
3. 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
由题意，得x+y=30，x+4y=2x，
解得x=24，y=6.
故一个小长方形的面积为24×6＝144（cm2）.
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)检验并作答.
布置作业
课本第43页习题7.4.
板书设计
第7章 一次方程组
7.4 实践与探索
第2课时 用二元一次方程组解决几何问题
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)检验并作答.
例
教学反思
教学反思
教学反思
教学反思
第2课时 用二元一次方程组解决几何问题
教学目标
让学生综合运用已有的知识，经过自主探索、互相交流，去尝试用二元一次方程组解决与生活密切相关的问题，在探索和解决问题的过程中获得体验，得到发展.
教学重难点
重点：用方程或方程组表示几何图形中的数量关系.
难点：分析题目中所蕴含的数量关系.
教学过程
导入新课
1.列二元一次方程组解决实际问题的关键是什么?
2.上一节课我们探索了1个与生活密切相关的问题，它可以利用二元一次方程组来解决.今天我们再来探索一个有趣的问题.
探究新知
合作探究
小明在拼图时，发现 8 个大小一样的长方形，恰好可以拼成如图（1）所示的一个大的长方形.
小红看见了，说：“我来试一试.”结果小红七拼八凑，拼成如图（2） 所示的正方形.咳，怎么中间还留下了一个洞，恰好是边长为 2 mm 的小正方形！你能求出这些长方形的长和宽吗？
图（1） 图（2）
让学生充分思考，并与伙伴交流后，教师可以作以下引导：
1.观察小明的拼图，你能发现小长方形的长x mm与宽y mm之间的数量关系吗?
(根据长方形的对边相等，得3x＝5y)
2.再观察小红的拼图，你能写出表示小长方形的长x mm与宽y mm的另一个关系式吗?
（1）两种拼图的面积之间的关系：
S大正方形−8×S长方形＝22，
即（x+2y）2−8xy=4.
这是没有研究过的方程，需要重新研究.
（2）再观察小红的拼图.
图7.4.2
观察图形，有x+2y=2x+2.
构成方程组 解得
所以长方形的长和宽分别为10 mm和6 mm.
想一想：用这8块大小一样的长方形拼成的正方形，为什么中间会留下一个边长为2 mm的小正方形洞?其中的道理是什么?
8个长方形的面积和＝8xy＝8×10×6=480(mm2)，
大正方形的面积=(x+2y)2＝(10+2×6)2＝484(mm2)，
484－480＝4＝22.
因此小红拼出的大正方形中间还留下了一个边长恰好是2 mm的小正方形.
做一做.
把第6章实践与探索提出的问题，用本章的方法来处理，并比较两种方法，谈谈你的感受.
问题1：设长方形的长为x cm，宽为y cm，根据题意列方程组
（1） （2）
问题2：七年级捐款x元，八年级捐款y元.
由题意得：
拓展延伸
例 某人乘一辆匀速行驶的汽车，他看到第一块里程碑上写着一个两位数(表示千米)；经过1小时，他看到第二块里程碑写的两位数恰好是第一块里程碑上的数字互换了；又经过1小时，他看到第三块里程碑上写着一个三位数，这个三位数恰好是第一块里程碑上的两位数中间加上一个0，问汽车的速度是多少.
【问题探索】假设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/时，那么这个两位数数值就是10y+x， 1小时后里程碑上的数值是10x＋y，又经过1小时，他看到第三块里程碑上数值是100y＋x，所以可列方程(10x＋y)－(10y＋x) =z与(100y＋x)－(10x＋y)=z，求得x与y的比例关系，再通过数字x,y满足0≤x≤9,1≤y≤9，确定出x,y的取值，代入即可求得z的值.
解：设这个两位数的个位数字是x，十位数字是y，汽车的速度为z千米/时.
由题意，得
化简，得
由③÷④，得 ，即x＝6y.
又因为0≤x≤9,1≤y≤9，且x，y为整数，
所以x只能取6，y＝1，
所以z＝9×(6－1)＝45.即汽车的速度是45千米/时.
【总结】(学生总结，老师点评)解决本题的关键是根据题目的具体说明，列出方程组，求得数字x，y之间的关系.另外注意题目中的隐含条件，数字x，y满足0≤x≤9,1≤y≤9，且x，y为整数.
课堂练习
1.如图，两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，在桶中加入水后，一根露出水面的长度是它的，另一根露出水面的长度是它的.两根铁棒长度之和为110 cm，此时木桶中水的深度是（ ）
A.60 cm B.50 cm C.40 cm D.30 cm
2.利用两块相同的长方体木块测量一张桌子的高度.首先按图（1）方式放置，再交换两木块的位置，按图（2）方式放置.测量的数据如图，则桌子的高度是 .
图（1） 图（2）
3.如图所示，大长方形图案由10个完全一样的小长方形拼成，若大长方形的宽为30 cm，求图中每一个小长方形的面积.
参考答案
1. C 2. 76 cm
3. 解：设小长方形的长为x cm，宽为y cm，
由题意，得x+y=30，x+4y=2x，
解得x=24，y=6.
故一个小长方形的面积为24×6＝144（cm2）.
课堂小结
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)检验并作答.
布置作业
课本第43页习题7.4.
板书设计
第7章 一次方程组
7.4 实践与探索
第2课时 用二元一次方程组解决几何问题
列二元一次方程组解应用题的步骤：
(1)审清题意，弄清各个量之间的关系，找出等量关系；
(2)设未知数；
(3)列出方程，联立方程，得二元一次方程组；
(4)解二元一次方程组；
(5)检验并作答.
例
教学反思
教学反思
教学反思
教学反思
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