山西省运城市稷山县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

这是一份山西省运城市稷山县2023-2024学年九年级上学期期中数学试题（解析版），共19页。

1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共3页，满分120分，考试时间120分钟．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置．
3．答案全部在答题卡上完成，答在本试题上无效．
第Ⅰ卷 选择题（共30分）
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）
1. 菱形、矩形、平行四边形都具有的性质是（ ）
A. 一组邻边相等B. 对角线相等C. 对角线互相平分D. 对角线互相垂直
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查菱形、矩形、平行四边形性质，掌握相关性质，是解题的关键．
【详解】解：菱形、矩形、平行四边形都具有的性质是对角线互相平分；
故选C．
2. 下列各组中的四条线段成比例的是( )
A. 4cm，2cm，1cm，3cm
B. 1cm，2cm，3cm，5cm
C. 3cm，4cm，5cm，6cm
D. 1cm，2cm，2cm，4cm
【答案】D
【解析】
【分析】四条线段成比例，根据线段的长短关系，从小到大排列，判断中间两项的积是否等于两边两项的积，相等即成比例．
【详解】A．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
B．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
C．从小到大排列，由于，所以不成比例，故此选项不符合题意；
D．从小到大排列，由于，所以成比例，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查比例线段，理解成比例线段的概念，注意在线段两两相乘的时候，要让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等进行判断．
3. 根据下列表格的对应值，判断方程（，为常数）一个解的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，根据表格可知，当时，的值小于零，当时，的值大于零，可知当，会有一个的值使得的值为零，即可得出结论，解题的关键是理解二次函数图形与一元二次方程解的关系．
【详解】解：由表格可知：当时，的值小于零，当时，的值大于零，
∴的一个解的范围是；，
故选：．
4. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. m<3且m≠2C. 且m≠2D. m<3
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意得且，从而直接解出答案．
【详解】解：由题意得：且，
解得且，
故选：B．
【点睛】本题考查一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，解题的关键是熟知当时，方程有两个不相等的实数根，注意二次项系数不为零．
5. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（ ）
A. AB=CDB. OA=OC，OB=ODC. AC⊥BDD. AB∥CD，AD=BC
【答案】B
【解析】
【详解】解：A．由AB=DC，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形．故错误；
B．∵OA=OC，OB=OD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵AC=BD，∴四边形ABCD是矩形．故正确；
C．由AC⊥BD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
D．由AB∥CD，AC=BD无法判断四边形ABCD是矩形，故错误．
故选B．
点睛：本题考查矩形的判定方法、熟练掌握矩形的判定方法是解决问题的关键，记住对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是90度的平行四边形是矩形，有三个角是90度的四边形是矩形，属于中考常考题型．
6. 如图，，直线，与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F，，，则的长为（ ）
A. B. 9C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查平行线分线段对应成比例．根据题意，得到，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴；
故选：B．
7. 某展览大厅有2个入口和2个出口，其示意图如图所示，参观者可从任意一个入口进入，参观结束后可从任意一个出口离开．小明从入口1进入并从出口A离开的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：画树状图得：
所有等可能的情况有4种，其中从入口1进入并从出口A离开的情况有1种，则P=．
故选：C．
【点睛】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8. 某市年投入教育经费亿元，为了发展教育事业，该市每年教育经费的年增长率均为，从年到年共投入教育经费亿元，则下列方程正确的是（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程增长率问题，一般用增长后的量增长前的量(增长率)，设教育经费的年平均增长率为，分别表示出从到年每年投入的教育经费即可得出方程，解题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．
【详解】解：设教育经费的年平均增长率为，则2022的教育经费为：万元，2023的教育经费为：万元，
依题意可得方程，，
故选：．
9. 如图，在中，，，，为边上一动点，于，于，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、矩形的判定及性质，根据勾股定理的逆定理可以证明；根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形是矩形，根据矩形的对角线相等，得，则的最小值即为的最小值，根据垂线段最短，可知的最小值即等于直角三角形斜边上的高，根据矩形的性质得到是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵在中，，，，
∴，即
又∵，，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∴当的值最小时，的最小值，
∵当为直角三角形斜边上的高时，的值最小，
∴的最小值即为直角三角形斜边上的高，
设直角三角形斜边上的高为，
∵，
∴，
解得：，
∴的最小值为，
故选：．
10. 如图，已知正方形的对角线长为，将正方形沿直线折叠，则图中阴影部分的周长为（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查的是翻折变换质，即折叠是一种对称变换，先设正方形的边长为，再根据对角线长为求出的值，由图形翻折变换的性质可知，，，由阴影部分的周长即可得出结论，解题的关键是熟记轴对称图形的性质．
【详解】如图：

设正方形的边长为，则，
解得，
由翻折变换的性质可知：，，，
∴阴影部分的周长，
，
，
，
，
故选：．
第Ⅱ卷 非选择题（共90分）
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11. 若，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了比例线段，根据比例的基本性质可得，，代入即可求解，解题的关键是熟记比例的基本性质．
【详解】∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
12. 县工会计划组织一次篮球邀请赛，参赛每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，比赛组织者应邀请______支队参赛．
【答案】7
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，设比赛组织者应邀请支队参赛，根据每两个队之间都要比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排早、午、晚共3场比赛，列出方程进行求解即可．
【详解】解：设比赛组织者应邀请支队参赛，由题意，得：，
解得：或（舍去）；
答：比赛组织者应邀请7支队参赛．
故答案为：7．
13. 如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为，若菱形的边长为，，则______cm．

【答案】3
【解析】
【分析】连接，，交于点M，利用轴对称图形和菱形对角线互相垂直平分的性质可知，再由平行线分线段成比例可得F是中点，E是中点，于是是的中位线，因此，在中利用勾股定理求得即可；
【详解】解：如下图，连接，，交于点M，

∵折叠，
∴垂直平分，
∵菱形的对角线互相垂直平分，对角相等，
∴，，
∴，
∵M是中点，，
∴，
∴F是中点，E是中点，
∴是的中位线，
∴，
∵菱形的每一条对角线平分一组对角，，
∴，
中，，，
∴，，
∴，
故答案为：；
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，菱形的性质，平行线分线段成比例，三角形的中位线和勾股定理等知识；综合性较强，利用菱形对角线的性质作辅助线是解题关键．
14. 在20世纪70年代，我国著名数学家华罗庚教授将黄金分割法作为一种“优选法”，在全国大规模推广，取得了很大成果．如图利用黄金分割法，所作将矩形窗框分为上下两部分，其中E为边的黄金分割点，即．已知为4米，则线段的长为__________米（结果保留根号）．
【答案】
【解析】
【分析】根据建立方程即可求解．
【详解】解：
设则
（舍去），
故答案为：
【点睛】本题主要考查了黄金分割，熟练掌握线段之间的关系列出方程是解此题的关键．
15. 如图，在菱形中，，，若分别是边上的动点，且，作，，垂足分别为，则的值为______．

【答案】
【解析】
【分析】本题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接交于点，过点作交于点，则可得四边形是矩形，以及，从而得，，即，运用勾股定理求出的长即可，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键．
【详解】解：连接交于点，如图，

∵四边形是菱形，
∴，，，
∴，，
∴ 在中，，，
∴，
过点作交于点，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
又 ∵，
∴ ，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
三、解答题（本题共8个小题，共75分．解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16. 解方程
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）；
（2），；
（3），．
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解法，
（1）方程可变为，用因式分解法即可求解；
（2）将方程去分母整理得，利用公式法即可求解；
（3）先移项，用因式分解法求解即可；
解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法．
【小问1详解】
解：方程可变为，
，
∴，
∴，
解得；
【小问2详解】
解：去分母整理得，，
，，，
∴，
∴，
∴，；
【小问3详解】
解：方程移项得，，
因式分解得，，
解得，．
17. 推理能力有助于形成实事求是的科学态度与理性精神．我们知道任何实数的平方一定是一个非负数，即：，且．据此，我们可以得到下面的推理：
∵，而
∴，故有最小值，最小值是．
试根据以上方法判断代数式是否存在最大值或最小值？若有，请求出它的最大值或最小值．
【答案】有最大值，最大值为．
【解析】
【分析】此题考查了利用非负数求最值，先把代数式化为完全平方的形式，再根据所给推理确定其最值即可，解答此题的关键是把原式化为完全平方式．
【详解】解：原式，
∵，
∴，
∴有最大值，最大值为．
18. 如图，矩形中，对角线的垂直平分线分别交，于点，，若，，求的长．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了勾股定理，矩形性质，垂直平分线的性质，全等三角形的性质和判定等知识，连接，先证明，则，然后在中由勾股定理求出，再在中由勾股定理求出，根据垂直平分线做出辅助线是解题的关键．
【详解】连接，
∵矩形，
∴，，
∴，
∵是的垂直平分线，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴．
19. 如图，将边长为的正方形沿其对角线剪开，再把沿着方向平移，得到如图的，若两个三角形重叠部分的面积为，
（1）直接写出阴影部分是什么特殊四边形；
（2）求移动的距离．
【答案】（1）平行四边形，证明见解析；
（2）．
【解析】
【分析】本题考查了正方形和图形的平移，一元二次方程的应用，熟练掌握平移的性质，正方形的性质；
（1）由平移的性质可知阴影部分为平行四边形；
（2）设，根据题意阴影部分的面积为，列方程即可求解，根据图形列出方程是解题的关键．
【小问1详解】
平行四边形．
理由：由平移得，，，
∴四边形为平行四边形，
即阴影部分是平行四边形；
【小问2详解】
设，与相交于点，
∵是正方形剪开得到的，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵两个三角形重叠部分的面积为4，
∴，
解得，
即移动的距离．
20. 已知：如图，平行四边形的两条对角线相交于点，，，垂足分别为．

（1）当时，猜想是什么特殊四边形；
（2）在（）的条件下，请对你的猜想进行证明．
【答案】（1）平行四边形是矩形；
（2）证明见解析．
【解析】
【分析】本题考查了平行四边形的性质和矩形的判定，根据已知条件易证，根据全等三角形的性质可得，即可得，根据对角线相等的平行四边形为矩形即可判定平行四边是矩形，解题的关键是熟记平行四边形的性质和矩形的判定方法．
【小问1详解】
平行四边形矩形；
【小问2详解】
证明：∵，，
∴，
又∵四边形是平行四边形，
∴，，
再和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形．
21. 某商场经销一种成本为每千克元的肉质品，经市场分析，若按每千克元销售，一个月能售出千克；销售单价每千克涨价元，月销售量就减少千克．针对这种肉质品的销售情况，请解答以下问题．
（1）当销售单价定为每千克元，计算月销售量，月销售成本，月销售利润；
（2）商场计划在月销售成本不超过元的情况下，使得月销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？
【答案】（1）千克，元，元；
（2）．
【解析】
【分析】此题考查的是一元二次方程的应用，（）销售单价每涨价元，月销售量就减少千克．那么涨价元，月销售量就减少千克，根据月销售利润=每件利润×数量即可求出题目的结果；（）等量关系为：销售利润=每件利润×数量，设单价应定为元，根据这个等式即可列出方程，解方程即可；读懂题意，找到合适的等量关系，然后设出未知数正确列出方程是解题的关键．
【小问1详解】
月销售量为千克，
月销售量成本为元，
月利润为元；
【小问2详解】
设单价应定为元，依题意得，
，
解得：，，
当时，月销售成本为元，不合题意舍去，
∴，
答：销售单价应定为元/千克．
22. 四张质地相同的卡片如图所示．将卡片洗匀后，背面朝上放置在桌面上．

（1）求随机抽取两张卡片，恰好得到数字的概率；
（2）小贝和小晶想用以上四张卡片做游戏，游戏规则见信息图．请用列表格法或画树状图法说明这个游戏是否公平？
【答案】（1）；
（2）游戏不公平，理由见解析．
【解析】
【分析】本题考查了游戏公平性的判断.
（）列表可得总共有种结果，其中得到数字的有种，根据概率公式即可得到答案；
（）要判断游戏是否公平，只需要求出双方赢的机会，若相等，则游戏公平，否则，游戏不公平；接下来求出“两位数不超过”的概率，即可作出判断；
解题的关键是根据题意正确列出表来．
【小问1详解】
由题意可列出下表，

由表可知，共有种结果，其中得到数字的有种，
∴；
【小问2详解】
从表中可以看出共有结果16种，两位数不超过的有种，
∴，
∴游戏不公平．
23. 小明和小王同学一起合作来测量某建筑物顶部旗杆的高．如图所示，在某一时刻，他们在阳光下，分别测得该建筑物的影长为米，的影长为米，小明的影长为米，其中五点在同一直线上，三点在同一直线上，且，，已知小明的身高为米，
（1）求旗杆的长度．
（2）填空：本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题______成数学问题，利用______的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学______的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识．
（3）本题是利用什么方法来测量的，请再写出两个曾在课本上学过的测量不能直接测量物体高度方法的名称．
【答案】23. 米；
24. 转化，相似三角形，转化；
25. 本题是利用阳光下的影子来测量的，测量塘的宽度；测量山的长度．
【解析】
【分析】本题考查相似三角形的判定与性质等知识，根据，得到，求得，同理得到，即可得到，解题的关键掌握相似三角形的判定．
【小问1详解】
解：根据题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
同理可得，
∴米，
答：旗杆的长度为米．
【小问2详解】
本题将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用相似三角形的知识给予解决．通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学转化的思想，从而提高了我们解决实际问题的能力，增强应用意识．
故答案为：转化，相似三角形，转化；
【小问3详解】
本题是利用阳光下的影子来测量的，测量塘的宽度；测量山的长度．