初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数精品测试题

这是一份初中数学人教版九年级上册第二十二章 二次函数22.1 二次函数的图象和性质22.1.1 二次函数精品测试题，共27页。试卷主要包含了抛物线y＝3，函数可以看作由函数经过得到.等内容，欢迎下载使用。


1．抛物线y＝3（x+1）2+1的顶点所在象限是（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列6个代数式：ab、ac、a+b+c、a﹣b+c 、2a+b、2a﹣b中，其值为正的式子的个数是（ ）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．抛物线y＝－2x2＋1的对称轴是（ ）
A．直线B．直线C．y轴D．直线x＝2
4．二次函数y＝x2＋4x－5的图象的对称轴为( )
A．x＝4B．x＝－4C．x＝2D．x＝－2
5．若反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，则一次函数的图象不经过（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
6．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表：
下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；③3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根；④当﹣1＜x＜3时，ax2+bx+c＜x．其中正确的个数为（ ）
A．4B．3C．2D．1
7．函数可以看作由函数经过( )得到.
A．向左平移1个单位，向上平移2个单位
B．向左平移4个单位，向上平移3个单位
C．向右平移1个单位，向下平移2个单位
D．向右平移4个单位，向下平移3个单位
8．如图抛物线的图象交x轴于A（﹣2，0）和点B，交y轴负半轴于点C，且OB=OC，下列结论：
①2b﹣c=2；②a=；③ac=b﹣1；④＞0
其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．二次函数 的图象如图，给出下列四个结论：① ；② ；③ ；④ ；其中正确结论的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于C点，其中﹣2＜h＜﹣1，﹣1＜xB＜0，下列结论①abc＜0；②（4a﹣b）（2a+b）＜0；③4a﹣c＜0；④若OC=OB，则（a+1）（c+1）＞0，正确的为（ ）
A．①②③④B．①②④C．①③④D．①②③
11．抛物线y=﹣2（x+1）2﹣2的顶点坐标是 ．
12．如果点A(﹣3，y1)和点B(﹣2，y2)是抛物线y＝x2+a上的两点，那么y1 y2．（填“＞”、“＝”、“＜”）．
13．二次函数y=3（x﹣3）2+2顶点坐标坐标 ．
14．汽车刹车后行驶的距离s与行驶时间t（秒）的函数关系是 ，汽车从刹车后到停下来前进了 米．
15．拋物线的顶点为（2，﹣3），与y轴交于点（0，﹣7），则该抛物线的解析式为 ．
16．如图是抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2=mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论： ①2a+b=0；②abc＞0；③方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根；④抛物线与x轴的另一个交点是（﹣1，0）；⑤当1＜x＜4时，有y2＜y1 ，
其中正确的是 ．
17．已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点(-3，y1)，(4，y2)，试比较y1和y2的大小：y1 y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．
18．已知关于的二次函数的图象开口向下，与的部分对应值如下表所示：
下列判断，①；②；③方程有两个不相等的实数根；
④若，则，正确的是 (填写正确答案的序号) ．
19．已知二次函数
(1)完成下表：
(2)在下面的坐标系中描点，画出该二次函数的图象．
20．把 的图象向上平移2个单位.
（1）求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；
（2）画出平移后的函数图象；
（3）求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值.
21．求二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5的顶点坐标．
22．已知如图，抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），且与y轴交于点C（0，-3）.
（1）求该函数的关系式；
（2）求该抛物线与x轴的交点A，B的坐标.
23．如图，抛物线y=x2+x﹣与x轴相交于A、B两点，顶点为P．
（1）求点A、B的坐标；
（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标．
24．已知函数是关于x的二次函数．
（1）满足条件的m的值；
（2）m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当x为何值时，y随x的增大而增大？
（3）m为何值时，函数有最大值？最大值是多少？这时当x为何值时，y随x的增大而减小？
25．抛物线过点和点，与轴交于点，顶点为点．
（Ⅰ）求点的坐标；
（Ⅱ）点是线段上一动点，过点作直线轴，交抛物线于点，连接并延长交轴于点，连接．若的面积是面积的2倍，求点的坐标；
（Ⅲ）抛物线上一点，点的横坐标是，连接，与轴交于点，点是线段上一动点（不与点，点重合）将沿所在直线翻折，得到，当与重叠部分的面积是面积的时，求线段的长度．
评卷人
得分
一、单选题
x
﹣1
0
1
3
y
﹣1
3
5
3
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．B
【分析】根据抛物线y＝3（x+1）2+1，可以写出该抛物线的顶点坐标，从而可以得到顶点在第几象限．
【详解】解：∵抛物线y＝3（x+1）2+1，
∴该抛物线的顶点是（﹣1，1），在第二象限，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键.
2．A
【分析】由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的负半轴上可以推出c＜0，然后就可以判定ac的符号；由对称轴为x=﹣＞0可以判定ab的符号；观察图象知，当x=1时，y=a+b+c＞0，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0；由对称轴为x=﹣＜1，a＜0可以判定2a+b的符号；由a＜0，b＞0可以判定2a﹣b的符号.
【详解】∵抛物线的开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，
∴c＜0，
∴ac＞0，
∵对称轴为x=﹣＞0，
∴a、b异号，
∵a＜0，
∴b＞0，
∴ab＜0，
观察图象知，当x=1时，y=a+b+c＞0，当x=﹣1时，y=a﹣b+c＜0，
∵对称轴为x=﹣＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，
∵a＜0，b＞0，
∴2a﹣b＜0
∴有2个正确.
故选：A．
【点睛】本题考查由二次函数图象确定式子的符号，关键是熟悉二次函数的图象与性质，充分利用数形结合．
3．C
【分析】二次函数的顶点式为y=a(x-h)2+k，其对称轴为x=h，根据此知识点即可解此题．
【详解】解：已知抛物线解析式为顶点式，可直接写出顶点坐标及对称轴：
∵抛物线y＝－2x2＋1的顶点坐标为(0，1)，
∴对称轴是直线x＝0(y轴)．
故选C．
4．D
【详解】 ，
∴对称轴为x＝－2．
故选D
5．D
【分析】根据反比例函数的性质可得k＞0，然后再利用一次函数y=kx+b(k≠0)中，k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限可得答案．
【详解】∵反比例函数，在每个象限内，随的增大而减小，
∴k＞0，
∴一次函数y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质以及一次函数图象与系数的关系，关键是掌握反比例函数的图象是双曲线；当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大．
6．C
【分析】根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x＝1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．
【详解】解：①由图表中数据可知，x＝0和x＝3时，函数值相同，都是3，
∴对称轴为直线x＝＝，
∵x＝1时，y＝5，
∴a＜0，
∵x＝0时，y＝3，
∴c＝3，
∴ac＜0，故①正确，
②∵抛物线的对称轴x＝，
∴当x＞时，y的值随x值的增大而减小，故②错误，
∵x＝3时，y＝3，
∴9a+3b+c＝3，
∴9a+3（b﹣1）+c＝0，
∴x＝3是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，故③正确．
∵x＝﹣1时，y＝﹣1，
∴a﹣b+c＝﹣1，
∴a﹣（b﹣1）+c＝0，
∴x＝﹣1是方程ax2+（b﹣1）x+c＝0的一个根，
∴当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0，故④错误．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数的性质，二次函数与不等式，二次函数的性质是解题的关键．
7．A
【分析】将化为顶点式，再根据抛物线平移规律确定平移的方向和距离
【详解】∵=，，
∴平移后的解析式为y=，
即向左平移1个单位，向上平移2个单位得到，
故选：A.
【点睛】此题考查二次函数解析式的平移规律，根据规律“自变量左加右减，函数值上加下减”得到答案.
8．C
【详解】解：据图象可知a＞0，c＜0，b＞0，∴＜0，故④错误；
∵OB=OC，∴OB=﹣c，∴点B坐标为（﹣c，0），∴ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，∴ac=b﹣1，故③正确；
∵A（﹣2，0），B（﹣c，0），抛物线线与x轴交于A（﹣2，0）和B（﹣c，0）两点，∴2c=，∴2=，∴a=，故②正确；
∵ac﹣b+1=0，∴b=ac+1，a=，∴b=c+1，∴2b﹣c=2，故①正确；
故选C．
点睛：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△=b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
9．D
【分析】根据函数图像先判断a、b、c的正负，再利用二次函数的性质及图像逐项判定即可.
【详解】∵抛物线开口向下，所以a<0，与y轴交于正半轴，所以c＞0，
∴ac<0，
∵b2≥0，
∴ ，
∴①符合题意；
∵把x=1代入抛物线得：y=a+b+c＜0，
∴2a+2b+2c＜0，
∵ =－1，
∴b=2a，
∴3b+2c＜0，
∴②符合题意；
∵抛物线的对称轴是直线x=－1，
∴y=a-b+c的值最大，
即把x=m代入得：y=am2+bm+c≤a-b+c，
∴am2+bm+b≤a，
即m（am+b）+b≤a，
∴③符合题意；
∵a+b+c＜0，a-b+c＞0，
∴（a+c+b）（a+c-b）＜0，
则（a+c）2-b2＜0，
即（a+c）2＜b2，
故④符合题意；
故答案为：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的其他应用，不等式的性质，平方差公式，要求有较好的运算能力．关键是数形结合，熟悉二次函数的图象和性质．
10．C
【分析】①由抛物线对称轴位置确定ab的符号，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，进而对所得结论进行判断；②根据对称轴公式和-2＜h＜-1可得：4a-b＜0，根据a＜0，b＜0可知：2a+b＜0，可作判断；③根据b＞4a，得2b-8a＞0①，当x=-2时，4a-2b+c＞0②，两式相加可得结论；④根据OB=OC可知：c是方程ax2+bx+c=0的一个根，代入后可得：ac+b+1=0，则ac=-b-c，将所求的式子去括号再将ac的式子代入可得结论．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
抛物线对称轴位于y轴的左侧，则a、b同号，故ab＞0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c＜0，故abc＜0，
故①正确；
②∵抛物线开口方向向下，
∴a＜0，
∵x=-=h，且-2＜h＜-1，
∴4a＜b＜2a，
∴4a-b＜0，
又∵h＜0，
∴-＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，
∴（4a-b）（2a+b）＞0，
故②错误；
③由②知：b＞4a，
∴2b-8a＞0①．
当x=-2时，4a-2b+c＞0②，
由①+②得：4a-8a+c＞0，即4a-c＜0．
故③正确；
④∵当x=-1时，a-b+c＞0，
∵OC=OB，
∴当x=c时，y=0，即ac2+bc+c=0，
∵c≠0，
∴ac+b+1=0，
∴ac=-b-1，
则（a+1）（c+1）=ac+a+c+1=-b-1+a+c+1=a-b+c＞0，
故④正确；
所以本题正确的有：①③④，
故选C．
【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，不等式性质的熟练运用．
11．（﹣1，﹣2）
【分析】已知抛物线为解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．
【详解】解：因为y=﹣2（x+1）2﹣2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为（﹣1，﹣2）．
12．＞
【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，再比较即可．
【详解】解：∵y＝x2+a，
∴抛物线的对称轴是直线x＝0，抛物线的开口向上，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣3＜﹣2＜0，
∴y1＞y2，
故答案为：＞．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解题的关键．
13．（3，2）
【分析】因为顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k），对照求二次函数y=3（x-3）2+2的顶点坐标．
【详解】∵二次函数y=3（x-3）2+2是顶点式，
∴顶点坐标为（3，2）．
故答案是：（3，2）．
【点睛】考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，解题关键是运用了顶点式y=a（x-h）2+k，其顶点坐标是（h，k）.
14．9
【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．
【详解】
，
∴汽车刹车后到停下来前进了9米．
故答案为：9．
【点睛】本题主要考查了二次函数求最值的问题，根据已知利用配方法得出顶点式是解题关键．
15．y=﹣（x﹣2）2﹣3
【分析】因知道了顶点坐标，所以可设顶点式求解，即设y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入即可求出a的值．
【详解】设y=a(x-2)2 -3，然后把（0，﹣7）代入，得
-7=a(0-2)2 -3，
解之得，a=-1．
∴y=-(x-2)2 -3．
故答案为y=-(x-2)2 -3．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，正确利用顶点式设出函数解析式是解答本题的关键．
16．①③⑤
【分析】①根据拋物线的开口方向以及对称轴为x=1,即可得出a、b之间的关系以及ab的正负,由此得出①正确，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上,可知c为正结合a<0、b>0即可得出②错误，将抛物线往下平移3个单位长度可知抛物线与x轴只有一个交点从而得知③正确，根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为x=1以及点B的坐标,即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标,④正确，⑤根据两函数图象的上下位置关系即可解题.
【详解】∵抛物线的顶点坐标A（1，3），
∴对称轴为x=-=1，
∴2a+b=0，①正确，
∵a，b,抛物线与y轴交于正半轴，
∴c
∴abc0，②错误，
∵把抛物线向下平移3个单位长度得到y= ax2+bx+c-3,此时抛物线的顶点也向下平移3个单位长度，
∴顶点坐标为（1,0），抛物线与x轴只有一个交点，即方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根， ③正确.
∵对称轴为x=-=1，与x轴的一个交点为（4,0），根据对称性质可知与x轴的另一个交点为（-2，0），④错误，
由抛物线和直线的图像可知，当1＜x＜4时，有y2＜y1.， ⑤正确.
【点睛】本题考查了二次函数的图像和性质，熟悉二次函数的性质是解题关键.
17．=
【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线 ，
∵
∴点 关于直线对称，
故答案是：
18．①②④．
【分析】由题意和图表可得a＜0，当-3＜x＜1时，y＞0，抛物线对称轴为直线x=，从而判断出b和c的符号，从而判断①；将（1,0）代入解析式中即可判断②；根据二次函数的最值可得＜1＋t，从而判断③；将（-2，m）代入即可求出a的取值范围，再将（-1，t）代入解析式中即可求出结论．
【详解】解：由题意和图表可知：二次函数的图象开口向下，与x轴的交点坐标为（-3,0）、（1,0）
∴a＜0，当-3＜x＜1时，y＞0，抛物线对称轴为直线x=
∴，当x=0时，y=c＞0
∴＜0
∴，故①正确；
将（1,0）代入中，得
∴，故②正确；
由表格可知：当x=-1时，y最大，最大值为t
∴无论x取何值，≤t
∴＜1＋t
∴无解
即方程无解，故③错误；
由②知
将（-2，m）代入中，得
∵
∴
∴
解得：
将（-1，t）代入中，得
∵
∴，故④正确．
综上：正确的结论有①②④．
故答案为：①②④．
【点睛】此题考查的是二次函数的图象及性质，掌握二次函数的图象及性质与各项系数的关系是解决此题的关键．
19．见详解.
【分析】（1）取合适的x值，分别求出对应的y值，填入表格即可；
（2）在直角坐标系内一次描出点，并用平滑的曲线连接.
【详解】解：（1）如下表，
（2）见下图，
【点睛】本题考查了描点法画二次函数的图像，属于基础作图题，找到合适的点是关键.
20．（1）y=x2+2，顶点坐标是(0，2)，对称轴是y轴；（2）画图见解析；（3）x=0时，y有最大值，为2.
【详解】试题分析：（1）根据平移规律“上加下减”写出平移后的抛物线的解析式；
（2）根据抛物线解析式列函数对应值表，并作函数图象；
（3）结合函数图象回答问题.
试题解析：（1）把y=-x2的图象向上平移2个单位后得到抛物线的解析式为：y=-x2+2，
所以它的顶点坐标是（0，2），对称轴是x=0，即y轴；
（2）由y=-x2+2，得
其函数图象如图所示：
；
（3）如图所示：当x=0时，y最大=2．
21．（3，﹣5）
【分析】根据y=-2（x-3）2-5，可以得到该函数的顶点坐标，本题得以解决．
【详解】解：∵二次函数y=﹣2（x﹣3）2﹣5，
∴二次函数的顶点坐标为（3，﹣5）．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是明确二次函数的性质，由二次函数解析式的顶点式可以直接写出顶点坐标．
22．（1）
（2）A（3，0），B（-1，0）.
【分析】（1）由抛物线的顶点D的坐标为（1，-4），可设抛物线的函数关系式为y=a（x-1）2-4，再将C（0，-3）代入求解即可；
（2）将y=0代入（1）中所求解析式，得到x2-2x-3=0，解方程求出x的值，进而得到抛物线与x轴的交点A，B的坐标．
【详解】（1）∵抛物线的顶点D的坐标为(1，−4)，
∴设抛物线的函数关系式为y=a(x−1)2−4，
又∵抛物线过点C(0，-3)，
∴-3=a(0−1)2−4，
解得a=1，
∴抛物线的函数关系式为y=(x−1)2−4，
即y=x2−2x−3；
（2）令y=0，得：x2，
解得，.
所以坐标为A（3，0），B（-1，0）.
23．（1）点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；（2）存在，E的坐标为（﹣1﹣2 ， 2）或（﹣1+2 ， 2）；（3）存在，F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）
【分析】（1）令y=0，则x2+x﹣=0，解方程即可得到点A、B的坐标；
（2）先利用对称性得到顶点P的坐标（﹣1，﹣2），然后根据△ABP的面积等于△ABE的面积，得到△ABE的边AB上的高为2，故设点E坐标为（a，2），再把E（a，2）代入抛物线的解析式得到关于a的方程，解方程即可确定E点坐标；
（3）分类讨论：分别以AB、PA、PB为平行四边形的对角线，根据平行四边的性质易确定点F的坐标.
【详解】（1）令y=0，则x2+x﹣=0，
解得x1=﹣3，x2=1，
∴点A坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0）；
（2）存在．
抛物线的对称轴为直线x=﹣1，令x=﹣1，则y=﹣1﹣=﹣2，
∴P点坐标为（﹣1，﹣2），
∵△ABP的面积等于△ABE的面积，
∴点E到AB的距离等于2，
设E（a，2），
把E（a，2）代入抛物线的解析式得，a2+a﹣=2，解得a=﹣1﹣2或﹣1+2 ，
∴符合条件的点E 存在，且坐标为（﹣1﹣2， 2）或（﹣1+2，2）．
（3）①若AB为平行四边形的对角线，则PF为另一对角线，且PF在抛物线的对称轴上，
∴由平行四边形的性质得：点P与点F关于x轴对称，
∴F点坐标为（﹣1，2）；
②若PA为平行四边形的对角线，设F(x，y)，
则有 ，
∴ ，
即点F的坐标为（﹣5，﹣2）；
③若PB为平行四边形的对角线，设F(x，y)，
则有 ，
∴ ，
即点F的坐标为（3，﹣2）；
综上所述，所有符合条件的点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2）．
【点睛】本题是二次函数的实际应用-几何问题，综合性较强，考查了二次函数图象与坐标轴的交点问题，平行四边形的性质，三角形面积等知识，要分类讨论．
24．（1）m1=2，m2=﹣3；（2）当m=2时，抛物线有最低点，最低点为：（0，1），当x＞0时，y随x的增大而增大；（3）当m=﹣3时，函数有最大值，最大值为1，当x＞0时，y随x的增大而减小
【分析】（1）利用二次函数的定义得出关于m的等式，解方程即可得出答案；
（2）利用二次函数的性质得出m的值；
（3）利用二次函数的性质得出m的值.
【详解】（1）∵函数是关于x的二次函数，
∴m2+m﹣4=2，
解得：m1=2，m2=﹣3；
（2）当m=2时，抛物线有最低点，
此时y=4x2+1，
则最低点为：（0，1），
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m=﹣3时，函数有最大值，
此时y=﹣x2+1，故此函数有最大值1，
由于抛物线的对称轴为y轴，
故当x＞0时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义及二次函数的性质，解一元二次方程，因此掌握二次函数的定义与性质是解答本题的关键．
25．（Ⅰ）点的坐标为；点的坐标为；（Ⅱ）点的坐标为；（Ⅲ）或．
【分析】（Ⅰ）利用待定系数法求函数解析式，然后利用二次函数性质求解；
（Ⅲ）过点作直线轴，交抛物线于点，设点的坐标为，求得直线BM的解析式，确定N点坐标，然后结合三角形面积公式列方程求解；
（Ⅲ）确定直线BT的解析式，然后结合平行四边形的判定和性质分情况讨论求解
【详解】解：（Ⅰ）∵抛物线经过点和点，
得，解得
∴抛物线的解析式为．
∵当时，，
∴点的坐标为．
，
∴顶点的坐标为．
（Ⅱ）设点的坐标为．
∵过点作直线轴，交抛物线于点，
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
有，解得
∴直线的解析式为．
∵当时，，
∴点的坐标为．
，
，
的面积是面积的2倍，
，
，
．
∴点的坐标为．
（Ⅲ）∵抛物线上一点，点的横坐标是，
．
∴点的坐标为．
设直线的解析式为，
有，解得
∴直线的解析式为．
∵当时，．
∴点的坐标为．
过点作轴于点，则，
．
又，
，
∴点是线段的中点．
．
由折叠知，，则．
．
①如图，当点在直线下方时，设线段与线段交于点，
与重叠部分是，连接．
，
．
．
∴四边形是平行四边形．
．
，
．
②如图，当点在直线上方时，设线段与线段交于点与重叠部分是，连接．
同理可得，四边形是平行四边形．
．
，
．
设直线的解析式为，
有，解得
∴直线的解析式为．
设点的坐标为，
过点作轴于点，
，解得．
，
∴点的坐标为．
过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两线交于点，
．
综上所述，线段的长度为或．
【点睛】此题考查了二次函数综合应用，题目难度较大，掌握二次函数的性质利用数形结合思想解题是关键．
x
…
-2
-1
0
1
2
3
4
…
y
…
-2

0
-2
…