人教部编版九年级上册数学期中卷A卷含解析答案

这是一份人教部编版九年级上册数学期中卷A卷含解析答案，共25页。试卷主要包含了一元二次方程 配方后可变形为，一元二次方程的根的情况是，已知等内容，欢迎下载使用。


1．顶点是（－3，0），开口方向、形状与函数的图象相同的抛物线为 ( )
A．B．
C．D．
2．若关于的方程有两个不相等的实数根，则下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．若b<0，则二次函数y=x2-bx-1的图象的顶点在（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
4．若函数y＝则当函数值y＝8时，自变量x的值是( )
A．±B．4C．或4D．4或－
5．一元二次方程 配方后可变形为（ ）
A．B．C．D．
6．一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根
C．没有实数根D．无法确定
7．抛物线y=x2﹣8x的顶点坐标为（ ）
A．（4，16）B．（﹣4，16）C．（4，﹣16）D．（﹣4，﹣16）
8．一元二次方程x2-3x-1=0与x2-3x+3=0的所有实数根的和等于（ ）
A．－3B．－6C．6D．3
9．抛物线y=ax2+bx+c的图角如图，则下列结论：①abc>0；②a+b+c=2；③a>；④b<1．其中正确的结论是（ ）
A．①②B．②③C．②④D．③④
10．已知：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③a﹣b+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大．其中正确的结论有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
11．方程的解是 ．
12．二次函数y＝ax2中，当x＝1时，y＝2，则a＝ .
13．关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0的一个根为，则另一个根为 ，m的值为 .
14．三角形的两边长分别为4和7，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是 ．
15．已知函数y＝，且使y＝k成立的x值恰好有2个，则k的取值范围是 ．
16．解方程：y(y-1)+2y-2=0．
17．求下列各式中的x．
（1）4x2﹣16＝0；
（2）（x﹣2）3＝18．
18．如图，在正方形ABCD中，点A的坐标为（，），点D的坐标为（，），且AB∥y轴，AD∥x轴． 点P是抛物线上一点，过点P作PE⊥x轴于点E，PF⊥y轴于点 F．
（1）直接写出点的坐标；
（2）若点P在第二象限，当四边形PEOF是正方形时，求正方形PEOF的边长；
（3）以点E为顶点的抛物线经过点F，当点P在正方形ABCD内部(不包含边)时，求a的取值范围．
19．如图，已知点A（-4，8）和点B（2，n）在抛物线y=ax2上．求a的值及点B的坐标.
20．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
21．某厂工业废气年排放量为400万立方米，为改善锦州市的大气环境质量，决定分二期投入治理，使废气的年排放量减少到256万立方米，如果每期治理中废气减少的百分率相同.
（1）求每期减少的百分率是多少？
（2）预计第一期治理中每减少1万立方米废气需投入3万元，第二期治理中每减少1万立方米废气需投入4.5万元，问两期治理完成后需投入多少万元？
22．已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2满足x1x2=x1+x2﹣2．
（1）求a的值；
（2）求出该一元二次方程的两实数根．
23．已知抛物线yn＝－（x－an）2＋an（n为正整数，且0＜a1＜a2＜…＜an）与x轴的交点为An－1（,0）和An（bn，0）．当n＝1时，第1条抛物线y1＝－（x－a1）2＋a1与x轴的交点为A0（0，0）和A1（b1，0），其他依此类推．
（1）求a1、b1的值及抛物线y2的解析式；
（2）抛物线y3的顶点坐标为；依此类推第n条抛物线yn的顶点坐标为用含n的式子表示；所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式；
（3）探究下列结论：
①若用An－1An表示第n条抛物线被x轴截得的线段的长，则A0A1等于多少？An－1An等于多少？
②是否存在经过点A1（b1，0），的直线和所有抛物线都相交，且被每一条抛物线截得的线段的长度都相等？若存在，直接写出直线的表达式；若不存在，请说明理由．
24．如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？
（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．
25．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax﹣（a≠0）交x轴于A、B两点，交y轴于点C，这条抛物线的顶点为D．
（1）求点D的坐标．
（2）过点C作CE∥x轴交抛物线于点E．当CE＝2AB时，求点D的坐标．
（3）这条抛物线与直线y＝﹣x相交，其中一个交点的横坐标为﹣1．过点P（m，0）作x轴的垂线，交这条抛物线于点M，交直线y＝﹣x于点N，且点M在点N的下方．当线段MN的长度随m的增大而增大时，求m的取值范围．
（4）点Q在这条抛物线上运动，若在这条抛物线上只存在两个点Q，满足S△ABQ＝3S△ABC，直接写出a的取值范围．
评卷人
得分
一、单选题
评卷人
得分
二、填空题
评卷人
得分
三、解答题
参考答案：
1．B
【分析】设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，由条件可以得出a，再将顶点坐标代入解析式就可以求出结论．
【详解】设抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k，且该抛物线的形状与开口方向和抛物线yx2相同，∴a，∴y（x﹣h）2+k，∴．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，在解答时运用抛物线的性质求出a值是关键．
2．A
【分析】由关于的方程有两个不相等的实数根，可得△＞0，由此即可解答．
【详解】∵a=1，b=p，c=q，关于的方程有两个不相等的实数根，
∴△=b2 -4ac=p2 -4×1×q=p 2 -4q＞0，
即p2 -4q＞0．
故选A．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的解与判别式△的关系是解决问的关键．
3．C
【分析】只需运用顶点坐标公式求出顶点坐标，然后根据b＜0就可确定顶点所在的象限．
【详解】解：二次函数y=x2-2bx﹣1的图象的顶点为 即
∵b＜0，
∴
∴在第三象限．
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的顶点坐标公式、象限点的坐标特征等知识，运用顶点坐标公式是解决本题的关键．
4．D
【分析】把y=8直接代入函数y＝即可求出自变量的值．
【详解】把y=8代入函数y＝，
先代入上边的方程得x=±，
∵x≤2，x=不合题意舍去，故x=-；
再代入下边的方程x=4，
∵x＞2，故x=4，
综上，x的值为4或-．
故选D．
【点睛】本题比较容易，考查求函数值．
（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；
（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．
5．A
【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边加上16，然后把方程左边写成完全平方形式即可．
【详解】解：∵x2-8x+1=0，
∴x2-8x=-1，
∴x2-8x+16=15，
∴（x-4）2=15．
故选A．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，当二次项系数为1时，配一次项系数一半的平方是关键．
6．A
【分析】求出根的判别式△，然后选择答案即可．
【详解】∵△=＞0，
∴方程有有两个不相等的实数根．
故选：A．
7．C
【分析】利用配方法将抛物线的解析式y=x2﹣8x转化为顶点式解析式，然后求其顶点坐标．
【详解】解：∵y=x2﹣8x=（x﹣4）2﹣16，
∴抛物线顶点坐标为（4，﹣16），
故选C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，解题的关键在于能够准确地把二次函数解析式化为顶点式.
8．D
【分析】首先需要通过判别式来判定这两根方程是否有实数根，再根据根与系数的关系即可求得答案．
【详解】解：∵x2-3x-1=0，
a=1，b=-3，c=-1，
∴b2-4ac=13＞0，
∴方程有两个不相等的实数根，
设这两个实数根分别为x1与x2，
则x1+x2=3；
又∵x2-3x+3=0，
a=1，b=-3，c=3，
∴b2-4ac=-3＜0，
∴此方程没有实数根，
∴一元二次方程x2-3x-1=0与x2-3x+3=0的所有实数根的和等于3，
故选D．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，先确定方程根的情况是解题的关键.
9．B
【详解】由图可知抛物线开口向上
∴a>0，对称轴在y轴左侧，故b>0，抛物线与y轴交于负半轴，则c<0
所以①abc>0错误，
由图知当x=1时y=2
∴②a+b+c=2；正确，当x=-1时，函数值＜0，即a-b+c＜0，（1），
又∵a+b+c=2，将a+c=2-b代入（1），2-2b＜0，
∴b＞1所以④b<1．错误，
因为，对称轴，
∴b<2a，
∵b＞1
故③a>正确
故选：B．
10．B
【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；根据抛物线过点（−1，0），则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．
【详解】①∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即4ac＜b2，所以①正确；
②∵抛物线的对称轴为直线x=1，
而点（﹣1，0）关于直线x=1的对称点的坐标为（3，0），
∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3，所以②正确；
③∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点（﹣1，0），
∴a﹣b+c=0，所以③错误；
④∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），
∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；
⑤∵抛物线的对称轴为直线x=1，
∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：Δ＝b2−4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ＝b2−4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ＝b2−4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
11．，
【分析】直接令每个因式等于0求解即可．
【详解】解：∵，
∴x-1=0，或x-3=0，
∴，．
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
12．2
【详解】将x＝1，y＝2代入y＝ax2中，解得a＝2.
13． 5 -10
【分析】设方程另一个根为t，根据根与系数的关系得到-2+t=3，-2t=m，计算求解即可.
【详解】解：设方程另一个根为t，
则-2+t=3，-2t=m，
所以t=5，m=-10，
方程的另一个根为5，即m的值为-10；
故答案为5；-10.
【点睛】此题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，解题的关键是熟练运用根与系数的关系.
14．17
【分析】先利用因式分解法求解得出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断能否构成三角形，从而得出答案．
【详解】解：解方程得x1=2，x2=6，
当x=2时，2+4=6<7，不能构成三角形，舍去；
当x=6时，2+6＞7，能构成三角形，此时三角形的周长为4+7+6=17.
故答案为：17．
【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
15．k＝1或k＜﹣8
【分析】求出抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1交点坐标（4，﹣8），然后利用函数图象求出直线y＝k与函数图象有两个交点时k的范围即可．
【详解】解：y＝﹣（x﹣1）2+1的顶点坐标为（1，1），
y＝﹣（x﹣7）2+1的顶点坐标为（7，1），
当 得：x＝4，
则抛物线y＝﹣（x﹣1）2+1和抛物线y＝﹣（x﹣7）2+1相交于点（4，﹣8），
如图，直线y＝﹣8与函数图象有三个交点，
当k＜﹣8时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
当k＝1时，直线y＝k与函数图象有2个交点，
所以使y＝k成立的x值恰好有2个时，k＝1或k＜﹣8．
故答案为：k＝1或k＜﹣8．
【点睛】本题考查的是二次函数与直线的交点个数的问题，利用数型结合是解题的关键．
16．
【分析】利用分解因式法解答即可．
【详解】解：原方程可变形为：，
即，
∴y－1=0或y+2=0，
解得：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解法，属于基础题目，熟练掌握求解的方法是关键．
17．（1）；（2）x=5．
【分析】（1）直接利用开方法解一元二次方程即可；
（2）直接利用求立方根的方法解方程即可.
【详解】解：（1）∵ ，
∴，
∴
∴
（2）∵，
，
∴
∴
∴x=5
【点睛】本题主要考查利用平方根与立方根解方程，解题的关键在于能够熟练掌握平方根与立方根的定义．
18．（1）B (3，3)；（2）正方形的边长为3；（3）＞3或＜.
【分析】（1）先利用A点和D点坐标得到正方形ABCD的边长为4，然后写出B点坐标；
（2）设点P（x，x2+2x），利用正方形的性质得到PE=PF，即x2+2x=-x，然后解方程求出x即可得到正方形PEOF的边长；
（3）设P（m，m2+2m）（m≠0），则E（m，0），F（0，m2+2m），利用顶点式表示以E为顶点的抛物线解析式为y=a（x-m）2，再把F（0，m2+2m）代入得m=，接着求出抛物线y=x2+2x与BC的交点坐标为（1，3），则利用点P在正方形ABCD内部（不包含边）得到-1＜m＜1且m≠0，然后分别解-1＜＜0和0＜＜1即可．
【详解】（1）(，)；（2）设点(，).
当四边形是正方形时，，
当点在第二象限时，有.
解得，.
∵，
∴.
∴正方形的边长为.
（3）设点(，)，则点E（，），则点F(，).
∵为抛物线顶点，
∴该抛物线解析式为.
∵抛物线经过点，
∴，化简得.
对于，令，解得； 令，解得.
∵点在正方形内部，
∴＜＜，且.
①当＜＜时
由反比例函数性质知，∴＜.
②当＜＜时
由反比例函数性质知，∴＞.
【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和正方形的性质；会利用待定系数法求函数解析式，会解不等式；理解坐标与图形性质．
19．a=, B（2,2）
【详解】试题分析：先把A点坐标代入二次函数解析式即可求出a的值和二次函数解析式；再B点坐标代入二次函数解析式，即可求出n的值，从而确定点B的坐标.
解：把点A（-4，8）代入y=ax2,得：
16a=8
∴a=
∴y=x2.
再把点B（2，n）代入y=x2得：
n=2.
∴B（2,2）.
20．（1）存在，m=1，x1=1，x2=﹣；（2）存在，m=0时，x=﹣1；m=﹣1时，x=﹣．
【分析】（1）根据一元二次方程的定义，要求含有二次项，且二次项系数不为0，即，解得m=1，将m=1代入（m+1）+（m﹣2）x﹣1=0，此时方程为2x2-x-1=0，解得x1=1，x2=-；
（2）根据一元一次方程的定义，要求未知数的最高次为1，该题目分类讨论：当（m+1）存在的话，则m2+1=1解得m=0，此时方程为-x-1=0，解得x=-1；当（m+1）不存在的话，则m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，解得x=-．
【详解】（1）根据一元二次方程的定义可得，
解得m=1，
此时方程为2x2-x-1=0，
解得x1=1，x2=-．
（2）由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为-x-1=0，
解得：x=-1，
当m+1=0时，解得m=-1，此时方程为-3x-1=0，、
解得：x=-．
21．（1）20%；（2）528．
【详解】试题分析：（1）本题为平均变化率问题，可按照增长率的一般规律进行解答．增长率问题的一般形式为a（1+x）2=b，a为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量．根据这个关系来列出方程，求出百分率是多少；
（2）根据（1）中得出的百分率，分别求出第一期和第二期的投资，然后相加得出两期的总投资即可．
试题解析：（1）设每期减少的百分率是x，
根据题意得400（1-x）2=256，
解得x1=0.2，x2=1.8（舍去），
所以每期减少的百分率为20%．
（2）根据题意有400×0.2×3=240（万元），
（400-400×0.2）×0.2×4.5=288（万元），
∴240+288=528（万元），
答：两期治理完成后需要投入528万元．
考点：一元二次方程的应用（平均变化率问题）．
22．（1）a=4；（2）x1=2+，x2=2﹣．
【分析】（1）根据一元二次方程根于系数的关系可以得到x1+x2=a，x1x2=2，再根据x1x2=x1+x2﹣2求解即可；
（2）根据（1）求得的结果直接解一元二次方程即可.
【详解】解：（1）∵一元二次方程x2﹣ax+2=0的两实数根x1、x2
∴x1 +x2=a，x1x2=2，
又x1x2=x1+x2﹣2，
∴a﹣2=2，a=4；
（2）方程可化为x2﹣4x+2=0，
∴（x﹣2）2=2，
解得：x﹣2=或x﹣2=﹣ ，
∴x1=2+ ， x2=2﹣ ．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程根于系数的关系，解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
23．（1）a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4；（2）yn的顶点坐标为（n2 ，n2）．所有抛物线的顶点坐标满足的函数关系式是：y=x；（3）①An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n；②存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．
【分析】（1）将A0坐标代入y1的解析式可求得a1的值；a1的值知道了y1的解析式也就确定了，已知抛物线就可求出b1的值，又把（b1，0）代入y2，可求出a2，即得y2的解析式.
（2）用同样的方法可求得a3、a4、a5……由此得到规律：抛物线令y2=0代入得：，∴x1=2，x2=6,故y2与x轴交于点A1（2，0），A2（6，0）；又抛物线与x轴交于A2（6，0），求抛物线y3的顶点坐标为（9，9）；由抛物线y1的顶点坐标为（1，1），y2的顶点坐标为（4，4），y3的顶点坐标为（9，9），依次类推抛物线yn的顶点坐标为（n2，n2）；由所有抛物线的顶点的横坐标等于纵坐标，得顶点坐标满足的函数关系式是：y= x；（3）①由（2）可知A0A1=2，A1A2=4，A2A3=6，得A n－1A n=2n. ②猜测这是与直线y=x平行且过A（2，0）的一条直线，即y=x－2.
【详解】解：（1）∵当n=1时，第1条抛物线y1=-（x-a1）2+a1与x轴的交点为A0（0，0），
∴0=-（0-a1）2+a1， 解得a1=1或a1=0．
由已知a1＞0，∴a1=1，
∴y1=-（x-1）2+1．
令y1=0，即-（x-1）2+1=0，解得x=0或x=2，
∴A1（2，0），b1=2．
由题意，当n=2时，第2条抛物线y2=-（x-a2）2+a2经过点A1（2，0），
∴0=-（2-a2）2+a2， 解得a2=1或a2=4，
∵a1=1，且已知a2＞a1，
∴a2=4，
∴y2=-（x-4）2+4．
∴a1=1，b1=2，y2=-（x-4）2+4．
（2）抛物线y2=-（x-4）2+4，令y2=0，即-（x-4）2+4=0，解得x=2或x=6．
∵A1（2，0），
∴A2（6，0）．
由题意，当n=3时，第3条抛物线y3=-（x-a3）2+a3经过点A2（6，0），
∴0=-（6-a3）2+a3， 解得a3=4或a3=9．
∵a2=4，且已知a3＞a2，
∴a3=9，
∴y3=-（x-9）2+9．
∴y3的顶点坐标为（9，9）．
由y1的顶点坐标（1，1），y2的顶点坐标（4，4），y3的顶点坐标（9，9），
依此类推，yn的顶点坐标为（n2， n2）．
∵所有抛物线顶点的横坐标等于纵坐标，
∴顶点坐标满足的函数关系式是：y=x．
（3）①∵A0（0，0），A1（2，0），
∴A0A1=2．yn=-（x-n2）2+n2， 令yn=0，即-（x-n2）2+n2=0，
解得x=n2+n或x=n2-n，
∴An-1（n2-n，0），An（n2+n，0），即An-1An=（n2+n）-（n2-n）=2n．
②存在．
设过点（2，0）的直线解析式为y=kx+b，则有：0=2k+b，得b=-2k，
∴y=kx-2k．
设直线y=kx-2k与抛物线yn=-（x-n2）2+n2交于E（x1， y1），F（x2， y2）两点，
联立两式得：kx-2k=-（x-n2）2+n2， 整理得：x2+（k-2n2）x+n4-n2-2k=0，
∴x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k．
过点F作FG⊥x轴，过点E作EG⊥FG于点G，则EG=x2-x1，
FG=y2-y1=[-（x2-n2）2+n2]-[-（x1-n2）2+n2]=（x1+x2-2n2）（x1-x2）=k（x2-x1）．
在Rt△EFG中，由勾股定理得：EF2=EG2+FG2，
即：EF2=（x2-x1）2+[k（x2-x1）]2=（k2+1）（x2-x1）2=（k2+1）[（x1+x2）2-4x1•x2]，
将x1+x2=2n2-k，x1•x2=n4-n2-2k代入，整理得：EF2=（k2+1）[4n2•（1-k）+k2+8k]，
当k=1时，EF2=（1+1）（1+8）=18，
∴EF=3为定值，
∴k=1满足条件，此时直线解析式为y=x-2．
∴存在满足条件的直线，该直线的解析式为y=x-2．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像上点的坐标特征，顶点坐标，抛物线与x轴交点问题，一次函数，待定系数法，解一元二次方程，根与系数的关系，勾股定理等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.
24．（1）y=﹣x2+x+2（2）当t=2时，MN有最大值4（3）D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）
【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式．
（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值．
（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标．
【详解】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，
∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．
将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；
将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=．
∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2．
（2）如图1，
设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t．
∵，
∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t．
又∵N点在抛物线上，且xN=t，
∴yN=﹣t2+t+2．
∴．
∴当t=2时，MN有最大值4．
（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．
如图2，
以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形．
（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），
由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，
从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．
（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，
由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；
由D2（0，﹣2），M（2，1）易得D2M的方程为y=x﹣2．
由两方程联立解得D为（4，4）．
综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．
【点睛】本题考查了二次函数、锐角三角函数、平行四边形，解题的关键是求出函数的解析式，利用数形结合的思想求解．
25．（1）(2，﹣4a﹣)；（2）(2，)；（3）﹣1＜m≤1；（4）0＜a＜或﹣＜a＜﹣．
【分析】（1）将y＝ax2﹣4ax﹣化为顶点式即可写出点D的坐标；
（2）由对称轴方程x＝2及抛物线的对称性可推出CE，AB的长，推出点A，B的坐标，将A或B的坐标代入y＝ax2﹣4ax﹣中，即可求出a的值，进一步写出点D的坐标；
（3）先把x＝-1代入y＝﹣x中，求出交点坐标，代入y＝ax2﹣4ax﹣中，求出抛物线解析式，用含m的代数式分别表示出M，N的坐标，进一步表示出MN的长度，为二次函数，可根据增减性确定结果；
（4）分情况讨论，当a＞0时和当a＜0时，分别列出不等式或不等式组即可．
【详解】（1）y＝ax2﹣4ax﹣
＝a（x﹣2）2﹣4a﹣，
∴点D的坐标为（2，﹣4a﹣）；
（2）∵对称轴为直线x＝2，CE∥x轴，
∴CE＝4．
∵CE＝2AB，∴AB＝2，
∴点A、B的坐标为（1，0）、（3，0），
将（1，0）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，
得，a﹣4a﹣＝0，
解得，a＝﹣，
∴﹣4a﹣＝4×（﹣）﹣＝，
∴点D的坐标为（2，）；
（3）把x＝-1代入y＝﹣x中，得y＝1，
将（﹣1，1）代入y＝ax2﹣4ax﹣中，
得a+4a﹣＝1，
解得a＝，
∴y＝x2﹣2x﹣，
∴点M，N的坐标分别为（m，m2﹣2m﹣），（m，-m），
∴MN＝﹣m﹣（m2﹣2m﹣）＝﹣m2+m+，
∵﹣＜0，对称轴为直线，
∴当线段MN的长度随m的增大而增大时，m的取值范围是﹣1＜m≤1；
（4）①当a＞0时，抛物线开口方向向上，
点C坐标为（0，﹣），
由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣，
∴由题意可列，﹣4a﹣＞﹣×3，
解得，a＜，
∴0＜a＜；
②当a＜0时，抛物线开口方向向下，
点C坐标为（0，﹣），
由（1）知，点D的纵坐标为﹣4a﹣，
∴由题意可列，，
解得，﹣＜a＜；
综上所述，a的取值范围为0＜a＜或﹣＜a＜．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，本题应用了待定系数法求二次函数解析式，以及一元一次不等式组的解法，本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．