陕西省渭南市富平中学2024届高三上学期开学摸底考试理科数学试题(含答案)

这是一份陕西省渭南市富平中学2024届高三上学期开学摸底考试理科数学试题(含答案)，共16页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、设,其中i为虚数单位,x,y是实数,则( )
A.1B.C.D.2
3、“”是“”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
4、的展开式中的系数为( )
A.10B.20C.40D.80
5、设函数，则下列结论错误的是( )
A.的一个周期为
B.的图象关于直线对称
C.的一个零点为
D.在上单调递减
6、在区间内随机取一个数k,使直线与圆相交的概率为( )
A.B.C.D.
7、2023年2月27日,学堂梁子遗址入围2022年度全国十大考古新发现终评项目.该遗址先后发现石制品300多件,已知石制品化石样本中碳14质量N随时间t（单位：年）的衰变规律满足（表示碳14原有的质量）.经过测定,学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的碳14质量约是原来的倍,据此推测该石制品生产的时间距今约( ).
（参考数据：,）
A.8037年B.8138年C.8237年D.8337年
8、一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图下图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
A.B.C.D.
9、在中，，BC边上的高等于,则( )
A.B.C.D.
10、已知A，B是球O的球面上两点，，C为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
11、已知椭圆与双曲线的焦点重合,,分别为,的离心率,则( )
A.且B.且
C.且D.且
12、对于函数,若存在非零实数,使得,则称点与点是函数的一对“隐对称点”．若时,函数的图象上恰有2对“隐对称点”,则实数m的取值范围为( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13、设向量,的夹角的余弦值为,且,,则_________．
14、函数在处的切线的倾斜角为.
15、已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数,当时,,则____________.
16、设O为坐标原点,P是以F为焦点的抛物线上任意一点,M是线段PF上的点,且,则直线OM的斜率的最大值为________________.
三、解答题
17、已知是各项均为正数的等比数列,,
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
18、一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图所示.
将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;
(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X的分布列,期望及方差.
19、设椭圆的左右顶点分别为,右焦点为F,已知,.
(1)求椭圆方程及其离心率;
(2)已知点P是椭圆上一动点（不与端点重合）,直线交y轴于点Q,若三角形的面积是三角形面积的二倍,求直线的方程.
20、如图,在四棱锥中,平面平面ABCD,,,,,,.
（1）求证:平面PAB;
（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
（3）在棱PA上是否存在点M,使得平面PCD？若存在, 求的值;若不存在,说明理由.
21、已知函数.
(1)讨论函数的单调性;
(2)若,是函数的两个不同极值点,且满足：,求证：.
22、在直角坐标系xOy中,直线,圆,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求,的极坐标方程;
（2）若直线的极坐标方程为,设,的交点为M,N,求的面积.
23、已知函数.
（1）当时,求不等式的解集;
（2）若的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
参考答案
1、答案：C
解析：集合,而,所以,故选C.
2、答案：B
解析：因为,
所以,解得,
所以.
故选：B.
3、答案：A
解析：因为,所以“”是“”的充分不必要条件;
故选A.
4、答案：C
解析：由题可得
令,则
所以
故选C.
5、答案：D
解析：的周期为，，故A中结论正确；，
为的最小值，故B中结论正确；，，故C中结论正确；由于，为的最小值，，故在上不单调，故D中结论错误.故选D.
6、答案：B
解析：因为圆心,半径,直线与圆相交,所以圆心到直线的距离,解得,所以所求的概率为,
故选：B.
7、答案：B
解析：由题意,,即,
, ,
故选：B.
8、答案：D
解析：设正方体的棱长为1，由三视图可知，正方体被切掉的部分为三棱锥，如图。
所以正方体切掉部分的体积为，
所以剩余部分体积为，
所以截去部分体积与剩余部分体积的比值为.
故选：D.
9、答案：C
解析：设,,,,
,故选C.
10、答案：C
解析：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，
三棱锥的体积最大，
设球O的半径为R，此时，
故，则球O的
表面积为.
故选:C
11、答案：A
解析：由题意知,即,由于,,可得,
又,
故.
故选A.
12、答案：D
解析：由题意可得,函数关于原点对称的图象与函数的图象有两个交点,
即方程有两个根,即,
令,则,
当时,,当时,,
所以在上递增,在上递减,
的图象恒过点,的图象也过点,
因为,所以在处的切线方程为,
由图可知当或时,与的图象有2个交点,
即有两个根,
所以实数m的取值范围为,
故选：D.

13、答案：11
解析：设与的夹角为,因为与的夹角的余弦值为,即,
又,,所以,
所以．
故答案：11．
14、答案：
解析：,
,所以函数在处的切线的倾斜角为.
故答案为：.
15、答案：-2
解析：根据题意,函数是定义在R上的周期为2的奇函数,
则有且,
即,则,
,
则;
故答案为-2.
16、答案：
解析：要是直线OM的斜率最大,显然点在轴的上方,
设P点坐标为,,,则.
因为,结合图象可得,
所以有,
所以,,
所以,.
因为,,所以,
当且仅当,即时等号成立.
所以,.
故答案为：.
17、答案：（1）;
（2）.
解析：(1)因为数列是各项均为正数的等比数列,,,
所以令数列的公比为q,,,
所以,解得(舍去)或4,
所以数列是首项为2、公比为4的等比数列,.
(2)因为,所以,,,
所以数列是首项为1、公差为2的等差数列,.
18、答案：(1)0.108.
(2)1.8,0.72.
解析：（1）设表示事件“日销售量不低于100个”,表示事件“日销售量低于50个”,B表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”.因此
.
.
.
（2）X的可能取值为0,1,2,3.相应的概率为
,
,
,
,
分布列为
19、答案：(1)椭圆的方程为,离心率为.
(2).
解析：（1）如图,
由题意得,解得,所以,
所以椭圆的方程为,离心率为.
（2）由题意得,直线斜率存在,由椭圆的方程为可得,
设直线的方程为,
联立方程组,消去y整理得：,
由韦达定理得,所以,
所以,.
所以,,,
所以,
所以,即,
解得,所以直线的方程为.
20、答案：（1）证明见解析;
（2）;
（3）存在,.
解析：（1）因为平面平面ABCD,,
所以平面PAD.
所以.
又因为,
所以平面PAB.
（2）取AD的中点O,连结PO,CO.
因为,所以.
又因为平面,平面平面,
所以平面ABCD.
因为平面ABCD,所以.
因为,所以.
如图建立空间直角坐标系.由题意得,
,,,,.
设平面PCD的法向量为,
则即
令,则,.
所以.
又,所以.
所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.
（3）设M是棱PA上一点,则存在使得.
因此点,.
因为平面PCD,所以平面PCD当且仅当,
即,解得.
所以在棱PA上存在点M使得平面PCD,此时.
21、答案：(1)答案见解析
(2)证明见解析
解析：（1）
可得,,
①当时,由,,
此时在上为增函数,在上为减函数;
②当时,恒成立,此时在上为增函数;
③当时,由或,,
此时在上为增函数,在上为减函数;
④当时,由或,,
此时在上为增函数,在上为减函数;
综上所述：当时,在上为增函数,在上为减函数;
当时,在上为增函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数;
当时,在上为增函数,在上为减函数;
（2）由（1）可得：,,
,
欲证,即证,只需证,
记,,
可得,即在为减函数,
,即得证.
所以结论得证.
22、答案：(1),;
(2).
解析：（1）因为 ,所以的极坐标方程为,
的极坐标方程为
（2）将代入
得得,所以
因为的半径为1,则的面积为
23、答案：（1）
（2）
解析：（1）当时,化为,
当时,不等式化为,无解;
当时,不等式化为,解得;
当时,不等式化为,解得.
所以的解集为.
（2）由题设可得,
所以函数的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为,,,的面积为.
由题设得,故.
所以a的取值范围为.
X
0
1
2
3
P
0.064
0.288
0.432
0.216