黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份黑龙江省哈尔滨市第六十九中学校2023-2024学年七年级上学期期中数学试题（解析版），共18页。试卷主要包含了求图中阴影部分的面积等内容，欢迎下载使用。

1．本试卷满分为120分，考试时间为120分钟．
2．答题前，考生先将自己的“姓名”、“考号”、“考场”、“座位号”在答题卡上填写清楚，将“条形码”准确粘贴在条形码区域内．
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题纸上答题无效．
4．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．
5．保持卡面整洁，不要折叠、不要弄脏、不要弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀．
第Ⅰ卷选择题（共30分）（涂卡）
一、选择题（每小题3分，共计30分）
1. 下列方程中，一元一次方程的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据一元一次方程的定义逐项判断即可．
【详解】解：A. ，符合一元一次方程的定义，属于一元一次方程；
B. ，不是方程；
C. ，不是整式方程，故不是一元一次方程；
D. 是代数式，不是方程，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式叫做一元一次方程．
2. 下列四幅图案中，能通过平移图案得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了平移，根据平移的性质即可求解，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
【详解】解：通过平移图案得到的是，
故选D．
3. 根据等式的性质，下列各式变形正确的是（ ）
A. 若，则B. 若，则
C. 若，则D. 若，则
【答案】A
【解析】
【分析】根据等式的性质，一次判断各个选项，即可进行解答．
【详解】解：A、若，则，故A正确，符合题意；
B、若，且，则，故B不正确，不符合题意；
C、若，则，故C不正确，不符合题意；
D、若，则，故D不正确，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查了等式的性质，解题的关键是掌握：等式两边同时乘或除以一个不为0的数，等式仍成立．
4. 如图，点P是直线m外一点，A、B、C三点在直线m上，PB⊥AC于点B，那么点P到直线m的距离是线段（ ）的长度．
A. PAB. PBC. PCD. AB
【答案】B
【解析】
【分析】根据点到直线的距离的定义解答即可．
【详解】解：∵PB⊥AC于点B，
∴点P到直线m的距离是线段B的长度．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离的定义，从直线外一点到这条直线的垂线段长度叫点到直线的距离．
5. 如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是（ ）

A. 同位角相等，两直线平行B. 内错角相等，两直线平行
C. 同旁内角互补，两直线平行D. 两直线平行，同位角相等
【答案】A
【解析】
【分析】根据平行线的判定定理判断．
【详解】解：依据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行．
故选：A．
【点睛】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定定理．
6. 若与互为相反数，则的值等于（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了相反数的意义及一元一次方程的解法，根据相反数的意义列出方程是解答本题的关键．
【详解】解：由题意得：
，
解得：
故选：B.
7. 下列图形中，由，能得到的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据平行线的性质逐项判断即可．
【详解】解：A．∵，∴，不能得到，故该选项不符合题意；
B．如图，

∵，
∴．
∵，
∴，故该选项符合题意；
C．由，不能得到，故该选项不符合题意；
D．由，不能得到，故该选项不符合题意．
故选B．
【点睛】本题考查平行线的性质．掌握两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补是解题关键．
8. 某车间原计划13小时生产一批零件，后来每小时多生产10件，用了12小时不但完成任务，而且还多生产60件，设原计划每小时生产个零件，则所列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先理解题意，找出题中存在的等量关系：实际12小时生产的零件数原计划13小时生产的零件数，根据此等式列方程即可．
【详解】解：设原计划每小时生产个零件，则实际每小时生产个零件．
根据等量关系列方程得：．
故选：B．
【点睛】本题考查了列一元一次方程，解题的关键是找出题目中的相等关系．
9. 2022年北京冬奥会男子500米短道速滑冠军高亭玉在一次速滑训练中，经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，则两次拐弯的角度可能是（ ）
A. 第一次向左拐52°，第二次向右拐52°B. 第一次向左拐48°，第二次向左拐48°
C. 第一次向左拐73°，第二次向右拐107°D. 第一次向左拐32°，第二次向左拐148°
【答案】D
【解析】
【分析】两次转弯后行进的方向与原来相反，说明两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，由此求解即可．
【详解】∵经过两次拐弯后的速滑方向与原来的方向相反，
∴两次转弯的方向相同，而且一共转过了180°，
∴A、两次转弯方向相反，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、两次转弯方向相反，故不符合题意；
D、两次转弯的方向相同，，一共转过了180°，符合题意．
故选：D．
【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是熟练掌握平行线的性质和判定方法．平行线的性质：两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定：内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10. 下列真命题的个数是（ ）
①平移变换中，各组对应点连接而成线段平行且相等．
②同旁内角互补．
③若两个角有公共顶点和一条公共边，并且它们的和为180°，则这两个角互为邻补角．
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】此题考查了命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题，根据平行线的判定与性质、平移的性质、邻补角的定义分别对每一项进行分析即可．
【详解】解：①平移变换中，各组对应点连成的线段平行或在一条直线上且相等，原命题是假命题；
②如果两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补，原命题是假命题；
③若两个角有公共顶点且有一条公共边，和等于平角且不重合，则这两个角为邻补角，原命题是假命题；
④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原命题是假命题；
这些命题中是真命题的个数是：0；
故选：A．
第II卷非选择题（共90分）
二、填空题（每小题3分，共计18分）
11. 根据条件“比的一半大3的数等于的7倍”中的数量关系列出方程为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了列方程，根据等量关系列出方程即可求解，理清题意，根据等量关系列出方程是解题的关键．
【详解】解：依题意得：，
故答案为：．
12. 小明同学在体育课上跳远后留下的脚印如图所示，为了测量他的跳远成绩，测量了脚印上最后的点到起跳线的距离，应该选择线段______________的长度作为小明的跳远成绩．
【答案】PC##CP
【解析】
【分析】根据点到直线，垂线段最短，即可求解．
【详解】解：根据点到直线，垂线段最短得：应该选择线段PC的长度作为小明的跳远成绩．
故答案为：PC．
【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，熟练掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键．
13. 如图所示方式摆放纸杯测量角的基本原理是 _____．
【答案】对顶角相等
【解析】
【分析】利用对顶角的定义进行求解即可．
【详解】图中的测量角的原理是：对顶角相等．
故答案：对顶角相等．
【点睛】本题考查了对顶角，解题的关键是理解清楚对顶角的定义．
14. “⊗”表示一种运算符号，其定义是．例如．如果，那么________．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意定义的运算，代入解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
即：，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了定义新运算，有理数的混合运算，读懂题意，列出一元一次方程是解本题的关键．
15. 在与中，，，若则______．
【答案】或
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，同位角相等和两直线平行，同旁内角互补，分情况计算即可．
【详解】解：如图：
，
，
，
，
，
，
，

，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
16. 若一列火车匀速行驶，经过一条长310米的隧道需要18秒的时间，隧道的顶上有一盏灯，垂直向下发光，灯照在火车上的时间是8秒，则这列火车长 _____米．
【答案】248
【解析】
【分析】设这列火车长x米，然后根据题意列一元一次方程解答即可．
【详解】解：设这列火车长x米，
由题意可得：，解得x＝248．
答：这列火车长248米．
故答案：248．
【点睛】本题主要考查了一元一次方程的应用，设出合适的未知数、正确列出一元一次方程是解答本题的关键．
三、解答题（共计72分）
17. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先去括号，再移项合并同类项，即可求解；
（2）先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解．
【小问1详解】
解：
去括号得：
整理得：
移项得：
合并同类项得：
解得：；
【小问2详解】
解：
去分母得：
去括号得：
整理得：
移项得：
合并同类项得：
解得：
【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的基本步骤，并注意移项要变号，去括号时括号前面是负号，去掉括号和负号，里面各项都变号是解题的关键．
18. 在网格中，如图所示，请根据下列提示作图：
（1）先将△ABC向下平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到△DEF（A与D，B与E，C与F分别对应）；
（2）连接BD、CD，直接写出以B、C、D为顶点三角形的面积 ；
（3）过点F作FG∥CD，交AC的延长线于点G．
【答案】（1）见详解；（2）；（3）见详解
【解析】
【分析】（1）根据图形平移的性质画出平移后的三角形即可；
（2）连接AD和CD，利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可得出以B、C、D为顶点的三角形的面积;
（3）直接平移CE即可得到FG∥CD.
【详解】（1）如图所示；
（2）三角形BCD的面积=3×2-=；
（3）平移线段CE，经过点F，延长AC交于点G，如图.
【点睛】本题考查的是作图-平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
19. 如图，直线相交于点O，平分，求的度数．

【答案】
【解析】
【分析】先根据垂直的定义得到，则，根据角平分线的定义得到，则由平角的定义可得．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂直的定义，角平分线的定义，灵活运用所学知识是解题的关键．
20. 如图，两个直角三角形重叠在一起，将三角形沿点到点的方向平移到三角形的位置，已知，，平移的距离为6．求图中阴影部分的面积．

【答案】57
【解析】
【分析】本题主要考查了平移的性质，梯形面积的计算，解题的关键是根据平移得出．
【详解】解：将沿点到点方向平移到的位置，
，，，
∴，
∴，
．
21. 已知5台A型机器一天的产品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天的产品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个产品．
（1）求每箱装多少个产品．
（2）3台A型机器和2台B型机器一天能生产多少个产品？
【答案】（1）装12个产品．（2）98个．
【解析】
【分析】设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品，根据每箱产品的个数的一定的，列方程求解．
【详解】解：（1）设B型机器一天生产x个产品，则A型机器一天生产（x+1）个产品，由题意得：
，
解得：x=19，
7x﹣1=132，
132÷11=12（个）．
答：每箱装12个产品．
（2）（12×8+4）÷5×3+（12×11+1）÷7×2
=20×3+19×2
=60+38
=98（个）．
答：3台A型机器和2台B型机器一天能生产98个产品．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．
22. 完成下面推理过程，并在括号内填上依据．已知：如图，，，．
求证：．
证明：，（已知）
（______）
（______）
（______）
又（已知）
（______）
又
（______）
【答案】垂直定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定及性质即可求证结论，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键．
【详解】证明：，（已知）
（_垂直定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
又：
（等量代换），
故答案为：垂直定义；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
23. 定义：关于x的方程与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”．
（1）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，则___________．
（2）若关于x的方程与方程互为“反对方程”，求的值．
（3）若关于x的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数c的值．
【答案】23. 2 24.
25. c的值为
【解析】
【分析】（1）根据“反对方程”的定义直接可得答案；
（2）将“反对方程”组成方程组求解可得答案；
（3）根据“反对方程”与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案．
【小问1详解】
解：由题可知，与方程0（a，b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，
∵与方程互为“反对方程”，
∴，
故答案为：2．
【小问2详解】
解：将写成的形式，
将写成的形式，
∵与方程互为“反对方程”，
∴，
∴，
；
【小问3详解】
解：的“反对方程”为，
由得，，
当，得，
∵与的解均为整数，
∴与都为整数，
∵c也为整数，
∴当时，，，都为整数，
当时，，，都为整数，
∴c的值为．
【点睛】此题考查的是一元一次方程的应用，能够正确理解“反对方程”的概念是解决此题关键．
24. 七年级1班共有学生45人，其中男生比女生少3人．某节课上，老师组织同学们做圆柱形笔筒．每名学生每节课能做筒身30个或筒底90个．
（1）七年级1班有男生、女生各多少人？
（2）原计划女生负责做筒身，男生做筒底，要求每个筒身匹配2个筒底，那么每节课做出的筒身和筒底配套吗？如果不配套，男生要支援女生几人，才能使筒身和筒底配套？（列方程解决问题）
【答案】（1）七年级1班有男生21人，女生24人
（2）男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套
【解析】
【分析】（1）根据男生人数+女生人数=总人数，可以列出相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意，可以计算出原计划制作的筒身和筒底数，然后看一下数量是否是二倍的关系即可判断原计划生产的是否配套；然后根据判断设男生要支援女生a人，再列方程，解答即可．
【小问1详解】
解：设女生有x人，则男生有人，
由题意可得：，
解得，
∴，
答：七年级1班有男生21人，女生24人；
【小问2详解】
解：女生可以做筒身：（个），男生可以做筒底：（个），
，
∴原计划每节课做出的筒身和筒底不配套；
设男生要支援女生a人，才能使筒身和筒底配套，
，
解得，
答：男生要支援女生3人，才能使筒身和筒底配套．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程，这是一道典型的配套问题．
25. 已知，为直线，所确定的平面内一点．

（1）如图①，，，之间的数量关系为______；
（2）如图②，求证：；
（3）如图③，点在直线上，若，，过点作，作，的平分线交于点，直接写出的度数．
【答案】（1）
（2）见解析 （3）25°
【解析】
【分析】（1）首先过点作，则易得，然后由两直线平行，内错角相等，即可证得；
（2）过点作，由，可得，由平行线性质得
，证得；
（3）由三角形外角的性质，可求得，然后由平行线的性质，求，再利用角平分线的性质，求得
【小问1详解】
解：．
理由：过点作，如下图：

∵，
∴，
∴，，
∴；
【小问2详解】
证明：如图，过点作．
∵，
∴
∵，，
∴
∴
∵，
∴．
【小问3详解】
解：的度数为，
∵，，如图：

，
∵，
∴，
∵，的平分线交于点，
∴，，
∴．
【点睛】此题主要考查了平行线的性质以及三角形外角的性质，解题关键是掌握辅助线的作法以及数形结合思想的应用．