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北师大版3 垂径定理课文配套课件ppt
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这是一份北师大版3 垂径定理课文配套课件ppt，共28页。PPT课件主要包含了两个条件缺一不可，应用实际，巩固练习，布置作业等内容，欢迎下载使用。
复习回顾——圆的对称性与相关定理
说说圆的对称性.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
描述圆心角、弧、弦之间相等关系定理.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径折叠可以是哪些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
活动：在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出猜想.
猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
你能写出已知求证，并证明吗？
求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB ，垂足为E.
该证明用了圆的什么性质？
求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
若只证明AE=BE，还有什么方法？
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做___________.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
由下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
垂直定理还可表达为：一条直线若满足
如果将“垂直定理”中的条件②垂直于弦与结论③平分弦互换，得到的结论仍然成立吗？
上述猜想的条件和结论是什么？请将文字语言转换成符号语言，写出已知和求证.
得到的结论仍然成立：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧.
求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），CD是⊙O的一条直径， AB与CD交于点E，并且AE=BE .
用SSS证明Rt△OAE≌Rt△OBE.
解：连接OC.设弯路的半径为R m，则OF=（ R -90） m.∵ OE⊥CD，
在Rt△OCF中，根据勾股定理得OC2=CF2+ OF2，即
R2=3002+(R-90) 2.
解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.
弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距. 如OF.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.如弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂线,垂线被弦和弧所截的线段的长,称为弓形的高.如EF .
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC=BD.
问：（1）证明两条线相等，最习惯用什么方法？（2）在此用三角形全等怎么证明？（3）用垂径定理怎么证明？
解：过点O作OE⊥AB，连接OA，OB，OC，OD.则AE=BE， CE=DE，所以AE- CE =BE- DE，即AC=BD.
添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线.
1.已知在⊙O中，弦AB=8，O到AB的距离等于3，求⊙O的半径.
变式训练：（1）如图（1），AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD.
证明：∵AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆于C、D两点，∴OA=OB， OC=OD，∴ OA- OC =OB- OD，∴ AC=BD.
变式训练：（2）把图中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图（2），是否仍有AC=BD？
变式训练：（3）在图（2）中连接OC，OD，将小圆隐去，设OC=OD，求证：AC=BD.
解：过点O作OE⊥AB，连接OA，OB，则AE=BE.又OC=OD， OE=OE， OE⊥AB，所以Rt△OEC≌ Rt△OED.所以CE=DE，所以AE- CE =BE- DE，即AC=BD.
2.已知AB为⊙O的弦，P为AB上的一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径r及∠OPB的正弦值.
3.在半径为6 cm的圆中，已知互相垂直的弦，其中一条被另一条分为3 cm和7 cm两段，则圆心到两弦的距离之和等于多少？
4.已知⊙O的半径为15 cm，弦PQ∥MN且PQ=18 cm，MN=24 cm，求以两平行弦为底的梯形的面积.
梯形面积为441 cm2
梯形面积为63 cm2
1.垂径定理是说一条直线如果具备：（1）过圆心；（2）垂直于弦，则它有以下性质：（1）平分弦；（2）平分弦所对的劣弧；（3）平分弦所对的优弧.2.如果这条直线具备其中两个性质能否得出第三个呢？请同学们课后探索.3.利用垂径定理进行计算时，一般情况下要作出圆心到弦的垂线段，构造出一个直角三角形，在三个量中，知道任意两个，即可求出第三个.
4.垂径定理包含了重要的线段相等、角相等关系和垂直关系，在解题中要灵活应用.归纳证明线段相等的方法：（1）三角形全等；（2）中垂线定理；（3）角平分线定理（垂线段）；（4）垂径定理；（5）计算.
教材第76~77页习题3.3.
复习回顾——圆的对称性与相关定理
说说圆的对称性.圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.圆是中心对称图形，对称中心为圆心.
描述圆心角、弧、弦之间相等关系定理.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
探索新知——垂径定理及其逆定理
（1）在探索圆的轴对称性的过程中，若沿两条直径折叠可以是哪些位置关系呢？垂直是特殊情况，你能得出哪些等量关系？
（2）若把AB向下平移到任意位置，变成非直径的弦，观察一下，还有与刚才类似的结论吗？
活动：在圆纸片上画出图形，并沿CD折叠，实验后提出猜想.
猜想：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
你能写出已知求证，并证明吗？
求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB ，垂足为E.
该证明用了圆的什么性质？
求证：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦，CD是⊙O的一条直径，并且CD⊥AB ，垂足为M.
若只证明AE=BE，还有什么方法？
猜想得以证明，命题是真命题，我们把真命题叫做___________.
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
由下列各图，能否得到AE=BE的结论？为什么？
垂直定理还可表达为：一条直线若满足
如果将“垂直定理”中的条件②垂直于弦与结论③平分弦互换，得到的结论仍然成立吗？
上述猜想的条件和结论是什么？请将文字语言转换成符号语言，写出已知和求证.
得到的结论仍然成立：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧.
求证：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对应的弧.已知：如图，AB是⊙O的一条弦（不是直径），CD是⊙O的一条直径， AB与CD交于点E，并且AE=BE .
用SSS证明Rt△OAE≌Rt△OBE.
解：连接OC.设弯路的半径为R m，则OF=（ R -90） m.∵ OE⊥CD，
在Rt△OCF中，根据勾股定理得OC2=CF2+ OF2，即
R2=3002+(R-90) 2.
解这个方程，得R=545.所以，这段弯路的半径为545 m.
弦心距：圆心到弦的垂线段的长度称为这条弦的弦心距. 如OF.
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形.如弓形CED.
弓形的高：从圆心向弦作垂线,垂线被弦和弧所截的线段的长,称为弓形的高.如EF .
例2.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点.求证：AC=BD.
问：（1）证明两条线相等，最习惯用什么方法？（2）在此用三角形全等怎么证明？（3）用垂径定理怎么证明？
解：过点O作OE⊥AB，连接OA，OB，OC，OD.则AE=BE， CE=DE，所以AE- CE =BE- DE，即AC=BD.
添半径和过圆心作弦的垂线段是两条常用的辅助线.
1.已知在⊙O中，弦AB=8，O到AB的距离等于3，求⊙O的半径.
变式训练：（1）如图（1），AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆于C、D两点，求证：AC=BD.
证明：∵AB是两个以O为圆心的同心圆中大圆的直径，AB交小圆于C、D两点，∴OA=OB， OC=OD，∴ OA- OC =OB- OD，∴ AC=BD.
变式训练：（2）把图中直径AB向下平移，变成非直径的弦AB，如图（2），是否仍有AC=BD？
变式训练：（3）在图（2）中连接OC，OD，将小圆隐去，设OC=OD，求证：AC=BD.
解：过点O作OE⊥AB，连接OA，OB，则AE=BE.又OC=OD， OE=OE， OE⊥AB，所以Rt△OEC≌ Rt△OED.所以CE=DE，所以AE- CE =BE- DE，即AC=BD.
2.已知AB为⊙O的弦，P为AB上的一点，AB=10 cm，OP=5 cm，PA=4 cm，求⊙O的半径r及∠OPB的正弦值.
3.在半径为6 cm的圆中，已知互相垂直的弦，其中一条被另一条分为3 cm和7 cm两段，则圆心到两弦的距离之和等于多少？
4.已知⊙O的半径为15 cm，弦PQ∥MN且PQ=18 cm，MN=24 cm，求以两平行弦为底的梯形的面积.
梯形面积为441 cm2
梯形面积为63 cm2
1.垂径定理是说一条直线如果具备：（1）过圆心；（2）垂直于弦，则它有以下性质：（1）平分弦；（2）平分弦所对的劣弧；（3）平分弦所对的优弧.2.如果这条直线具备其中两个性质能否得出第三个呢？请同学们课后探索.3.利用垂径定理进行计算时，一般情况下要作出圆心到弦的垂线段，构造出一个直角三角形，在三个量中，知道任意两个，即可求出第三个.
4.垂径定理包含了重要的线段相等、角相等关系和垂直关系，在解题中要灵活应用.归纳证明线段相等的方法：（1）三角形全等；（2）中垂线定理；（3）角平分线定理（垂线段）；（4）垂径定理；（5）计算.
教材第76~77页习题3.3.
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