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高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品练习
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这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第一册4.4 对数函数精品练习，文件包含人教A版高中数学必修第一册同步讲义第26讲44对数函数原卷版doc、人教A版高中数学必修第一册同步讲义第26讲44对数函数含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共51页， 欢迎下载使用。
知识点01：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 叫做对数函数，其中指数 SKIPIF 1 < 0 是自变量，定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 ；（2）底数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ；（3）真数是 SKIPIF 1 < 0 ，而不是 SKIPIF 1 < 0 的函数；（4）定义域 SKIPIF 1 < 0 .例如： SKIPIF 1 < 0 是对数函数，而 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】（2022·高一课时练习）判断正误
（1）对数函数的定义域为R．( )
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数．( )
（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
【答案】 错误 正确 正确
【详解】（1）对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）中，自变量 SKIPIF 1 < 0 ，故该结论错误．
（2） SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，与对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的定义域不同，不符合对数函数的定义； SKIPIF 1 < 0 中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确．
（3）对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）中，自变量 SKIPIF 1 < 0 ，所以对数函数的图象一定在y轴右侧，故该结论正确．
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 ;称以无理数 SKIPIF 1 < 0 为底的对数函数为自然对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 .
知识点02：对数函数的图象及其性质
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象和性质如下表：
【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即函数图象恒过 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
题型01判断函数是否为对数函数
【典例1】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】根据对数函数的定义知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是对数函数，故AB正确；
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不符合对数函数的定义，故CD错误.
故选：AB
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题可知：函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为对数函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ） B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的函数为对数函数，
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故A符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；
对于D，不符合题意；
故选：AC.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
题型02求对数函数解析式
【典例1】（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则此函数的表达式为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设对数函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ），因为函数图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·陕西西安·高一校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），且函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
题型03对数（对数型复合函数）函数定义域
【典例1】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知x满足式子 SKIPIF 1 < 0 ，求x.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为x满足式子 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由函数解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （3）是 SKIPIF 1 < 0 ，（4）是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
SKIPIF 1 < 0 （1）是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例2】（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数．
又函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图象关于y轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 的大致图象应为选项A．
故选：A．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象左移一个单位而得到，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的公共点是 SKIPIF 1 < 0 ，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于1的指数函数，是增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
【变式3】（2023秋·广东深圳·高一统考期末）当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故AD错误；BC中，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，B正确.
故选：B
题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域
【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ，取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ，取得最小值， SKIPIF 1 < 0 ．
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】0
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由二次函数的性质可知，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．(注： SKIPIF 1 < 0 也正确)
【变式3】（2023·全国·高一假期作业）设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
【答案】(1)2， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)2.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数
【典例1】（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，a不等于0时， SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，
SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，不合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 没有最大值，没有最小值， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值，没有最小值，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 有最大值，没有最小值，不合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 无解.
当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 既没有最大值，也没有最小值， SKIPIF 1 < 0 没有最大值，没有最小值， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则需当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
【典例3】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【变式2】（2023春·云南昆明·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足要求的一个 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】2（写出 SKIPIF 1 < 0 中的任意一个实数即可）
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·全国·高三对口高考）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为 ；若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 能取到所有正数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性
【典例1】（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数B．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数
C．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数D．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 由复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
故选：A.
【典例2】（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，
所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
综上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，而 SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数
【典例1】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【典例2】（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式1】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2023·全国·高三对口高考）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数且恒大于0，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，开口向下，在区间 SKIPIF 1 < 0 上不为减函数，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以综上可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型09比较大小问题
【典例1】（2023春·山东德州·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】根据指数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例3】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式1】（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；则有 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
【变式2】（2023春·天津滨海新·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【变式3】（2023春·山东聊城·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小顺序为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型10对数函数综合问题
【典例1】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象始终在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 是奇函数又是增函数，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的
最大值为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
综上可知， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断并证明函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，证明如下：
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以：
函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数（同增异减），
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域；
(2)判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 为奇函数，理由见解析
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
理由如下：
由（1）可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
【变式3】（2023春·高一校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由对数函数的性质，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
2．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．（2023春·山东德州·高二统考期末）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
此式子对于定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 皆成立，必有 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的充分不必要条件, SKIPIF 1 < 0 正确.
故选： SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:A．
6．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中的函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B、D错误．
故选：A．
7．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故选:A.
8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值的差不小于3，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
又函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
9．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
内层函数 SKIPIF 1 < 0 为二次函数，其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
故选：AB.
10．（2023秋·高一单元测试）已知 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】AC
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确，选项D错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项B错误，选项C正确.
故选：AC
三、填空题
11．（2023春·山东烟台·高二统考期末）写出一个同时具有下列性质的函数 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 为增函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （形如 SKIPIF 1 < 0 都可以，答案不唯一）
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，该函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 满足①；
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，即 SKIPIF 1 < 0 满足②.
故函数 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （形如 SKIPIF 1 < 0 都可以，答案不唯一）.
12．（2023春·安徽合肥·高一校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2023春·云南楚雄·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是2.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求不等式 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为3.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)假设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，求关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
因此不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 也是增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 是定义域内的增函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，平方得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知得函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，排除 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，排除 SKIPIF 1 < 0 ,
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】法一：
因为存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，为使 SKIPIF 1 < 0 有意义，
则 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域没有交集时，有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集时， SKIPIF 1 < 0 .
法二：
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，
所以若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上能成立，即 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023春·山东滨州·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数，理由见解析.
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域不关于原点对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最小值大于0，
函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在对称轴取得最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
2．（2023春·浙江湖州·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，且对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
下面分三种情况讨论：
①当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
学习目标
①理解对数函数的概念及条件，掌握对
数函数的图象与性质。
②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
底数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象
性质
定义域
SKIPIF 1 < 0
值域
SKIPIF 1 < 0
单调性
增函数
减函数
知识点01：对数函数的概念
1、对数函数的概念
一般地，函数 SKIPIF 1 < 0 叫做对数函数，其中指数 SKIPIF 1 < 0 是自变量，定义域是 SKIPIF 1 < 0 .
判断一个函数是对数函数的依据
（1）形如 SKIPIF 1 < 0 ；（2）底数 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ；（3）真数是 SKIPIF 1 < 0 ，而不是 SKIPIF 1 < 0 的函数；（4）定义域 SKIPIF 1 < 0 .例如： SKIPIF 1 < 0 是对数函数，而 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数，可称为对数型函数.
【即学即练1】（2022·高一课时练习）判断正误
（1）对数函数的定义域为R．( )
（2） SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 都不是对数函数．( )
（3）对数函数的图象一定在y轴右侧．( )
【答案】 错误 正确 正确
【详解】（1）对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）中，自变量 SKIPIF 1 < 0 ，故该结论错误．
（2） SKIPIF 1 < 0 定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，与对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的定义域不同，不符合对数函数的定义； SKIPIF 1 < 0 中底数不是常数，真数不是自变量，不符合对数函数的定义，故该结论正确．
（3）对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）中，自变量 SKIPIF 1 < 0 ，所以对数函数的图象一定在y轴右侧，故该结论正确．
2、两种特殊的对数函数
特别地,我们称以10为底的对数函数为常用对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 ;称以无理数 SKIPIF 1 < 0 为底的对数函数为自然对数函数,记作 SKIPIF 1 < 0 .
知识点02：对数函数的图象及其性质
函数 SKIPIF 1 < 0 的图象和性质如下表：
【即学即练2】（2022·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 ，即函数图象恒过 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
题型01判断函数是否为对数函数
【典例1】（多选）（2023秋·贵州遵义·高一统考期末）（多选题）下列函数表达式中，是对数函数的有 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】根据对数函数的定义知， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是对数函数，故AB正确；
而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 不符合对数函数的定义，故CD错误.
故选：AB
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由题可知：函数 SKIPIF 1 < 0 为对数函数
所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0
故选：B
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）下列函数为对数函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ） B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】AC
【详解】形如 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的函数为对数函数，
对于A，由 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，可知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，故A符合题意；
对于B，不符合题意；
对于C，符合题意；
对于D，不符合题意；
故选：AC.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）下列函数是对数函数的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 ( SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 )为对数函数，
所以ABC均为对数型复合函数，而D是底数为自然常数的对数函数.
故选：D.
题型02求对数函数解析式
【典例1】（2023·高一课时练习）若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则此函数的表达式为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设对数函数为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例2】（2023春·辽宁铁岭·高二昌图县第一高级中学统考期中）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)解不等式 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）因为函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过点 SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即不等式的解集是 SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023秋·辽宁·高一辽河油田第二高级中学校考期末）若对数函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】设对数函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ），因为函数图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·陕西西安·高一校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ），且函数的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ．
（1）求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
（2）若 SKIPIF 1 < 0 成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1） SKIPIF 1 < 0 ；（2） SKIPIF 1 < 0 .
【详解】(1) SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
故实数m的取值范围是 SKIPIF 1 < 0
题型03对数（对数型复合函数）函数定义域
【典例1】（2023春·山东潍坊·高二校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】由题知， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知x满足式子 SKIPIF 1 < 0 ，求x.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为x满足式子 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023春·重庆·高二校联考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式2】（2023春·北京顺义·高二牛栏山一中校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】由函数解析式可得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以函数定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型04对数函数（对数型复合函数）图象问题
【典例1】（2023·全国·高一假期作业）如图（1）（2）（3）（4）中，不属于函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的一个是（ ）
A．（1）B．（2）C．（3）D．（4）
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 （3）是 SKIPIF 1 < 0 ，（4）是 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 轴对称，
SKIPIF 1 < 0 （1）是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B．
【典例2】（2023春·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期中）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数．
又函数 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为偶函数，图象关于y轴对称，
所以 SKIPIF 1 < 0 的大致图象应为选项A．
故选：A．
【典例3】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的图像是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】由于函数 SKIPIF 1 < 0 的图象可由函数 SKIPIF 1 < 0 的图象左移一个单位而得到，函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的交点是 SKIPIF 1 < 0 ，即函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与 SKIPIF 1 < 0 轴的公共点是 SKIPIF 1 < 0 ，显然四个选项只有A选项满足.
故选：A.
【变式1】（2023·全国·高一假期作业）当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一坐标系中，函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于1的指数函数，是增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 为底数大于0、小于1的对数函数，是减函数，
故选：C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的大致图像是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】A
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
故符合条件的只有A；
故选：A
【变式3】（2023秋·广东深圳·高一统考期末）当 SKIPIF 1 < 0 时，在同一平面直角坐标系中， SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象是（ ）
A．B．C．
D．
【答案】B
【详解】 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，故AD错误；BC中，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故C错误，B正确.
故选：B
题型05求对数函数（对数型复合函数）的值域
【典例1】（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D
【典例2】（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0
【典例3】（2023秋·陕西西安·高一校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
（1）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的最大值与最小值；
（2）求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】（1）最大值-1，最小值-2；（2） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 时 SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ，取得最大值， SKIPIF 1 < 0 ．
SKIPIF 1 < 0 （即 SKIPIF 1 < 0 ，取得最小值， SKIPIF 1 < 0 ．
所以函数 SKIPIF 1 < 0 的值域 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数f(x)＝ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 的最大值为 .
【答案】0
【详解】解：令 SKIPIF 1 < 0 ，
对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 的最大值为： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为：0.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 过 SKIPIF 1 < 0 点．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 解析式；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值域．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）将 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴由二次函数的性质可知，在 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．(注： SKIPIF 1 < 0 也正确)
【变式3】（2023·全国·高一假期作业）设 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值及 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
(2)求 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值.
【答案】(1)2， SKIPIF 1 < 0 ；
(2)2.
【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
∴函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2） SKIPIF 1 < 0 ，
∴当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是增函数；当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是减函数，
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 .
题型06根据对数函数（对数型复合函数）的值域求参数
【典例1】（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 既没有最大值，也没有最小值，则a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 ，a不等于0时， SKIPIF 1 < 0 ,
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，
SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，不合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 没有最大值，有最小值，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 没有最大值，没有最小值， SKIPIF 1 < 0
当 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，二次函数 SKIPIF 1 < 0 有最大值，没有最小值，
SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 有最大值，没有最小值，不合题意.
当 SKIPIF 1 < 0 无解.
当 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 既没有最大值，也没有最小值， SKIPIF 1 < 0 没有最大值，没有最小值， SKIPIF 1 < 0 .
SKIPIF 1 < 0
故选：D.
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，函数在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，则需当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ．
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，不合题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，显然 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
综上所述，实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B
【典例3】（2023春·安徽安庆·高二校考阶段练习）若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， 解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式1】（2023·高一课时练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ，不符合题意；
若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：A．
【变式2】（2023春·云南昆明·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则满足要求的一个 SKIPIF 1 < 0 的值为 .
【答案】2（写出 SKIPIF 1 < 0 中的任意一个实数即可）
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，因为函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，值域为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .取 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·全国·高三对口高考）若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为 ；若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，则a的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 对于 SKIPIF 1 < 0 恒成立，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
若函数 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 能取到所有正数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0
题型07对数函数（对数型复合函数）的单调性
【典例1】（2023春·山东青岛·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数B．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是增函数
C．是奇函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数D．是偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 是减函数
【答案】A
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是奇函数；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 由复合函数单调性可知： SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数.
故选：A.
【典例2】（2023春·江苏苏州·高二江苏省苏州实验中学校考阶段练习）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，而 SKIPIF 1 < 0 在定义域内为增函数，
所以由复合函数“同增异减”的性质，可知函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 故答案为： SKIPIF 1 < 0
【变式1】（2023春·浙江衢州·高二统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
又函数 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
又函数 SKIPIF 1 < 0 在定义域 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
根据复合函数的单调性，可知 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
.
【变式2】（2023·全国·高一假期作业）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，
综上， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上递增，在 SKIPIF 1 < 0 上递减，而 SKIPIF 1 < 0 在定义域上递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 的单调增区间为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型08根据数函数（对数型复合函数）的单调性求参数
【典例1】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上的减函数，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：B
【典例2】（2023秋·江苏连云港·高一校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）．
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】解： SKIPIF 1 < 0 函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 在定义域上单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
要使函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调，
SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选： SKIPIF 1 < 0 ．
【典例3】（2023·全国·高一假期作业）若函数 SKIPIF 1 < 0 对任意 SKIPIF 1 < 0 都有 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由 SKIPIF 1 < 0 得， SKIPIF 1 < 0 在R上是减函数，
则有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
【变式1】（2023·高一课时练习）已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案为： SKIPIF 1 < 0 ．
【变式2】（2023·全国·高三对口高考）若函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是减函数且恒大于0，从而有 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
【变式3】（2023·全国·高一专题练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 内单调递减，
设 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上为减函数，且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，开口向下，在区间 SKIPIF 1 < 0 上不为减函数，不满足题意；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
所以综上可得 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0
题型09比较大小问题
【典例1】（2023春·山东德州·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：C
【典例2】（2023春·浙江温州·高二统考学业考试） SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】根据指数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由对数函数的性质，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B.
【典例3】（2023春·广东茂名·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
【变式1】（2023春·陕西西安·高二陕西师大附中校考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ；则有 SKIPIF 1 < 0 ．
故选：B.
【变式2】（2023春·天津滨海新·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则a，b，c的大小关系是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
故选：D.
【变式3】（2023春·山东聊城·高二统考期末）设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 的大小顺序为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
题型10对数函数综合问题
【典例1】（2023春·云南·高一校联考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象过定点 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的坐标；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的图象始终在直线 SKIPIF 1 < 0 的下方，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的坐标为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .
【典例2】（2023春·陕西咸阳·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值．
(2)若 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，且 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 是奇函数．
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
（2）若 SKIPIF 1 < 0 时，即 SKIPIF 1 < 0 时，
SKIPIF 1 < 0 是奇函数又是增函数，
且 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【典例3】（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的
最大值为 SKIPIF 1 < 0 .(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2) SKIPIF 1 < 0 .
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
则 SKIPIF 1 < 0 ，舍去；
综上可知， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）由（1）得， SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，化简得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 分别在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增， SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 .
(1)判断并证明函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值
【答案】(1)奇函数，证明见解析
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，证明如下：
由题得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称；
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为奇函数.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 ，函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，所以：
函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数（同增异减），
所以函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
最大值为 SKIPIF 1 < 0 .
【变式2】（2023春·河北衡水·高一校考阶段练习）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象与函数 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称．
(1)求 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域；
(2)判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，并说明理由．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0 为奇函数，理由见解析
【详解】（1）由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域为 SKIPIF 1 < 0 ．
（2） SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
理由如下：
由（1）可得， SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，关于原点对称，
且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为奇函数．
【变式3】（2023春·高一校考开学考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 .
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）解：对于函数 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此，函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
（2）解：因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 上的减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）的图象恒过定点（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【详解】由对数函数的性质，令 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的图象恒过定点 SKIPIF 1 < 0 .
故选：B．
2．（2023春·陕西宝鸡·高二统考期末）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 大小关系为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
故选：D．
3．（2023春·山东德州·高二统考期末）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【详解】 SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
此式子对于定义域内的任意 SKIPIF 1 < 0 皆成立，必有 SKIPIF 1 < 0
则 SKIPIF 1 < 0
故“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 为奇函数”的充分不必要条件, SKIPIF 1 < 0 正确.
故选： SKIPIF 1 < 0
4．（2023·全国·高一假期作业）函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】由题可知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
5．（2023春·湖南·高二临澧县第一中学校联考期中）已知 SKIPIF 1 < 0 ，则实数a的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，由 SKIPIF 1 < 0 ，无解，
综上，实数a的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ．
故选:A．
6．（2023·全国·高三专题练习）在同一直角坐标系中的函数 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【详解】当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减；
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故A正确，C错误；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增；
函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，且当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，故B、D错误．
故选：A．
7．（2023秋·吉林·高一吉林省实验校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，
即函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因为二次函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递增， SKIPIF 1 < 0 单调递减，
所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 单调递减， SKIPIF 1 < 0 单调递增，
故选:A.
8．（2023春·江西宜春·高一江西省宜丰中学校考期末）若函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值与最小值的差不小于3，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】令 SKIPIF 1 < 0 ，则函数 SKIPIF 1 < 0 为减函数，
又函数 SKIPIF 1 < 0 为增函数，
所以函数 SKIPIF 1 < 0 是减函数，
故 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ，最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，
由题设得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A.
二、多选题
9．（2023秋·重庆长寿·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称B． SKIPIF 1 < 0 的最大值为 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减D． SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0
【答案】AB
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为： SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
内层函数 SKIPIF 1 < 0 为二次函数，其对称轴为直线 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的图象关于直线 SKIPIF 1 < 0 对称，故A正确；
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为增函数，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 为减函数，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，故B正确.
故选：AB.
10．（2023秋·高一单元测试）已知 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数，则实数a的值可以是（ ）
A．4B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．8
【答案】AC
【详解】解：因为 SKIPIF 1 < 0 是R上的单调递增函数，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故选项A正确，选项D错误；
因为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以选项B错误，选项C正确.
故选：AC
三、填空题
11．（2023春·山东烟台·高二统考期末）写出一个同时具有下列性质的函数 SKIPIF 1 < 0 ．
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 为增函数．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 （形如 SKIPIF 1 < 0 都可以，答案不唯一）
【详解】取 SKIPIF 1 < 0 ，该函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
对任意的 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 满足①；
又因为函数 SKIPIF 1 < 0 为定义域 SKIPIF 1 < 0 上的增函数，即 SKIPIF 1 < 0 满足②.
故函数 SKIPIF 1 < 0 满足条件.
故答案为： SKIPIF 1 < 0 （形如 SKIPIF 1 < 0 都可以，答案不唯一）.
12．（2023春·安徽合肥·高一校联考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 / SKIPIF 1 < 0
【详解】因为 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 时，等号成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
四、解答题
13．（2023春·云南楚雄·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上的最大值是2.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，求不等式 SKIPIF 1 < 0 中 SKIPIF 1 < 0 的取值范围.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是减函数，
因此当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在区间 SKIPIF 1 < 0 上是增函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 取得最大值2，即 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
（2）因为 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
代入不等式 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 .
14．（2023秋·陕西咸阳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上的最大值为3.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)假设函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，求关于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集.
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ；
当 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
综上所述， SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
（2）∵ SKIPIF 1 < 0 的定义域是 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 恒成立，
则方程 SKIPIF 1 < 0 的判别式 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
又 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，
∴不等式 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0
因此不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
B能力提升
1．（2023春·辽宁朝阳·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，且在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【详解】因为函数 SKIPIF 1 < 0 是定义在R上的偶函数，
则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递减，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 在定义域内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
由 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内单调递增，则 SKIPIF 1 < 0 ；
故 SKIPIF 1 < 0 ，
又因为在 SKIPIF 1 < 0 上单调递减，所以 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，所以 SKIPIF 1 < 0 .
故选：D.
2．（2023春·广东深圳·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【详解】函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
且 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 是偶函数，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
构造 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，又 SKIPIF 1 < 0 也是增函数，
则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
又 SKIPIF 1 < 0 是定义域内的增函数，故 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
不等式 SKIPIF 1 < 0 等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，平方得： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
则不等式 SKIPIF 1 < 0 的解集为 SKIPIF 1 < 0 .
故选：A
3．（2023春·重庆北碚·高二西南大学附中校考期末）函数 SKIPIF 1 < 0 的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由已知得函数的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 为奇函数，
令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，排除 SKIPIF 1 < 0 ,
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，排除 SKIPIF 1 < 0 ,
故选： SKIPIF 1 < 0 .
4．（2023春·浙江温州·高二统考学业考试）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【详解】法一：
因为存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 时，为使 SKIPIF 1 < 0 有意义，
则 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 的值域为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域没有交集时，有 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
则 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
所以当 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的值域有交集时， SKIPIF 1 < 0 .
法二：
因为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上是单调递增函数，
所以若存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，则有 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
同时， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上能成立，即 SKIPIF 1 < 0 能成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，
因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
综上： SKIPIF 1 < 0 .
故答案为： SKIPIF 1 < 0 .
C综合素养
1．（2023春·山东滨州·高二统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)当 SKIPIF 1 < 0 时，判断函数 SKIPIF 1 < 0 的奇偶性，并说明理由；
(2)当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，求实数 SKIPIF 1 < 0 的取值范围．
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数，理由见解析.
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 得
SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
故函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域为 SKIPIF 1 < 0 ，
因函数 SKIPIF 1 < 0 的定义域不关于原点对称，所以函数 SKIPIF 1 < 0 为非奇非偶函数.
（2）由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
设 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 恒成立，
即为 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上最小值大于0，
函数 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上单调递增，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时，函数 SKIPIF 1 < 0 在对称轴取得最小值，
此时 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
故 SKIPIF 1 < 0 的取值范围为 SKIPIF 1 < 0
2．（2023春·浙江湖州·高一统考期末）已知函数 SKIPIF 1 < 0 的图象过点 SKIPIF 1 < 0 ，且对 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 恒成立.
(1)求函数 SKIPIF 1 < 0 的解析式；
(2)若对任意的 SKIPIF 1 < 0 ，不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，求 SKIPIF 1 < 0 的最小值.（其中 SKIPIF 1 < 0 是自然对数的底数）
【答案】(1) SKIPIF 1 < 0
(2) SKIPIF 1 < 0
【详解】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
（2）令 SKIPIF 1 < 0 ，
原不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立.
下面分三种情况讨论：
①当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故 SKIPIF 1 < 0 ；
②当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 ；
③当 SKIPIF 1 < 0 时，不等式等价于 SKIPIF 1 < 0 ，
而 SKIPIF 1 < 0 ，当且仅当 SKIPIF 1 < 0 取等号，故 SKIPIF 1 < 0 ；
综上所述 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
课程标准
学习目标
①理解对数函数的概念及条件，掌握对
数函数的图象与性质。
②会利用对数函数的性质解决与对数函数有关的函数的定义域、值域、单调性、大小比较、对数方程与不等式等相关问题。
通过本节课的学习，要求掌握对数函数的概念，图象及性质，利用对数函数的性质解决求函数的定义域、值域、利用单调性比较函数值的大小，会解对数方程及对数不等式，能处理与对数函数有关的函数综合问题.
底数
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
图象
性质
定义域
SKIPIF 1 < 0
值域
SKIPIF 1 < 0
单调性
增函数
减函数
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