高中数学人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念精品课后作业题

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知识点01：集合的含义
一般地,我们把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…表示.
把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集),通常用大写拉丁字母 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,…表示集合.
知识拓展集合的三个特性：
①描述性：集合是一个原始的不加定义的概念，像点、直线一样，只能描述性地说明.
②广泛性：凡是看得见、摸得着、想得到的任何事物都可以作为组成集合的对象.
③整体性：集合是一个整体，已暗示“所有”“全部”“全体”的含义，因此一些对象一旦组成了集合，那么这个集合就是这些对象的全体，而非个别对象.
【即学即练1】（2023·高一课时练习）下列各组对象的全体能构成集合的有（ ）
（1）正方形的全体；（2）高一数学书中所有的难题；（3）平方后等于负数的数；（4）某校高一年级学生身高在1.7米的学生；（5）平面内到线段AB两端点距离相等的点的全体.
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】C
【详解】（1）（3）（4）（5）中的对象是确定的，可以组成集合，（2）中的对象是不确定的，不能组成集合.
故选：C.
知识点02：元素与集合
1元素与集合的关系
(1)属于(belng t)：如果 SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素，就说 SKIPIF 1 < 0 属于 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 .
(2)不属于(nt belng t)：如果 SKIPIF 1 < 0 不是集合 SKIPIF 1 < 0 的元素，就说 SKIPIF 1 < 0 不属于 SKIPIF 1 < 0 ，记作 SKIPIF 1 < 0 .
特别说明： SKIPIF 1 < 0 表示一个元素， SKIPIF 1 < 0 表示一个集合.它们间的关系为： SKIPIF 1 < 0 .
2集合元素的三大特性
（1）确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的，也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了，我们把这个性质称为集合元素的确定性.
（2）互异性（考试常考特点，注意检验集合的互异性）：一个给定集合中元素是互不相同的，也就是说，集合中的元素是不重复出现的，我们把这个性质称为集合元素的互异性.
（3）无序性：集合中的元素是没有固定顺序的，也就是说，集合中的元素没有前后之分，我们把这个性质称为集合元素的无序性.
【即学即练2】（2023·高一课时练习）下列集合中，不同于另外三个集合的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】选项A、B是集合的描述法表示，选项D是集合的列举法表示，且都表示集合中只有一个元素2020，都是数集．
选项C它是由方程构成的集合，集合是列举法且只含有一个方程．
故选：C
知识点03：集合的表示方法与分类
1常用数集及其符号
2集合的表示方法
（1）自然语言法：用文字叙述的形式描述集合的方法叫做自然语言法
（2）列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“ SKIPIF 1 < 0 ”括起来表示集合的方法叫做列举法．
注用列举法表示集合时注意：
①元素与元素之间必须用“，”隔开．
②集合中的元素必须是明确的．
③集合中的元素不能重复．
④集合中的元素可以是任何事物．
（3）描述法定义：一般地，设 SKIPIF 1 < 0 表示一个集合，把集合 SKIPIF 1 < 0 中所有具有共同特征 SKIPIF 1 < 0 的元素 SKIPIF 1 < 0 所组成的集合表示为 SKIPIF 1 < 0 ，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线．
具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．
（4） SKIPIF 1 < 0 （韦恩图法）：
在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图形称为 SKIPIF 1 < 0 图。
3集合的分类
根据集合中元素的个数可以将集合分为有限集和无限集.
（1）有限集：含有有限个元素的集合是有限集，如方程 SKIPIF 1 < 0 的实数解组成的集合，其中元素的个数为有限个，故为有限集.有限集通常推荐用列举法或描述法表示，也可将元素写在 SKIPIF 1 < 0 图中来表示.
（2）无限集：含有无限个元素的集合是无限集，如不等式 SKIPIF 1 < 0 的解组成的集合，其中元素的个数为无限个，故为无限集.通常用描述法表示。
【即学即练3】（2023高一课时练习）已知① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③0={0}；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ；⑥ SKIPIF 1 < 0 ，
其中正确的个数为______.
【答案】3
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是无理数，属于实数，①正确；
SKIPIF 1 < 0 是分数，属于有理数，②正确；
0表示一个元素， SKIPIF 1 < 0 表示一个集合，③错误；
N表示从0开始的所有自然数集合， SKIPIF 1 < 0 ，④错误；
SKIPIF 1 < 0 是无限不循环小数，属于无理数，⑤错误；
Z表示所有整数的集合，-3是整数， SKIPIF 1 < 0 ，⑥正确；
故答案为：3.
知识点04：集合相等
只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.记作： SKIPIF 1 < 0 ,例如： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【即学即练4】（2023·江苏·高一专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m=________.
【答案】1或 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0 或1
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故答案为：1或 SKIPIF 1 < 0
题型01 判断元素能否构成集合
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ）
A．与 SKIPIF 1 < 0 非常接近的全体实数
B．北大附中云南实验学校 SKIPIF 1 < 0 学年度第二学期全体高一学生
C．高一年级视力比较好的同学
D．高一年级很有才华的老师
【答案】B
【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；
B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.
故选：B.
【典例2】（2023·高一课时练习）下列各组对象不能构成集合的是（ ）
A．上课迟到的学生B． SKIPIF 1 < 0 年高考数学难题
C．所有有理数D．小于 SKIPIF 1 < 0 的正整数
【答案】B
【详解】上课迟到的学生属于确定的互异的对象，所以能构成集合； SKIPIF 1 < 0 年高考数学难题界定不明确，所以不能构成集合；任意给一个数都能判断是否为有理数，所以能构成集合；小于 SKIPIF 1 < 0 的正整数分别为 SKIPIF 1 < 0 ，所以能够组成集合.
故选： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023秋·广东揭阳·高一惠来县第一中学校考期中）下列四组对象中能构成集合的是（ ）
A．宜春市第一中学高一学习好的学生
B．在数轴上与原点非常近的点
C．很小的实数
D．倒数等于本身的数
【答案】D
【详解】解：A：宜春市第一中学高一学习好的学生，因为学习好的学生不确定，所以不满足集合的确定性，故A错误；
B：在数轴上与原点非常近的点，因为非常近的点不确定，所以不满足集合的确定性，故B错误；
C：很小的实数，因为很小的实数不确定，所以不满足集合的确定性，故C错误；
D：倒数等于它自身的实数为1与﹣1，∴满足集合的定义，故正确．
故选：D．
题型02 判断是否为同一集合
【典例1】（2023·高一课时练习）判断下列命题是否正确．
（1）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合；( )
（2）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合；( )
（3）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 不表示同一集合；( )
（4）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合．( )
【答案】 正确 错误 错误 错误
【详解】（1）集合元素具有无序性，集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 元素相同，故表示同一集合，正确；
（2）两集合为点集， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 表示的点不同，所以集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示两个不同的集合，错误；
（3）集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 均表示大于3的所有实数的集合，所以集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 表示同一集合，错误；
（4）集合 SKIPIF 1 < 0 为数集，集合 SKIPIF 1 < 0 为点集，不是同一集合，错误；
故答案为：（1）正确；（2）错误；（3）错误；（4）错误.
【典例2】（2022秋·天津滨海新·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（ ）
A．由1，2，3组成的集合可表示为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
C．集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
D．集合 SKIPIF 1 < 0 与集合 SKIPIF 1 < 0 是同一个集合
【答案】A
【详解】集合中的元素具有无序性，故A正确；
SKIPIF 1 < 0 是不含任何元素的集合， SKIPIF 1 < 0 是含有一个元素0的集合，故B错误；
集合 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误；
集合 SKIPIF 1 < 0 中有两个元素 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，为方程 SKIPIF 1 < 0 ，故D错误.
故选：A.
【变式1】（2023·高三课时练习）设 SKIPIF 1 < 0 是有理数，集合 SKIPIF 1 < 0 ，在下列集合中；
（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ；（4） SKIPIF 1 < 0 ；与 SKIPIF 1 < 0 相同的集合有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【答案】B
【详解】对于（1），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（2），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（3），由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，一一对应，则 SKIPIF 1 < 0
对于（4）， SKIPIF 1 < 0 ，但方程 SKIPIF 1 < 0 无解，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 不相同
故选：B
题型03判断元素与集合的关系
【典例1】（2023·贵州黔东南·凯里一中校考三模）已知集合 SKIPIF 1 < 0 下列关系正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以A、C错误，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以B错误，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以D正确，
故选:D．
【典例2】（多选）（2023·广西百色·高一校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列关系式成立的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABC
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABC
【变式1】（2023·河北·高三学业考试）若不等式3-2x<0的解集为M,则下列结论正确的是 ( )
A．0∈M,2∈MB．0∉M,2∈M
C．0∈M,2∉MD．0∉M,2∉M
【答案】B
【详解】当x=0时,3-2x=3>0,所以0不属于M,即0∉M;当x=2时,3-2x=-1<0,所以2属于M,即2∈M.
选B
题型04根据元素与集合的关系求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A．3B．2C．0或3D．0或2或3
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即集合 SKIPIF 1 < 0 不满足集合元素的互异性，故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时集合 SKIPIF 1 < 0 不满足集合元素的互异性，故 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 满足条件；
故选：A
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）若集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ___________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意，集合 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时集合 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不满足集合元素的互异性，舍去；
若 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
当 SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
综上可得，实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·四川泸州·高一统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则a的值为______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 中所有元素之和为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，若方程 SKIPIF 1 < 0 的一根为1，则 SKIPIF 1 < 0 ，方程的另一根为4，不合题意；
若1不是方程 SKIPIF 1 < 0 的根，则方程两根 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 不满足 SKIPIF 1 < 0 ，舍去.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
题型05根据集合元素互异性求参数
【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题设；
SKIPIF 1 < 0 时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，符合题设；
∴ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 均可以.
故选：C
【典例2】（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素1，4， SKIPIF 1 < 0 ，且实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ，2，0.
【详解】因为实数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，集合 SKIPIF 1 < 0 中含有1，4，1，不合题意；当 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 时，满足题意.所以实数 SKIPIF 1 < 0 的值为 SKIPIF 1 < 0 ，2，0.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 构成的集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】① SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不可以，
② SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可以，
或 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不可以，
③ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不可以，
或 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，不可以，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B．
【变式2】（2023春·上海浦东新·高三华师大二附中校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
题型06自然语言法
【典例1】（2023·高一课时练习）用自然语言描述下列集合：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 ；
(3) SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1)小于10的正奇数构成的集合；
(2)大于 SKIPIF 1 < 0 的实数构成的集合；
(3)大于2且小于20的所有质数构成的集合.
(1)
解：因为集合 SKIPIF 1 < 0 表示：小于10的正奇数构成的集合；
(2)
解：集合 SKIPIF 1 < 0 表示：大于 SKIPIF 1 < 0 的实数构成的集合；
(3)
解：集合 SKIPIF 1 < 0 表示：大于2且小于20的所有质数构成的集合.
题型07列举法
【典例1】（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高一校考开学考试）集合 SKIPIF 1 < 0 用列举法表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A
【典例2】（2023·河南鹤壁·高一河南省浚县第一中学校考阶段练习）方程组 SKIPIF 1 < 0 的解集是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由方程组 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，集合应是点集，正确的形式是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D
【典例3】（2023·四川·高一校考阶段练习）设集合 SKIPIF 1 < 0 ，则用列举法表示集合 SKIPIF 1 < 0 为______.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】要使 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·山西运城·高一校考阶段练习）集合 SKIPIF 1 < 0 ，用列举法表示为（ ）
A．1B．2C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0
故选：C
【变式2】（2023·北京海淀·高一北京市十一学校校考期中）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，用列举法表示集合 SKIPIF 1 < 0 _____________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由题意得 SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4，6，12
解得 SKIPIF 1 < 0 ，5，4， SKIPIF 1 < 0 ，1， SKIPIF 1 < 0
所以集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，1，3，4，5， SKIPIF 1 < 0 ．
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型08描述法
【典例1】（2023·高一课时练习）用描述法表示下列集合：
（1）被3除余1的正整数的集合．
（2）坐标平面内第一象限内的点的集合．
（3）大于4的所有偶数．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．
【详解】（1）因为集合中的元素除以3余数为1，所以集合表示为： SKIPIF 1 < 0 ；
（2）第一象限内的点，其横坐标、纵坐标均大于0，所以集合表示为： SKIPIF 1 < 0 ；
（3）大于4的所有偶数都是正整数，所以集合表示为： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例2】（2023春·河北·高二统考学业考试）直角坐标平面中除去两点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 可用集合表示为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】直角坐标平面中除去两点 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，其余的点全部在集合中，
SKIPIF 1 < 0 选项中除去的是四条线 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 选项中除去的是 SKIPIF 1 < 0 或除去 SKIPIF 1 < 0 或者同时除去两个点，共有三种情况，不符合题意；
SKIPIF 1 < 0 选项 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，即除去两点 SKIPIF 1 < 0 ､ SKIPIF 1 < 0 ，符合题意；
SKIPIF 1 < 0 选项 SKIPIF 1 < 0 ，则任意点 SKIPIF 1 < 0 都不能 SKIPIF 1 < 0 ，即不能同时排除 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两点．
故选：C
【变式1】（2023·陕西安康·高一陕西省安康中学校考阶段练习）表示下列集合：
(1)请用列举法表示方程 SKIPIF 1 < 0 的解集；
(2)请用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合；
(3)请用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合；
(4)请用描述法表示二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的纵坐标组成的集合．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
(3) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(4) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）方程 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）用描述法表示平面直角坐标系内所有第一、三象限内的点组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 .
（3）用描述法表示被5除余3的正整数组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（4）用描述法表示二次函数 SKIPIF 1 < 0 的图象上所有点的纵坐标组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ．
题型09两个集合相等问题
【典例1】（2023·江西·金溪一中校联考模拟预测）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C．1D．2
【答案】A
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 可知，两集合元素全部相等，得到 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又根据集合互异性，可知 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 (舍)， SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 (舍)，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：A
【典例2】（2023·高一单元测试）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
【答案】0或 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故答案为：0或 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·辽宁·辽宁实验中学校联考模拟预测）设集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B．1C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 1．
故选：B．
题型10根据集合中元素的个数求参数
【典例1】（2023·全国·高一专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 的元素只有一个，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．0C． SKIPIF 1 < 0 或0D．无解
【答案】C
【详解】集合 SKIPIF 1 < 0 有一个元素，即方程 SKIPIF 1 < 0 有一解，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，符合题意，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有一解，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上可得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：C.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 中有两个元素，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 中至多有一个元素，求实数的 SKIPIF 1 < 0 取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由于 SKIPIF 1 < 0 中有两个元素，
∴关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等的实数根，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时，方程为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 只有一个元素；
当 SKIPIF 1 < 0 时，若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 有两个相等的实数根，则 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 没有实数根，则 SKIPIF 1 < 0 中没有元素，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
综上可知，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 .
（1）若 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，求 SKIPIF 1 < 0 及 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 中至多有一个元素，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 ；
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0
综上可知 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当集合 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0
由（1）可知集合 SKIPIF 1 < 0 有1个元素时， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
综上可知： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 .
题型11常见数集或数集关系的应用
【典例1】（2023·海南·高一海南中学校考期中）下列表示正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示正整数集，而-3是负整数，A不正确；
SKIPIF 1 < 0 表示自然数集，0是自然数，B正确；
SKIPIF 1 < 0 表示整数集， SKIPIF 1 < 0 是分数，C不正确；
SKIPIF 1 < 0 表示有理数集， SKIPIF 1 < 0 是无理数，D不正确.
故选：B
【典例2】（多选）（2022秋·广东佛山·高一校考期中）下列关系式正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AD
【详解】对于A， SKIPIF 1 < 0 是实数，即 SKIPIF 1 < 0 ，A正确；
对于B， SKIPIF 1 < 0 ，B错误；
对于C， SKIPIF 1 < 0 是无理数，C错误；
对于D， SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故选：AD.
【变式1】（2023·陕西榆林·高一校考阶段练习）下列关系中，正确的个数为（ ）
① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 ③ SKIPIF 1 < 0 ④ SKIPIF 1 < 0 ⑤ SKIPIF 1 < 0
A．5B．4C．3D．2
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 是实数集， SKIPIF 1 < 0 是整数，有 SKIPIF 1 < 0 ，故①正确，
SKIPIF 1 < 0 是有理数集， SKIPIF 1 < 0 是分数，而 SKIPIF 1 < 0 是无理数，有 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故②正确，④不正确，
SKIPIF 1 < 0 表示自然数集，有 SKIPIF 1 < 0 ，故③不正确；
SKIPIF 1 < 0 表示整数集，-3是整数，有 SKIPIF 1 < 0 ，故⑤正确；
所以正确的个数是3，
故选：C
题型12新定义题
【典例1】（多选）（2023春·湖南邵阳·高一统考开学考试）若对任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则称 SKIPIF 1 < 0 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】根据“影子关系”集合的定义，
可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为“影子关系”集合，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故不是“影子关系”集合．
故选：ABD
【典例2】（2023秋·四川成都·高一成都实外校考期末）定义 SKIPIF 1 < 0 若 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为（ ）
A．1B．2C．4D．5
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的取值为： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的取值为： SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 可能为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 的取值为： SKIPIF 1 < 0 ；
综上可知： SKIPIF 1 < 0 ，所以集合 SKIPIF 1 < 0 中元素个数为5，
故选：D.
【变式1】（2023·高一课时练习）定义满足“如果a∈A，b∈A，那么a±b∈A，且ab∈A，且 SKIPIF 1 < 0 ∈A(b≠0)”的集合A为“闭集”．试问数集N，Z，Q，R是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．
【答案】数集N，Z不是“闭集”，数集Q，R是“闭集”．举反例见解析
【详解】（1）数集N，Z不是“闭集”，
例如，3∈N,2∈N，而 SKIPIF 1 < 0 ＝1.5∉N；
3∈Z，－2∈Z，而 SKIPIF 1 < 0 ＝－1.5∉Z，故N，Z不是闭集．
（2）数集Q，R是“闭集”．
由于两个有理数a与b的和，差，积，商，
即a±b，ab， SKIPIF 1 < 0 (b≠0)仍是有理数，
故Q是闭集．
同理R也是闭集．
本节重点方法 分类讨论法
【典例1】（多选）（2023秋·山东东营·高一统考期末）关于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的解集中只含有一个元素，则 SKIPIF 1 < 0 的值可能是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】ABD
【详解】由已知方程得： SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ；
若 SKIPIF 1 < 0 的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：
①方程 SKIPIF 1 < 0 有且仅有一个不为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的解， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 的解为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
②方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，其中一个根为 SKIPIF 1 < 0 ，另一根不为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时方程另一根为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
③方程 SKIPIF 1 < 0 有两个不等实根，其中一个根为 SKIPIF 1 < 0 ，另一根不为 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，此时方程另一根为 SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故选：ABD.
【典例1】（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 .
（1）1是 SKIPIF 1 < 0 中的一个元素，用列举法表示 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 中至多有一个元素，试求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 （2） SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素时， SKIPIF 1 < 0 只有一个解，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 中没有元素时， SKIPIF 1 < 0 无解，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 是空集，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 中至多有一个元素，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
（1）
由题意得：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，解集不为空集，舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
1.1集合的概念
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·高一课时练习）设有下列关系：① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ．其中正确的个数为．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
【答案】D
【详解】 SKIPIF 1 < 0 表示实数集 SKIPIF 1 < 0 ，则①正确
SKIPIF 1 < 0 表示有理数集 SKIPIF 1 < 0 ，则②正确
SKIPIF 1 < 0 表示自然数集 SKIPIF 1 < 0 ，则③正确
SKIPIF 1 < 0 是集合 SKIPIF 1 < 0 的一个元素 SKIPIF 1 < 0 ，则④正确
本题正确选项： SKIPIF 1 < 0
2．（2023·全国·高三专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数有4个，
故选：B.
3．（2023秋·山东济南·高一济南市历城第二中学校考期末）方程x2＝x的所有实数根组成的集合为
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】解：解方程x2＝x，得x＝0或x＝1，
方程x2＝x的所有实数根组成的集合为 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：C．
4．（2023·全国·高三专题练习）若 SKIPIF 1 < 0 ，则a =（ ）
A．2B．1或－1C．1D．－1
【答案】D
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不满足互异性，舍去，当 SKIPIF 1 < 0 时，集合为 SKIPIF 1 < 0 ，满足；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，不满足互异性，舍去.
综上 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
5．（2023春·河北承德·高三河北省滦平县第一中学校考阶段练习）已知集合M= SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则M等于（ ）
A．{2，3}B．{1，2，3，4}C．{1，2，3，6}D．{ SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4}
【答案】D
【详解】因为集合M= SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，，所以5-a可能为1，2，3，6，
即a可能为4，3，2， SKIPIF 1 < 0 .所以M={ SKIPIF 1 < 0 ，2，3，4}，
故选：D.
6．（2023春·黑龙江佳木斯·高一富锦市第一中学校考阶段练习）由实数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所组成的集合，最多含元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】A
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时，集合元素最多有1个；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以集合元素最多有2个；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，所以集合元素最多有2个；
故选：A
7．（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）若集合 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．0D．0或 SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解：集合 SKIPIF 1 < 0 中只有一个元素，
当 SKIPIF 1 < 0 时，可得 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 只有一个元素为： SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时：方程 SKIPIF 1 < 0 只有一个解：即 SKIPIF 1 < 0 ，
可得： SKIPIF 1 < 0 ．
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
8．（2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|x2＋px＋q＝x}，B＝{x|(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3}，当A＝{2}时，集合B＝（ ）
A．{1}B．{1，2}
C．{2，5}D．{1，5}
【答案】D
【详解】由A＝{x|x2＋px＋q＝x}＝{2}知，
x2＋px＋q＝x 即 SKIPIF 1 < 0 有且只有一个实数解 SKIPIF 1 < 0 ,
∴22＋2p＋q＝2，且Δ＝(p－1)2－4q＝0.
计算得出p＝－3，q＝4.
则(x－1)2＋p(x－1)＋q＝x＋3可化为(x－1)2－3(x－1)＋4＝x＋3；
即(x－1)2－4(x－1)＝0；
则x－1＝0或x－1＝4，
计算得出x＝1或x＝5.
所以集合B＝{1，5}．
故选： SKIPIF 1 < 0 .
二、多选题
9．（2023秋·河南周口·高一周口恒大中学校考期末）下列说法中不正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 表示同一个集合
B．集合 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 表示同一个集合
C．方程 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 的所有解的集合可表示为 SKIPIF 1 < 0
D．集合 SKIPIF 1 < 0 不能用列举法表示
【答案】ABC
【详解】对于A中， SKIPIF 1 < 0 是一个元素（数），而 SKIPIF 1 < 0 是一个集合，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以A不正确；
对于B中，集合 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 表示数 SKIPIF 1 < 0 构成的集合，集合 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 表示点集，
所以B不正确；
对于C中，方程 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 的所有解的集合可表示为 SKIPIF 1 < 0 ，根据集合元素的互异性，可得方程 SKIPIF 1 < 0 ＝ SKIPIF 1 < 0 的所有解的集合可表示为 SKIPIF 1 < 0 ，所以C不正确；
对于D中，集合 SKIPIF 1 < 0 含有无穷个元素，不能用列举法表示，所以D正确.
故选：ABC.
10．（2022秋·甘肃庆阳·高一校考期中）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故选：AB.
三、填空题
11．（2023·高三课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，不满足集合的互异性，所以舍去；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 （舍）或 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足集合的互异性
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
12．（2023·全国·高三专题练习）集合 SKIPIF 1 < 0 的元素个数为_________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 可知， SKIPIF 1 < 0 是12的因数，故 SKIPIF 1 < 0 ，进而可得 SKIPIF 1 < 0 可取 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
四、解答题
13.（2023·高一课时练习）用适当方法表示下列集合：
（1）从1，2，3这三个数字中抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的自然数的集合；
（2）方程 SKIPIF 1 < 0 +|y﹣2|＝0的解集；
（3）由二次函数y＝3x2+1图象上所有点组成的集合.
【答案】（1）{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3）{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
【详解】解：（1）当从1，2，3这三个数字中抽出1个数字时，自然数为1，2，3；
当抽出2个数字时，可组成自然数12，21，13，31，23，32；
当抽出3个数字时，可组成自然数123，132，213，231，321，312.
由于元素个数有限，故用列举法表示为
{1，2，3，12，13，21，31，23，32，123，132，213，231，321，312}.
（2）由算术平方根及绝对值的意义，可知：
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此该方程的解集为{（﹣ SKIPIF 1 < 0 ，2）}.
（3）首先此集合应是点集，是二次函数y＝3x2+1图象上的所有点，
故用描述法可表示为{（x，y）|y＝3x2+1，x∈R}.
14．（2023·高一课时练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 为小于6的正整数}， SKIPIF 1 < 0 为小于10的素数}，集合 SKIPIF 1 < 0 为24和36的正公因数}．
（1）试用列举法表示集合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）试用列举法表示集合 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】由题意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
（1） SKIPIF 1 < 0 .
（2）. SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则C集合中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，则可以为： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，有3个元素.
故选：B
2．（2023·全国·高三专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中元素的个数为（ ）
A．9B．8C．5D．4
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
所以共有9个，
故选：A.
3．（多选）（2022·江苏·高一专题练习）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取值可能为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】BCD
【详解】选项A：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
选项B：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
选项C：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
选项D：当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，D正确.
故答案为：BCD.
4．（2022秋·上海虹口·高一上海市复兴高级中学校考阶段练习）设关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1)见详解
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 解集为 SKIPIF 1 < 0 ,
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以原不等式可化为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式解集为 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，解不等式为 SKIPIF 1 < 0 即解集为 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，解不等式为 SKIPIF 1 < 0 即解集为 SKIPIF 1 < 0
综上所述： SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 时解集为 SKIPIF 1 < 0
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，解得 SKIPIF 1 < 0 .
综上所述： SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
C综合素养
1．（2023·高一单元测试）设 SKIPIF 1 < 0 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 (除数 SKIPIF 1 < 0 )，则称 SKIPIF 1 < 0 是一个数域，则下列集合为数域的是（ ）
A．NB．ZC．QD． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故N不是数域，A选项错误，同理B选项错误；
任意 SKIPIF 1 < 0 ，都有 SKIPIF 1 < 0 (除数 SKIPIF 1 < 0 )，故Q是一个数域，C选项正确；
对于集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 不是数域，D选项错误.
故选：C
2．（2023·全国·高三专题练习）定义集合 SKIPIF 1 < 0 的一种运算： SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故集合 SKIPIF 1 < 0 中的元素个数为3，
故选：C.
3．（多选）（2022·全国·高一专题练习）已知集合 SKIPIF 1 < 0 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 但 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
D．若 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
【答案】BC
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，A错误；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，B正确；
SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，C正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 无意义，故 SKIPIF 1 < 0 ，D错误.
故选：BC
4．（2022秋·广东汕头·高一汕头市第一中学校考期中）在整数集Z中，被4除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k] ={4n + k ︱n ∈Z} ，k =0，1，2，3.给出下列四个论①2025∈[1] ；② SKIPIF 1 < 0 2025∈[1] ； ③若a∈[1]，b∈[2]，则3a+b∈[3] ；④若a∈[1]，b∈[3]，则a SKIPIF 1 < 0 3b∈[0].其中正确的结论是__________.
【答案】①④
【详解】因为2025被4除所得余数为1，所以①正确；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以②不正确；
因为a∈[1]，b∈[2]，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以③不正确；
因为a∈[1]，b∈[3]，设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以④正确.
故答案为：①④
5．（2022·高一课时练习）（1）如果集合 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，证明： SKIPIF 1 < 0 ．
（2）如果集合 SKIPIF 1 < 0 ，整数 SKIPIF 1 < 0 互素，那么是否存在x，使得x和 SKIPIF 1 < 0 都属于B？若存在，请写出一个；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2） SKIPIF 1 < 0 （答案不唯一）.
【详解】解:（1）证明：因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以可设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （整数m，n互素），
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 是互素的整数．
又m与n互素，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当m，n互素，且 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ．
如取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
综上，存在x，使得x与 SKIPIF 1 < 0 都属于集合B，如 SKIPIF 1 < 0 ．（注：x的取值不唯一．）
课程标准
学习目标
1.元素与集合
① 理解元素与集合的概念，熟练常用数集的概念及其记法.
② 了解“属于”关系的意义.
③了解有限集、无限集、空集的意义.
2.集合的表示方法
掌握集合的常用表示方法(列举法、描述法及相互转化).
3.元素的性质
理解集合元素的三个性质：确定性、无序性、互异性.
1.通过集合语言的学习与运用，培养数学思维能力.
2.通过实例能选择自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)来描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用.
常用数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
数学符合
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0