山东省济南市莱芜区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制）

这是一份山东省济南市莱芜区2023-2024学年七年级上学期期中数学试卷（五四学制），共20页。试卷主要包含了下列说法正确的是，下列各数中是无理数的有等内容，欢迎下载使用。

1．下列图案或文字中，是轴对称图形的有（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
2．下列说法正确的是（ ）
A．的平方根是±4
B．﹣表示6的算术平方根的相反数
C．任何数都有平方根
D．﹣a2一定没有平方根
3．下列各数中是无理数的有（ ）
，π，﹣3，，﹣3.1416，，（相邻两个2之间1的个数逐次加1）
A．2个B．3个C．4个D．5个
4．如果一个等腰三角形的周长为15cm，一边长为3cm，那么腰长为（ ）
A．3cmB．6cmC．5cmD．3cm或6cm
5．如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）
A．在AC，BC两边高线的交点处
B．在AC，BC两边中线的交点处
C．在AC，BC两边垂直平分线的交点处
D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处
6．如图，已知∠1＝∠2，AC＝AD，增加下列条件：①AB＝AE；②BC＝ED；③∠C＝∠D；④∠B＝∠E．其中能使△ABC≌△AED成立的条件有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
7．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）
A．75°或15°B．75°C．15°D．75°和30°
8．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是（ ）
A．48B．60C．76D．80
9．如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，BE⊥AC，垂足为E，AD、BE相交于点F．如果BF＝AC，那么∠ABC的度数是（ ）
A．40°B．45°C．50°D．60°
10．如图，∠BAC＝130°，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，则∠PAQ等于（ ）
A．50°B．75°C．80°D．105°
二、填空题
11．如果与（2x﹣4）2互为相反数，那么2x﹣y＝ ．
12．如图，点P是△ABC内一点，∠ABC＝80°，∠1＝∠2，则∠BPC＝ 度．
13．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为19cm，△ABD的周长为13cm，则AE的长为 ．
14．如图，圆柱形玻璃杯，底面周长为16cm，AC是底面圆的直径，点P是BC上的一点，且BC＝20cm，，一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离为 cm．
15．如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，则△AMB的面积为 ．
16．如图，等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，点D在BC边上，且CD＝5，直线EF是腰AC的垂直平分线，若点M在EF上运动，则△CDM周长的最小值为 ．
三、解答题
17．（1）；
（2）（x﹣2）2＝49．
18．已知2a+1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4，求a+2b的平方根．
19．如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，CE平分∠ACB，AD与CE相交于点F．∠B＝65°，∠AFC＝120°，求∠BAD和∠ACB的度数．
20．学校要征收一块土地，形状如图所示，∠B＝90°，AB＝20m，BC＝15m，AD＝24m，CD＝7m，土地价格为1000元/m2，请你计算学校征收这块地需要多少钱？
21．如图，在△ABC中，点D在边BC上，CD＝AB，DE∥AB，∠DCE＝∠A．求证：DE＝BC．
22．如图，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，BC＝10cm，AB＝8cm．
求：（1）FC的长；
（2）EF的长．
23．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E．
（1）若∠A＝50°，求∠DCB和∠ADC的度数；
（2）若∠B＝30°，BD＝7，求△ACD的周长．
24．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45°，AD和CE是高，它们相交于H，求证：AH＝2BD．
25．如图所示，△DAC、△EBC均是等边三角形，点A、C、B在同一条直线上，AE交CD于点M，BD交CE于点N，连接MN．
（1）试证明AE＝BD；
（2）试证明CM＝CN；
（3）△CMN是什么三角形？请说明理由．
26．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．
（1）求证：△ACE≌△BCD；
（2）若AD＝5，BD＝12，求DE的长；
（3）求证：AD2+DB2＝2CD2．
2023-2024学年山东省济南市莱芜区七年级（上）期中数学试卷（五四学制）
参考答案与试题解析
一.选择题（每小题的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确答案的字母代号选出来）
1．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：左起第二、第三两个图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形；
第一、第四、第五共三个图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形；
所以是轴对称图形的有3个．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．【分析】A、B、C、D都可以据平方根及算术平方根的定义判定即可．
【解答】解：A、的平方根是±2，故选项错误；
B、﹣表示6的算术平方根的相反数，故选项正确；
C、负数没有平方根，故选项错误；
D、﹣a2一定没有平方根，不对，当a是0时有平方根，故选项错误．
故选：B．
【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意一个非负数有两个平方根，互为相反数，正值为算术平方根．
3．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：＝10，
故无理数有，π，（相邻两个2之间1的个数逐次加1），共3个．
故选：B．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…（两个1之间依次多一个0），等有这样规律的数．
4．【分析】依题意，根据等腰三角形的性质，已知一条边长为3cm，不能确定是腰长还是底边长，故可分情况讨论，还要依据三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰为3时，三边为3，3，9不能构成三角形；
当底为3时，腰为6，6，能构成三角形．
所以这个等腰三角形的腰长为6cm．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．【分析】要求到三小区的距离相等，首先思考到A小区、B小区距离相等，根据线段垂直平分线定理的逆定理知满足条件的点在线段AB的垂直平分线上，同理到B小区、C小区的距离相等的点在线段BC的垂直平分线上，于是到三个小区的距离相等的点应是其交点，答案可得．
【解答】解：根据线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
则超市应建在AC，BC两边垂直平分线的交点处．
故选：C．
【点评】本题主要考查线段的垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等；此题是一道实际应用题，做题时，可分别考虑，先满足到两个小区的距离相等，再满足到另两个小区的距离相等，交点即可得到．
6．【分析】∠1＝∠2，∠BAC＝∠EAD，AC＝AD，根据三角形全等的判定方法，可加一角或已知角的另一边．
【解答】解：已知∠1＝∠2，AC＝AD，由∠1＝∠2可知∠BAC＝∠EAD，
加①AB＝AE，就可以用SAS判定△ABC≌△AED；
加③∠C＝∠D，就可以用ASA判定△ABC≌△AED；
加④∠B＝∠E，就可以用AAS判定△ABC≌△AED；
加②BC＝ED只是具备SSA，不能判定三角形全等．
其中能使△ABC≌△AED的条件有：①③④
故选：B．
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、AAS、HL．做题时要根据已知条件在图形上的位置，结合判定方法，进行添加．
7．【分析】分两种情况：当等腰三角形为锐角三角形时；当等腰三角形为钝角三角形时；然后分别进行计算即可解答．
【解答】解：分两种情况：
当等腰三角形为锐角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣∠A）＝75°，
∴这个等腰三角形的底角是75°；
当等腰三角形为钝角三角形时，如图：
在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，
∴∠BDA＝90°，
∵BD＝AB，
∴∠BAD＝30°，
∴∠ABC+∠C＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAD＝15°，
∴这个等腰三角形的底角是15°；
综上所述：这个等腰三角形的底角是75°或15°，
故选：A．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，分两种情况讨论是解题的关键．
8．【分析】由已知得△ABE为直角三角形，用勾股定理求正方形的边长AB，用S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE求面积．
【解答】解：∵∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，
∴在Rt△ABE中，AB2＝AE2+BE2＝100，
∴S阴影部分＝S正方形ABCD﹣S△ABE，
＝AB2﹣×AE×BE
＝100﹣×6×8
＝76．
故选：C．
【点评】本题考查了勾股定理的运用，正方形的性质．关键是判断△ABE为直角三角形，运用勾股定理及面积公式求解．
9．【分析】由“AAS”可证△ADC≌△BDF，可得BD＝AD，由等腰直角三角形的性质可求解．
【解答】解：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠AEF＝∠BDF＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠DAC＝∠DBF，
在△ADC和△BDF中，
，
∴△ADC≌△BDF（AAS），
∴BD＝AD，
∴∠ABC＝45°，
故选：B．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．
10．【分析】由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA＝PB，QA＝QC，继而可得∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，则可求得答案．
【解答】解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA＝PB，QA＝QC，
∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，
∵∠BAC＝130°，
∴∠BAP+∠CAQ＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝50°，
∴∠PAQ＝∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）＝80°．
故选：C．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．注意转化思想的应用是关键．
二、填空题
11．【分析】根据互为相反数的两个数的和等于0列出等式，再根据非负数的性质列式求出x、y的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【解答】解：∵与（2x﹣4）2互为相反数，
∴+（2x﹣4）2＝0，
∴y﹣3＝0，2x﹣4＝0，
解得x＝2，y＝3，
∴2x﹣y＝2×2﹣3＝4﹣3＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查了非负数的性质：几个非负数的和为0时，这几个非负数都为0．
12．【分析】根据三角形内角和定理求出∠BPC＝180°﹣∠ABC，代入求出即可．
【解答】解：∵∠ABC＝80°，∠1＝∠2
∴在△ABC中，∠BPC＝180°﹣∠2﹣∠PBC
＝180°﹣∠1﹣（∠ABC﹣∠1）
＝180°﹣∠1﹣∠ABC+∠1
＝180°﹣∠ABC
＝180°﹣80°＝100°，
故答案为：100．
【点评】本题考查了三角形内角和定理的应用，注意：三角形的内角和等于180°，解此题的关键是求出∠BPC＝180°﹣∠ABC．
13．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DA＝DC，AE＝EC，根据三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：∵△ABC的周长为19cm，
∴AB+AC+BC＝19cm，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，AE＝EC，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+DA＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝6cm，
∴AE＝3cm，
故答案为：3cm．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
14．【分析】先画出圆柱的侧面展开图，再根据勾股定理求解即可．
【解答】解：如图所示，
∵圆柱的底面周长为16cm，
∴AC＝8cm．
∵BC＝20cm，，
∴PC＝15cm，
在Rt△ACP中，
∴AP＝＝＝17（cm）．
故答案为：17．
【点评】本题考查的是平面展开﹣最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图是解答此题的关键．
15．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AM＝BM，∠ABM＝∠A＝15°，再根据三角形外角的性质求出∠BMC的度数，由直角三角形的性质求出MC及BC的长，进而可得出结论．
【解答】解：∵Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A＝15°，BM＝2，
∴AM＝BM＝2，∠ABM＝∠A＝15°，
∴∠BMC＝∠A+∠ABM＝30°，
∴BC＝BM＝×2＝1，MC＝＝＝，
∴S△AMB＝AM•BC＝×2×1＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
16．【分析】如图作AH⊥BC于H，连接AM，由EF垂直平分线段AC，推出MA＝MC，推出DM+MC＝AM+MD，可得当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，最小值就是线段AD的长，利用勾股定理可求AD的长，即可求解．
【解答】解：如图，作AH⊥BC于H，连接AM，
∵EF垂直平分线段AC，
∴MA＝MC，
∴DM+MC＝AM+MD，
∴当A、D、M共线时，DM+MC的值最小，
∵等腰△ABC的底边BC＝20，面积为120，AH⊥BC，
∴BH＝CH＝10，AH＝＝12，
∴DH＝CH﹣CD＝5，
∴AD＝＝＝13，
∴DM+MC的最小值为13，
∴△CDM周长的最小值＝13+5＝18，
故答案为18．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称，解决最短问题，属于中考常考题型．
三、解答题
17．【分析】（1）先计算零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
（2）通过开平方进行求解．
【解答】解：（1）
＝﹣3×﹣3×
＝﹣1﹣1
＝﹣2；
（2）开平方，得x﹣2＝7或x﹣2＝﹣7，
解得x＝9或x＝﹣5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．
18．【分析】先根据2a﹣1的平方根为±3，3a+b﹣1的算术平方根为4求出ab的值，再求出a+2b的值，由平方根的定义进行解答即可．
【解答】解：∵2a+1的平方根为±3，
∴2a+1＝9，
解得，2a＝8，a＝4；
∵3a+b﹣1的算术平方根为4，
∴3a+b﹣1＝16，即12+b﹣1＝16，
解得b＝5，
∴a+2b＝4+10＝14，
∴a+2b的平方根为：±．
【点评】本题考查的是平方根及算术平方根的定义，掌握一个数的平方根有两个，这两个数互为相反数是解答此题的关键．
19．【分析】由高的定义可得出∠ADB＝∠ADC＝90，在△ABD中利用三角形内角和定理可求出∠BAD的度数，由三角形外角的性质可求出∠FCD的度数，结合CE平分∠ACB可求出∠ACB的度数．
【解答】解：∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB＝∠ADC＝90．
在△ABD中，∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠B＝180°﹣90°﹣65°＝25°．
∵∠AFC是△CDF的外角，
∴∠AFC＝∠FDC+∠FCD，
∴∠FCD＝∠AFC﹣∠FDC＝120°﹣90°＝30°．
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠FCD＝2×30°＝60°．
答：∠BAD的度数是25°，∠ACB的度数是60°．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形外角的性质，利用三角形内角和定理及三角形外角的性质，求出∠BAD和∠FCD的度数是解题的关键．
20．【分析】连接AC．直接利用勾股定理求出AC2的值，再利用勾股定理得出AD的值，进而利用三角形的面积公式得出答案．
【解答】解：连接AC．在△ABC中，∠B＝90°，AB＝20，BC＝15，
由勾股定理得：AC2＝AB2+BC2＝202+152＝625．
在△ADC中，∠D＝90°，CD＝7，
由勾股定理得：AD2＝AC2﹣CD2＝625﹣72＝576，AD＝24．
所以四边形的面积为：AB•BC+CD•AD＝234（m2）.234×1 000＝234 000（元）．
答：学校征收这块地需要234 000元．
【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用构造直角三角形是解题关键．
21．【分析】利用平行线的性质得∠EDC＝∠B，再利用ASA证明△CDE≌△ABC，可得结论．
【解答】证明：∵DE∥AB，
∴∠EDC＝∠B，
在△CDE和△ABC中，
，
∴△CDE≌△ABC（ASA），
∴DE＝BC．
【点评】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
22．【分析】（1）由于△ADE翻折得到△AEF，所以可得AF＝AD，则在Rt△ABF中，第一问可求解；
（2）由于EF＝DE，可设EF的长为x，进而在Rt△EFC中，利用勾股定理求解直角三角形即可．
【解答】解：（1）由题意可得，AF＝AD＝10cm，
在Rt△ABF中，∵AB＝8，
∴BF＝6cm，
∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．
（2）由题意可得EF＝DE，可设DE的长为x，
则在Rt△EFC中，（8﹣x）2+42＝x2，
解得x＝5，
即EF的长为5cm．
【点评】本题主要考查了矩形的性质以及翻折的问题，能够熟练运用矩形的性质求解一些简答的问题．
23．【分析】（1）根据三角形的内角和得到∠B＝40°，由线段的垂直平分线的性质得到CD＝BD，根据等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝40°，即可得到结论；
（2）根据三角形的内角和得到∠A＝60°，根据线段垂直平分线的性质得到CD＝BD，由等腰三角形的性质得到∠DCB＝∠B＝30°，求得∠ACD＝60°，于是得到结论．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝50°，
∴∠B＝40°，
∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝40°，
∴∠ACD＝50°，
∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝80°，
（2）∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵BC的垂直平分线交AB于点D，
∴CD＝BD，
∴∠DCB＝∠B＝30°，
∴∠ACD＝60°，
∴AD＝CD＝BD＝7，
∴AC＝7，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝21．
【点评】本题考查了等边三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及含30°角的直角三角形的性质；培养学生综合运用定理进行推理论证的能力．
24．【分析】证明△AEH≌△CEB（ASA），得AH＝CB，再根据等腰三角形的“三线合一”性质得CB＝2BD，即可得出结论．
【解答】证明：∵AD和CE是△ABC的高，
∴CE⊥AB于点E，AD⊥BC于点D，
∴∠AEH＝∠CEB＝∠ADB＝90°，
∴∠EAH＝∠ECB＝90°﹣∠B，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ACE＝∠BAC＝45°，
∴AE＝CE，
在△AEH和△CEB中，
，
∴△AEH≌△CEB（ASA），
∴AH＝CB，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，
∴CB＝2BD，
∴AH＝2BD．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，证明△AEH≌△CEB是解题的关键．
25．【分析】（1）根据等边三角形的性质得出AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，求出∠ACE＝∠DCB，根据SAS推出△ACE≌△DCB即可；
（2）根据全等三角形的性质得出∠CAE＝∠CDB，根据等边三角形的性质得出AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°，求出∠DCE＝60°，推出∠ACM＝∠DCN，根据ASA推出△ACM≌△DCN即可；
（3）根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形推出△CMN为等边三角形，推出∠CMN＝∠CNM＝∠DCN＝60°，求出∠CMN＝∠ACM＝60°，即可得出答案；
【解答】（1）证明：∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC＝DC，EC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝60°，
∴∠ACD+∠DCE＝∠BCE+∠DCE，
即∠ACE＝∠DCB，
在△ACE和△DCB中，
，
∴△ACE≌△DCB（SAS），
∴AE＝BD；
（2）证明：由（1）可知：△ACE≌△DCB，
∴∠CAE＝∠CDB，
即∠CAM＝∠CDN，
∵△DAC、△EBC均是等边三角形，
∴AC＝DC，∠ACM＝∠BCE＝60°，
又点A、C、B在同一条直线上，
∴∠DCE＝180°﹣∠ACD﹣∠BCE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
即∠DCN＝60°，
∴∠ACM＝∠DCN，
在△ACM和△DCN中，
，
∴△ACM≌△DCN（ASA），
∴CM＝CN；
（3）解：△CMN为等边三角形，理由如下：
由（2）可知CM＝CN，∠MCN＝60°，
∴△CMN为等边三角形（有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形）．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，平行线的判定的应用，主要考查学生的运用性质进行推理的能力，掌握全等三角形的性质和判定是解题的关键．
26．【分析】（1）根据同角的余角相等得到∠ACE＝∠BCD，又夹这个角的两边分别是两等腰直角三角形的腰，利用SAS即可证明；
（2）由△ACE≌△BCD就可以得出AE＝B，∠CAE＝∠B，根据等腰三角形的性质就可以得出∠EAD＝90°，由勾股定理就可以得出结论；
（3）由勾股定理直接推导出结论即可．
【解答】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，
∴AC＝BC，EC＝DC．
∵∠ACE＝∠DCE﹣∠DCA，∠BCD＝∠ACB﹣∠DCA，
∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD．
在△ACE和△BCD中，
，
∴△ACE≌△BCD（SAS）；
（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴BD＝AE＝12，∠B＝∠EAC＝45°．
∴∠CAB＝∠B＝∠EAC＝45°
∴∠EAD＝45°+45°＝90°．
即△EAD是直角三角形，
∴DE＝＝＝13；
（3）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠EAC＝∠DBC，AE＝BD，
∵∠DBC+∠DAC＝90°，
∴∠EAC+∠DAC＝∠EAD＝90°，
∴AD2+AE2＝DE2，
∵∠DCE＝90°，CD＝CE，
∴CD2+CE2＝DE2，
∴2CE2＝DE2，
∴AD2+AE2＝2CD2，
∵AE＝BD，
∴AD2+BD2＝2CD2．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，证明三角形全等是解题的关键．