湖南省娄底市市直学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份湖南省娄底市市直学校联考2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共10页。

（时量：120分钟 满分：120分）
注意事项：
1.答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2.必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3.答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4.请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁；
5.答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸。
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.下列方程一定是关于x的一元二次方程的是（ ）
A.B.
C.D.
2.如图，已知直线，直线m，n与a，b，c分别交于点A，C，E，B，D，F，若，，，则的值是（ ）
A.4B.4.5C.5D.5.5
3.公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力阻力壁=动力动力臂.小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力（单位：）关于动力臂l（单位：）的函数解析式正确的是（ ）
A.B.C.D.
4.我们把宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形.黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计.已知四边形是黄金矩形，边的长度为，则该矩形的周长为（ ）
A.B.4C.或4D.
5.一元二次方程配方后可化为（ ）
A.B.C.D.
6.关于反比例函数，下列结论正确的是（ ）
A.图象位于第二、四象限B.图象与坐标轴有公共点
C.图象经过点，则或1D.函数随的增大而减小
7.如图，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，，.若，则点的坐标为（ ）
A.B.C.D.
8.如图，为等边三角形，点，分别在边，上，.若，，则的长为（ ）
A.1.8B.2.4C.3D.3.2
9.如图，在长为，宽为的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是，则小路的宽是（ ）
A.B.C.或D.
10.如图，在平面直角坐标中，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点.正方形的顶点、在第一象限，顶点在反比例函数的图象上.若正方形向左平移个单位后，顶点恰好落在反比例函数的图象上，则的值是（ ）
A.3B.4C.5D.6
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.已知关于的一元二次方程的一个根是2，则此方程的另一个根是_______.
12.若是方程的解，则代数式的值为_______.
13.如图，是平行四边形边的延长线上一点，，则_______.
14.若点，，都在反比例函数的图象上，把，，的大小关系用“<”连接是_______.
15.如图，在中，，正方形的顶点、分别在、边上，在上，若，，则正方形的边长为_______.
16.如图，在，，，……，，都是一边在轴上的等边三角形，点，，，……都在反比例函数的图像上，点，，，……都在轴上，则的坐标为_______.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.计算：；
18.解方程：（1）；（2）.
19.先化简，再求值：，其中.
20.已知关于的一元二次方程有实数根，两根分别、.
（1）求的取值范围；
（2）当为负整数时，求的值.
21.某服装厂生产一批服装，2021年该服装的出厂价是300元／件，2022年、2023年连续两年改进技术降低成本，2023年该服装的出厂价调整为243元/件.
（1）若这两年此类服装的出厂价下降的百分率相同，求平均下降率；
（2）2023年某商场从该服装厂以出厂价购进若干件此类服装，以300元／件销售时，平均每天可销售10件.为了减少库存，商场决定降价销售.经调查发现，单价每降低10元，每天可多售出20件，如果该商场想每天盈利1920元，那么单价应降低多少元？
22.如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，与反比例函数图象的一个交点为.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）当时，求的取值范围；
（3）求点到直线的距离.
23.如图，在平行四边形中，点在上，.
（1）求证：；
（2）若，，求的长.
24.阅读以下材料，并解决问题.
已知，求和的值.
解：把等式左边的式子变形得：
，即，
利用以上方法，解决下列问题：
（1）已知，求和的值.
（2）已知a，b，c是等腰的三边长，满足，求.
25.如图，是边长为4的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形.P是x轴上的动点，
连接，以为斜边在其左侧构造等腰直角；
（1）求点M的坐标：
（2）过N作y轴垂线，垂足为D.当M、C、N共线时，在x轴上是否存在点Q，使得以N、P、Q为顶点的三角形与相似？若存在，直接写出点Q的坐标：若不存在，请说明理由；
（3）当时，求P点坐标.
2023年秋季学期九年级期中质量检测卷
数学参考答案
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的，请在答题卡中填涂符合题意的选项.本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1.D 2.B 3.B 4.C 5.A 6.C 7.B 8.C 9.A 10.A
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11.-4 12.2025 13.1：2 14. 15. 16.
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23题每小题9分，第24、25题每小题10分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17.解：原式=；
18.解：（1），
，，
，；
（2），，
，，.
19.解：原式；当时，
原式.
20.解：（1）关于x的一元二次方程有实数根，
，解得：；
（2），m为负整数，，
方程为， ，
，，
.
21.解：（1）设平均下降率为x，
依题意得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：平均下降率为10%.
（2）设单价应降低m元，则每件的销售利润为元，每天可售出件，
依题意得：，
整理得：，解得：，.
要减少库存，.
答：单价应降低27元.
22.解：（1）把代入得，则，
把代入得，
所以反比例函数解析式为；
（2）解方程组得或，
则反比例函数与一次函数的另一个交点坐标为，
当或时，；
（3），，
设点B到直线的距离为h，，解得，
即点B到直线的距离为.
23.（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，；
（2）解：， ，
，，，.
24.解：（1），，
，，，，.
（2），
，，，，，，
是等腰三角形或6.
25.解：（1）解：如图相连，，
，，，
设，，，，
，，，；
（2）如图，M、C、N共线，过点N作轴，交x轴于点，
由题意可得，，，，
，，，
因此在x轴上是否存在点Q，使得以N、P、Q为顶点的三角形与相似，分别为，，
是等腰直角三角形，，，，
由等边三角形的边长为4可得，由（1）可得，
设直线解析式为，将和代入可得，
解得，直线解析式为，
设，则，解得，
，；
，，设直线解析式为，
将和代入可得，
解得，直线解析式为，
当时，解得，；
（3）取中点E，中点F，连接，.设，，则，
，，
，，即，，E在中点线上，
，，的解析式为，
又轴，，，，，
.