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湖北省咸宁市赤壁市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷
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这是一份湖北省咸宁市赤壁市2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷，共22页。
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（3，1）
2．（3分）如图，是△ABC的高的线段是（ ）
A．线段BCB．线段ECC．线段BDD．线段CD
3．（3分）正十边形的外角和是（ ）
A．144°B．180°C．360°D．1440°
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
5．（3分）如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ）
A．1cmB．4cmC．9cmD．12cm
6．（3分）边长为2和4的等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
7．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为DE，下列式子中正确的是（ ）
A．∠2＝2∠A+∠1B．∠2＝∠A+∠1
C．∠2＝∠A+2∠1D．∠A+∠1+∠2＝180°
8．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
二.细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 度．
10．（3分）n边形的内角和与外角和相等，则n＝ ．
11．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 ．
13．（3分）如图，CE是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，则∠BCE的大小为 ．
14．（3分）在△ABC中，已知点D、E分别是边上BC、AD的中点，若△ABC面积为12cm2，则△BDE的面积为 cm2．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC放在平面直角坐标系中，C（﹣1，0），B（2，1），点A在第二象限，则点A的坐标为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，∠BAD＝α（0°＜α＜60° ），将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，AD的延长线交BE于点F．下列结论：①△AEC是等边三角形；②AF垂直平分BE；③若BC平分∠ABE，则必平分∠ACE；④∠BEC＝120°．其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）
三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（7分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，且∠ADE＝∠AED．试写出图中的一对全等三角形（写一对即可），并说明理由．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）若∠B＝30°，则∠ADC的度数为 ；
（2）若E是BD 的中点，△ADE的面积为16，AC＝8，求BD的长．
19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，Rt△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．按要求完成下列作图：
（1）将Rt△ABC向右平移，使AC边落在直线l上，得到Rt△A1B1C1．
（2）作出Rt△ABC关于直线l对称的Rt△A2B2C2．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否关于某条直线m对称，若是，画出直线m，若不是，请说明理由．（作直线m要求尺规作图，保留作图痕迹）
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，若AD＝BD，AC＝DC，求∠DAC的度数．
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）请用无刻度直尺分别作出△ABC的高AD，BM；（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）
（3）△ABM的面积是 ．
22．（10分）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．
（1）若∠A＝50°，则∠P＝ ；
（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E．
（1）若AB＝AD，求证：AD∥BC；
（2）试探究线段AB，BE，CE的数量关系，并说明理由．
24．（12分）如图1，点D，E，F分别在等边△ABC的三条边上，且BE＝CF，AB＝6．
（1）若BF＝CD，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若△BEF是直角三角形，求BE的长；
（3）如图2，若点D是AC边中点，点E，F分别在边AB，BC上运动，当△DEF的周长最小时，直接写出此时∠EDF的度数．
2023-2024学年湖北省咸宁市赤壁市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）点（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（3，1）
【解答】解：点P（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3），
故选：A．
2．（3分）如图，是△ABC的高的线段是（ ）
A．线段BCB．线段ECC．线段BDD．线段CD
【解答】解：线段BD是△ABC的AC边上的高，
故选：C．
3．（3分）正十边形的外角和是（ ）
A．144°B．180°C．360°D．1440°
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴正十边形的外角和是360°．
故选：C．
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ）
A．1cmB．4cmC．9cmD．12cm
【解答】解：如图，连接BD，
在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm，
在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm，
所以5cm＜BD＜11cm．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
6．（3分）边长为2和4的等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长为10．
故选：B．
7．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为DE，下列式子中正确的是（ ）
A．∠2＝2∠A+∠1B．∠2＝∠A+∠1
C．∠2＝∠A+2∠1D．∠A+∠1+∠2＝180°
【解答】解：设AC与A′D交于点F，由折叠得∠A′＝∠A，
∴∠AFD＝∠A′+∠1＝∠A+∠1，
∴∠2＝∠A+∠AFD＝∠A+∠A+∠1＝2∠A+∠1，
故A正确，B错误；
假设∠2＝∠A+2∠1正确，则2∠A+∠1＝∠A+2∠1，
∴∠A＝∠1，
∵∠1变化而∠A不变，
∴∠A与∠1不相等，
∴∠2＝∠A+2∠1不正确，
故③错误；
∵∠A′+∠1+∠A′FE＝180°，且∠A′＝∠A，∠A′FE＝∠DFC，
∴∠A+∠1+∠DFC＝180°，
若∠A+∠1+∠2＝180°正确，则∠2＝∠DFC，
观察图形可知，∠2随∠DFC的增大而减小，
∴∠2与∠DFC不一定相等，
故④错误，
故选：A．
8．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
二.细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 65 度．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为25°，
∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
10．（3分）n边形的内角和与外角和相等，则n＝ 4 ．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝360，解得n＝4．
因而四边形的内角和等于外角和．
11．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 5 条对称轴．
【解答】解：五角星是非常美丽的图案，它有5条对称轴．
故答案为：5．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 55° ．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为：55°．
13．（3分）如图，CE是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，则∠BCE的大小为 90° ．
【解答】解：∵多边形是正六边形，
∴∠D＝∠BCD＝＝120°，CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CDE＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BCE＝90°，
故答案为：90°．
14．（3分）在△ABC中，已知点D、E分别是边上BC、AD的中点，若△ABC面积为12cm2，则△BDE的面积为 3 cm2．
【解答】解：∵点D、E分别是边上BC、AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC，
∴S△BDE＝S△ABC＝×12＝3（cm）2．
故答案为：3．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC放在平面直角坐标系中，C（﹣1，0），B（2，1），点A在第二象限，则点A的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE＝90°﹣∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∵C（﹣1，0），B（2，1），
∴OC＝1，OE＝2，BE＝1，
∴CD＝BE＝1，AD＝CE＝OC+OE＝3，
∴OD＝CD+OC＝2，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，∠BAD＝α（0°＜α＜60° ），将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，AD的延长线交BE于点F．下列结论：①△AEC是等边三角形；②AF垂直平分BE；③若BC平分∠ABE，则必平分∠ACE；④∠BEC＝120°．其中正确的结论是 ②③④ .（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：①由翻折的性质得：AB＝AE＝AC，∠EAC＝120°﹣2α，
只有当α＝30°时，△AEC才能是等边三角形，
故①是错误的；
②由翻折的性质得：AB＝AE，BD＝DE，∴AF垂直平分BE，故②是正确的；
③∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠EBA＝2∠ABC＝60°，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠EAC＝60°，
∵AB＝AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠ACE＝60°，
∴BC平分∠ACE，
故③是正确的；
④∵AB＝AE＝AC，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEB+∠AEC＝∠ABE+∠ACE＝∠BEC，
∵∠ABE+∠BEC+∠ACE+∠BAC＝360°，
∴2∠BEC+120°＝360°，
∴∠BEC＝120°，
故④是正确的；
故答案为：②③④．
三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（7分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，且∠ADE＝∠AED．试写出图中的一对全等三角形（写一对即可），并说明理由．
【解答】解：△ABE≌△ACD．
理由如下：
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）若∠B＝30°，则∠ADC的度数为 60° ；
（2）若E是BD 的中点，△ADE的面积为16，AC＝8，求BD的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝，
∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD
＝180°﹣90°﹣30°
＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵AC＝8，△ADE的面积为16，
∴，
，
4DE＝16，
DE＝4，
∵E为BD中点，
∴BD＝2DE＝8．
19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，Rt△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．按要求完成下列作图：
（1）将Rt△ABC向右平移，使AC边落在直线l上，得到Rt△A1B1C1．
（2）作出Rt△ABC关于直线l对称的Rt△A2B2C2．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否关于某条直线m对称，若是，画出直线m，若不是，请说明理由．（作直线m要求尺规作图，保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图，Rt△A1B1C1即为所求．
（2）如图，Rt△A2B2C2即为所求．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是关于直线m对称．
如图，直线m即为所求．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，若AD＝BD，AC＝DC，求∠DAC的度数．
【解答】解：设∠C＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x，
∵DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝2x，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x，
∴x+x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠DAC＝72°，
即∠DAC＝72°．
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）△ABC的面积是 3 ；
（2）请用无刻度直尺分别作出△ABC的高AD，BM；（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）
（3）△ABM的面积是 2 ．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝•BC•AD＝×2×3＝3．
故答案为：3；
（2）如图，线段AD，BM即为所求；
（3）∵AM＝2，BM＝，AM⊥BM，
∴△ABM的面积＝•AM•BM＝×2×＝2．
故答案为：2．
22．（10分）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．
（1）若∠A＝50°，则∠P＝ 65° ；
（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．
【解答】解：（1）∵点P是△ABC两外角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝[360°﹣（180°﹣∠A）]＝（180+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠P＝65°；
故答案为：65°；
（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
（3）如图，
延长BA、CD交于Q，
则∠P＝90°﹣∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P．
∴∠BAD+∠CDA
＝180°+∠Q
＝180°+180°﹣2∠P
＝360°﹣2∠P．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E．
（1）若AB＝AD，求证：AD∥BC；
（2）试探究线段AB，BE，CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：AB＝BE﹣CE，理由如下：
过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∵∠BAD+∠DAF＝180°，∠BAD+∠C＝90°，
∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE，
∵AB＝BF﹣AF，
∴AB＝BE﹣CE．
24．（12分）如图1，点D，E，F分别在等边△ABC的三条边上，且BE＝CF，AB＝6．
（1）若BF＝CD，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若△BEF是直角三角形，求BE的长；
（3）如图2，若点D是AC边中点，点E，F分别在边AB，BC上运动，当△DEF的周长最小时，直接写出此时∠EDF的度数．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵BE＝CF，BF＝CD，
∴△EBF≌△FCD（SAS），
∴EF＝FD，∠BFE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC＝120°，
∴∠BFE+∠DFC＝120°，
∴∠EFD＝60°，
又∵EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形；
（2）若∠BFE＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，
∵BE＝CF，
∴CF＝2BF，
即BE＝CF＝BC＝4，
若∠BEF＝90°，
同理可求BE＝2，
综上所述，若△BEF是直角三角形，BE＝2或4；
（3）作D关于AC的对称点N，点D关于BA的对称点M，连接MN交AB于点E，交BC于点F，
则此时，△DEF的周长最小，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AM＝CN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠MAD＝∠DCN＝120°，
∴∠ADM＝∠CDN＝30°，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴DM＝DN，
∴∠DMN＝∠DNM＝30°，
∵ME＝DE，DF＝FN，
∴∠EMD＝∠EDM＝∠FDN＝∠FND＝30°，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADM﹣∠EDM﹣∠CDN﹣∠FDN＝60°．
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（3，1）
2．（3分）如图，是△ABC的高的线段是（ ）
A．线段BCB．线段ECC．线段BDD．线段CD
3．（3分）正十边形的外角和是（ ）
A．144°B．180°C．360°D．1440°
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
5．（3分）如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ）
A．1cmB．4cmC．9cmD．12cm
6．（3分）边长为2和4的等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
7．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为DE，下列式子中正确的是（ ）
A．∠2＝2∠A+∠1B．∠2＝∠A+∠1
C．∠2＝∠A+2∠1D．∠A+∠1+∠2＝180°
8．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
二.细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 度．
10．（3分）n边形的内角和与外角和相等，则n＝ ．
11．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 条对称轴．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 ．
13．（3分）如图，CE是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，则∠BCE的大小为 ．
14．（3分）在△ABC中，已知点D、E分别是边上BC、AD的中点，若△ABC面积为12cm2，则△BDE的面积为 cm2．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC放在平面直角坐标系中，C（﹣1，0），B（2，1），点A在第二象限，则点A的坐标为 ．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，∠BAD＝α（0°＜α＜60° ），将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，AD的延长线交BE于点F．下列结论：①△AEC是等边三角形；②AF垂直平分BE；③若BC平分∠ABE，则必平分∠ACE；④∠BEC＝120°．其中正确的结论是 .（把你认为正确结论的序号都填上）
三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（7分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，且∠ADE＝∠AED．试写出图中的一对全等三角形（写一对即可），并说明理由．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）若∠B＝30°，则∠ADC的度数为 ；
（2）若E是BD 的中点，△ADE的面积为16，AC＝8，求BD的长．
19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，Rt△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．按要求完成下列作图：
（1）将Rt△ABC向右平移，使AC边落在直线l上，得到Rt△A1B1C1．
（2）作出Rt△ABC关于直线l对称的Rt△A2B2C2．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否关于某条直线m对称，若是，画出直线m，若不是，请说明理由．（作直线m要求尺规作图，保留作图痕迹）
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，若AD＝BD，AC＝DC，求∠DAC的度数．
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）△ABC的面积是 ；
（2）请用无刻度直尺分别作出△ABC的高AD，BM；（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）
（3）△ABM的面积是 ．
22．（10分）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．
（1）若∠A＝50°，则∠P＝ ；
（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E．
（1）若AB＝AD，求证：AD∥BC；
（2）试探究线段AB，BE，CE的数量关系，并说明理由．
24．（12分）如图1，点D，E，F分别在等边△ABC的三条边上，且BE＝CF，AB＝6．
（1）若BF＝CD，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若△BEF是直角三角形，求BE的长；
（3）如图2，若点D是AC边中点，点E，F分别在边AB，BC上运动，当△DEF的周长最小时，直接写出此时∠EDF的度数．
2023-2024学年湖北省咸宁市赤壁市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.精心选一选（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）
1．（3分）点（﹣1，3）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（3，﹣1）D．（3，1）
【解答】解：点P（﹣1，3）关于y轴对称的点的坐标是（1，3），
故选：A．
2．（3分）如图，是△ABC的高的线段是（ ）
A．线段BCB．线段ECC．线段BDD．线段CD
【解答】解：线段BD是△ABC的AC边上的高，
故选：C．
3．（3分）正十边形的外角和是（ ）
A．144°B．180°C．360°D．1440°
【解答】解：∵多边形的外角和等于360°，
∴正十边形的外角和是360°．
故选：C．
4．（3分）根据下列已知条件，能作出唯一△ABC的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，CA＝8
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°
C．∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4
D．∠C＝90°，∠B＝30°，∠A＝60°
【解答】解：A．∵AB＝3，BC＝4，CA＝8，AB+BC＜CA，
∴不能画出三角形，故本选项不合题意；
B．AB＝4，BC＝3，∠A＝60°，不能画出唯一三角形，故本选项不合题意；
C．当∠A＝60°，∠B＝45°，AB＝4时，根据“ASA”可判断△ABC的唯一性；
D．已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
5．（3分）如图，将四根长度分别为3cm，5cm，7cm，8cm的木条钉成一个四边形木架，扭动它，它的形状会发生改变，在变化过程中，点B和点D之间的距离可能是（ ）
A．1cmB．4cmC．9cmD．12cm
【解答】解：如图，连接BD，
在△ABD中，7cm﹣5cm＜BD＜7cm+5cm，即2cm＜BD＜12cm，
在△BCD中，8cm﹣3cm＜BD＜8cm+3cm，即5cm＜BD＜11cm，
所以5cm＜BD＜11cm．
观察选项，只有选项C符合题意．
故选：C．
6．（3分）边长为2和4的等腰三角形的周长为（ ）
A．8B．10C．12D．8或10
【解答】解：①2是腰长时，三角形的三边分别为2、2、4，
∵2+2＝4，
∴不能组成三角形，
②2是底边时，三角形的三边分别为2、4、4，
能组成三角形，
周长＝2+4+4＝10，
综上所述，它的周长为10．
故选：B．
7．（3分）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的点A'处，折痕为DE，下列式子中正确的是（ ）
A．∠2＝2∠A+∠1B．∠2＝∠A+∠1
C．∠2＝∠A+2∠1D．∠A+∠1+∠2＝180°
【解答】解：设AC与A′D交于点F，由折叠得∠A′＝∠A，
∴∠AFD＝∠A′+∠1＝∠A+∠1，
∴∠2＝∠A+∠AFD＝∠A+∠A+∠1＝2∠A+∠1，
故A正确，B错误；
假设∠2＝∠A+2∠1正确，则2∠A+∠1＝∠A+2∠1，
∴∠A＝∠1，
∵∠1变化而∠A不变，
∴∠A与∠1不相等，
∴∠2＝∠A+2∠1不正确，
故③错误；
∵∠A′+∠1+∠A′FE＝180°，且∠A′＝∠A，∠A′FE＝∠DFC，
∴∠A+∠1+∠DFC＝180°，
若∠A+∠1+∠2＝180°正确，则∠2＝∠DFC，
观察图形可知，∠2随∠DFC的增大而减小，
∴∠2与∠DFC不一定相等，
故④错误，
故选：A．
8．（3分）到三角形三个顶点距离相等的点是（ ）
A．三边高线的交点
B．三边垂直平分线的交点
C．三条中线的交点
D．三条内角平分线的交点
【解答】解：到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，
故选：B．
二.细心填一填（本大题共8小题，每小题3分，满分24分.请把答案填在答题卷相应题号的横线上）
9．（3分）直角三角形的一个锐角为25°，则它的另一个锐角为 65 度．
【解答】解：∵直角三角形的一个锐角为25°，
∴它的另一个锐角为90°﹣25°＝65°．
故答案为：65．
10．（3分）n边形的内角和与外角和相等，则n＝ 4 ．
【解答】解：根据题意，得
（n﹣2）•180＝360，解得n＝4．
因而四边形的内角和等于外角和．
11．（3分）如图，五角星是非常美丽的图案，它有 5 条对称轴．
【解答】解：五角星是非常美丽的图案，它有5条对称轴．
故答案为：5．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD＝35°，则∠C的度数为 55° ．
【解答】解：AB＝AC，D为BC中点，
∴AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠C，
∵∠BAD＝35°，
∴∠BAC＝2∠BAD＝70°，
∴∠C＝（180°﹣70°）＝55°．
故答案为：55°．
13．（3分）如图，CE是正六边形（六条边相等，六个内角相等）的一条对角线，则∠BCE的大小为 90° ．
【解答】解：∵多边形是正六边形，
∴∠D＝∠BCD＝＝120°，CD＝DE，
∴∠DCE＝∠CDE＝×（180°﹣120°）＝30°，
∴∠BCE＝90°，
故答案为：90°．
14．（3分）在△ABC中，已知点D、E分别是边上BC、AD的中点，若△ABC面积为12cm2，则△BDE的面积为 3 cm2．
【解答】解：∵点D、E分别是边上BC、AD的中点，
∴S△BDE＝S△ABD，S△ABD＝S△ABC，
∴S△BDE＝S△ABC＝×12＝3（cm）2．
故答案为：3．
15．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，将△ABC放在平面直角坐标系中，C（﹣1，0），B（2，1），点A在第二象限，则点A的坐标为 （﹣2，3） ．
【解答】解：作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则∠ADC＝∠CEB＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE＝90°﹣∠ACD，
在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∵C（﹣1，0），B（2，1），
∴OC＝1，OE＝2，BE＝1，
∴CD＝BE＝1，AD＝CE＝OC+OE＝3，
∴OD＝CD+OC＝2，
∴A（﹣2，3），
故答案为：（﹣2，3）．
16．（3分）如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D在BC上运动，∠BAD＝α（0°＜α＜60° ），将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接BE，CE，AD的延长线交BE于点F．下列结论：①△AEC是等边三角形；②AF垂直平分BE；③若BC平分∠ABE，则必平分∠ACE；④∠BEC＝120°．其中正确的结论是 ②③④ .（把你认为正确结论的序号都填上）
【解答】解：①由翻折的性质得：AB＝AE＝AC，∠EAC＝120°﹣2α，
只有当α＝30°时，△AEC才能是等边三角形，
故①是错误的；
②由翻折的性质得：AB＝AE，BD＝DE，∴AF垂直平分BE，故②是正确的；
③∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠ABC＝∠ACB＝30°，
∵BC平分∠ABE，
∴∠EBA＝2∠ABC＝60°，
∵AB＝AE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠BAE＝60°，
∴∠EAC＝60°，
∵AB＝AE＝AC，
∴△AEC是等边三角形，
∴∠ACE＝60°，
∴BC平分∠ACE，
故③是正确的；
④∵AB＝AE＝AC，
∴∠ABE＝∠AEB，∠ACE＝∠AEC，
∴∠AEB+∠AEC＝∠ABE+∠ACE＝∠BEC，
∵∠ABE+∠BEC+∠ACE+∠BAC＝360°，
∴2∠BEC+120°＝360°，
∴∠BEC＝120°，
故④是正确的；
故答案为：②③④．
三.专心解一解（本大题共8小题，满分72分.请认真读题，冷静思考，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）
17．（7分）如图，△ABC中，∠B＝∠C，点D，E在边BC上，且∠ADE＝∠AED．试写出图中的一对全等三角形（写一对即可），并说明理由．
【解答】解：△ABE≌△ACD．
理由如下：
∵∠B＝∠C，
∴AB＝AC，
在△ABE和△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（AAS）．
18．（8分）如图，△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线．
（1）若∠B＝30°，则∠ADC的度数为 60° ；
（2）若E是BD 的中点，△ADE的面积为16，AC＝8，求BD的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAB＝180°﹣∠C﹣∠B＝180°﹣90°﹣30°＝60°，
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝，
∵∠C+∠CAD+∠ADC＝180°，
∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD
＝180°﹣90°﹣30°
＝60°，
故答案为：60°；
（2）∵AC＝8，△ADE的面积为16，
∴，
，
4DE＝16，
DE＝4，
∵E为BD中点，
∴BD＝2DE＝8．
19．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的长方形网格，Rt△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．按要求完成下列作图：
（1）将Rt△ABC向右平移，使AC边落在直线l上，得到Rt△A1B1C1．
（2）作出Rt△ABC关于直线l对称的Rt△A2B2C2．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是否关于某条直线m对称，若是，画出直线m，若不是，请说明理由．（作直线m要求尺规作图，保留作图痕迹）
【解答】解：（1）如图，Rt△A1B1C1即为所求．
（2）如图，Rt△A2B2C2即为所求．
（3）Rt△A1B1C1与Rt△A2B2C2是关于直线m对称．
如图，直线m即为所求．
20．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，连接AD，若AD＝BD，AC＝DC，求∠DAC的度数．
【解答】解：设∠C＝x，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝x，
∵DB＝DA，
∴∠DAB＝∠B＝x，
∴∠ADC＝∠DAB+∠B＝2x，
∵CA＝CD，
∴∠CAD＝∠ADC＝2x，
∴x+x+2x+x＝180°，
解得：x＝36°，
∴∠DAC＝72°，
即∠DAC＝72°．
21．（9分）如图是由边长为1的小正方形组成的正方形网格，△ABC的顶点都在格点（正方形的顶点）上．
（1）△ABC的面积是 3 ；
（2）请用无刻度直尺分别作出△ABC的高AD，BM；（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）
（3）△ABM的面积是 2 ．
【解答】解：（1）△ABC的面积＝•BC•AD＝×2×3＝3．
故答案为：3；
（2）如图，线段AD，BM即为所求；
（3）∵AM＝2，BM＝，AM⊥BM，
∴△ABM的面积＝•AM•BM＝×2×＝2．
故答案为：2．
22．（10分）如图1，点P是△ABC两外角平分线的交点．
（1）若∠A＝50°，则∠P＝ 65° ；
（2）探究∠P与∠A的数量关系并说明理由；
（3）如图2，点P是四边形ABCD相邻两外角平分线的交点，请直接写出∠P与∠A，∠D的数量关系．
【解答】解：（1）∵点P是△ABC两外角平分线的交点，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠MBC+∠NCB）＝（180°﹣∠ABC+180°﹣∠ACB）＝[360°﹣（180°﹣∠A）]＝（180+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A，
∵∠A＝50°，
∴∠P＝65°；
故答案为：65°；
（2）∵BP，CP分别是外角∠DBC，∠ECB的平分线，
∴∠PBC+∠PCB＝（∠DBC+∠ECB）＝（180°+∠A），
在△PBC中，∠P＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°﹣∠A．
（3）如图，
延长BA、CD交于Q，
则∠P＝90°﹣∠Q，
∴∠Q＝180°﹣2∠P．
∴∠BAD+∠CDA
＝180°+∠Q
＝180°+180°﹣2∠P
＝360°﹣2∠P．
23．（10分）如图，四边形ABCD中，∠A+∠C＝180°，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E．
（1）若AB＝AD，求证：AD∥BC；
（2）试探究线段AB，BE，CE的数量关系，并说明理由．
【解答】（1）证明：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∵AB＝AD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴∠ADB＝∠CBD，
∴AD∥BC；
（2）解：AB＝BE﹣CE，理由如下：
过点D作DF⊥AB交BA的延长线于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，DF⊥AB于点F，
∴DE＝DF，
在Rt△BDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△BDF≌Rt△BDE（HL），
∴BF＝BE，
∵∠BAD+∠DAF＝180°，∠BAD+∠C＝90°，
∴∠DAF＝∠C，
在△ADF和△CDE中，
，
∴△ADF≌△CDE（AAS），
∴AF＝CE，
∵AB＝BF﹣AF，
∴AB＝BE﹣CE．
24．（12分）如图1，点D，E，F分别在等边△ABC的三条边上，且BE＝CF，AB＝6．
（1）若BF＝CD，试判断△DEF的形状，并说明理由；
（2）若△BEF是直角三角形，求BE的长；
（3）如图2，若点D是AC边中点，点E，F分别在边AB，BC上运动，当△DEF的周长最小时，直接写出此时∠EDF的度数．
【解答】解：（1）△DEF是等边三角形，
理由：∵△ABC是等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，
∵BE＝CF，BF＝CD，
∴△EBF≌△FCD（SAS），
∴EF＝FD，∠BFE＝∠CDF，
∵∠CDF+∠DFC＝120°，
∴∠BFE+∠DFC＝120°，
∴∠EFD＝60°，
又∵EF＝FD，
∴△DEF是等边三角形；
（2）若∠BFE＝90°，
∵∠B＝60°，
∴∠BEF＝30°，
∴BE＝2BF，
∵BE＝CF，
∴CF＝2BF，
即BE＝CF＝BC＝4，
若∠BEF＝90°，
同理可求BE＝2，
综上所述，若△BEF是直角三角形，BE＝2或4；
（3）作D关于AC的对称点N，点D关于BA的对称点M，连接MN交AB于点E，交BC于点F，
则此时，△DEF的周长最小，
∵D为AC的中点，
∴AD＝CD＝AM＝CN，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠MAD＝∠DCN＝120°，
∴∠ADM＝∠CDN＝30°，
∴△DAM≌△DCN（ASA），
∴DM＝DN，
∴∠DMN＝∠DNM＝30°，
∵ME＝DE，DF＝FN，
∴∠EMD＝∠EDM＝∠FDN＝∠FND＝30°，
∴∠EDF＝180°﹣∠ADM﹣∠EDM﹣∠CDN﹣∠FDN＝60°．
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