
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四川省内江市威远中学校2023-2024学年九年级上学期期中学情调研数学试题
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这是一份四川省内江市威远中学校2023-2024学年九年级上学期期中学情调研数学试题,共18页。试卷主要包含了本试卷分A卷两部分,若,,则a等于,已知,,,则的长等内容,欢迎下载使用。
(考试时间:120分钟 试卷满分:160分)
注意事项:
1.本试卷分A卷(100分)和B卷(60分)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
A卷(共100分)
第 = 1 \* ROMAN I卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2.下列式子,一定是二次根式的共有( )
,1,,,,
A.5个B.4个C.3个D.2个
3.若两个相似三角形的面积之比为,则它们对应角平分线之比为( )
A.B.C.D.
4.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为( )
A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1
C.(x-2)2=1D.(x+2)2=2
5.若,,则a等于( )
A.2B.4C.6D.8
6.已知,,,则的长( )
A.3B.4C.5D.10
7.如图,某小区计划在一个长米,宽米的矩形场地上修建三条同样宽的道路,使其中两条与平行,另一条与平行,其余部分种草.若使每块草坪面积都为平方米,设道路的宽度为米,则可列方程为( )
A.B.
C.D.
8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )
A.B.且C.且D.且
9.如图,点E、F分别在矩形的边上,且,若,则的长为( )
A.12B.13C.14D.15
10.已知一元二次方程的两个根为、,则的值为( )
A.-3B.C.1D.
11.观察下列等式:①;②;③.根据上面三个等式提供的信息,请猜想的结果为( )
A.B.C.D.
12.如图,把菱形向平移至的位置,作,垂足为与相交于点的延长线交于点,连接,则下列结论:①;②;③;④,则正确的结论有( )个
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,答案写在答题卡上)
13.函数中,自变量的取值范围是 .
14.若,则 .
15.如图,,则 .
16.如图,小明在测得某树的影长为,时又测得该树的影长为,若两次日照的光线互相垂直,则这棵树的高度为 .
三、解答题
17.计算:
(1);
(2).
18.解方程:
(1)
(2)
19.某地由于台风受灾牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款元,第三天收到捐款元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长率不变,求该单位这三天共收到捐款多少元?
20.如图,是的角平分线,在上取点E,使
(1)求证:;
(2)若,,求的度数.
21.如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根是另一个根的3倍,那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如,方程的两个根是1和3,则这个方程就是“三倍根方程”.
(1)下列方程是三倍根方程的是___________;
①;②;③.
(2)若关于n的方程是“三倍根方程”,则___________;(写出必要步骤)
(3)若是关于x的“三倍根方程”,求代数式的值.
B卷(共60分)
一、填空题(本大题共4个小题,每小题6分,共24分,答案写在答题卡上)
22.已知,则 .
23.已知关于x的方程的两根为,,则方程的两根之和为 .
24.设α,β是一元二次方程的两实数根,则的值为 .
25.如图,点A是反比例函数图象上的一点,过A作轴于点B,点D为x轴正半轴上一点且,连接交y轴于点C,连接.若的面积为4,则k的值为 .
二、解答题(本小题共3个小题,每小题12分,共36分,答案写在答题卡上)
26.随着气温的降低,乌市某电器商场销售一批电暖器,平均每天可售出30台,每台可盈利50元,为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每台每降价1元,商场平均每天可多售出2台.设每台降价元,则:
(1)每天可销售__________台,每台盈利__________元(用含的式子表示)
(2)在尽快减少库存的前提下,商场每天要盈利2100元,每台电暖器应降价多少元?
(3)该商场平均每天盈利能达到2500元吗?如果能,求出此时应降价多少;如果不能,请说明理由
27.阅读材料:设a>0,b>0.∵()2≥0,∴a﹣2+≥0,即a+(当=,即a=时,取“=”).由此可得结论:若a>0,b>0,则当a=时,a+有最小值2.
理解概念:(1)若x>0,则x= 时,函数x+有最小值为 .(写出必要步骤)
拓展应用:(2)若x>1,则代数式x+的最小值为 ,此时x= ;(写出必要步骤)
解决问题:(3)学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔,生物园的一边AD靠墙(如图,墙足够长),面积为8m2,求至少需要多少米的篱笆?
28.【基础巩固】
(1)如图1,在中,D为上一点,连结,E为上一点,连结,若,求证:.
【尝试应用】
(2)如图2,在平行四边形中,对角线交于点O,E为上一点,连结,若,求的长.
【拓展提升】
(3)如图3,在菱形中,对角线交于点O,E为中点,F为上一点,连结,若,,求菱形的边长.
参考答案:
1.C
【详解】解:A.方程含有2个未知数,不是一元二次方程,故该选项不符合题意;B.方程含有1个未知数且最高次数是3,不是一元二次方程,故该选项不符合题意;C.只含有1个未知数,未知数的最高次数是2,故该选项符合题意;D.不是整式方程,故该选项不符合题意.故选:C.
2.D
【详解】解:,1,,,,中一定是二次根式的有、,共2个,故D正确.故选:D.
3.A
【详解】解:两个相似三角形的面积之比为,这两个三角形的相似比为,
这两个三角形对应角平分线之比为,故选:A.
4.C
【详解】x2+3=4x,
整理得:x2-4x=-3,配方得:x2-4x+4=4-3,即(x-2)2=1.故选C.
5.B
【分析】设,则,,,根据,得出,求出,得出a的值即可.
【详解】解:设,则,,,
∵,∴,解得:,∴.故选:B.
6.D
【分析】根据得到求得后根据计算即可.
【详解】∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴.故选:D.
7.A
【详解】解:设道路的宽度为米,根据题意得,
故选:A.
8.B
【详解】解:根据题意得且,
解得且.故选:B.
9.A
【详解】解:四边形是矩形,
,
,
,
,
,
,
,,
故选:A.
10.D
【详解】解:由一元二次方程根与系数的关系得,
,
∴,故选:D.
11.D
【详解】====,故选D.
12.D
【详解】解:∵把菱形向右平移至的位置,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,故①正确;
∵DE=DH,
∴∠DHE=∠DEH,
∵四边形CDFE是菱形,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,故②正确;
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴是的中位线,
∴,
∴,故③正确;
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
∴.故④正确;
正确的有:①②③④,
故选:D.
13.且
【详解】由可得:
,解得:且.
14.3
【分析】将方程变形为,再运用因式分解法求解即可.
【详解】解:,
,
,
,,
∴,,
∵,∴,故答案为:3.
15.
【详解】解:,,
,
,
,
,即,解得或(负值舍去),故答案为:.
16.8m/8米
【分析】根据题意,画出示意图,易得∽,进而可得,即,代入数据可得答案.
【详解】解:根据题意,作;
树高为,且,,,
,,
,
又,
∽,
;即,代入数据可得,解得(负值舍去).故答案为:.
17.(1)
(2)
【详解】(1)
(2)
18.(1),
(2),
【详解】(1)解:
∵,,
∴
∴, ;
(2)解:
解得:,
19.(1)捐款增长率为.
(2)该单位三天一共能收到元捐款
【详解】(1)解:设捐款增长率为,根据题意列方程得,
,解得 (不合题意,舍去);
答:捐款增长率为.
(2)第二天收到捐款为: (元).
该单位三天一共能收到的捐款为:(元).
答:该单位三天一共能收到元捐款.
20.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由角平分线的定义可得,由得:,即可得证;
(2)由(1)可得,再由三角形的内角和可求得,由角平分线的定义得,则可求得的度数,从而可求的度数.
【详解】(1)证明:是的角平分线,
,
,
,
;
(2)解:,
,,
,
,
是的角平分线,
,
,
.
21.(1)③ (2)2 (3)的值为或2
【详解】(1)①
,
解得,
∵
∴①不是三倍根方程;
②
或
解得,
∵
∴②不是三倍根方程;
③
或
解得,
∵
∴③是三倍根方程.
故答案为:③;
(2)设方程的两根为n,,
根据根与系数的关系得,解得,
故答案为:2;
(3)
∴,
解得或,
一元二次方程是“三倍根方程”,
或,
当时,,
.
当时,,
,
综上所述,的值为或2.
22./
【详解】解:,即,
解得:,
,
,
,
将,代入,
,
故答案为:.
23.
【详解】解:设,方程的两根分别是、,
∴,
由题意可得:,,
∴,
∴,即,故答案为:.
24.
【分析】利用根与系数关系定理,根的定义计算即可.
【详解】∵α,β是一元二次方程的两实数根,
∴
∴ ,
故答案为:.
25.
【分析】根据题意证明,由,得到,设,由的面积为4,则,进而得到,再根据反比例函数k的几何意义即可求出.
【详解】解:轴,
,
,
,
,
设,则,,
的面积为4,
,即,
,则,
,
,
点A是反比例函数图象上,
,故答案为:.
26.(1),;(2)20元;(3)不能.
【详解】(1)解:设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,故答案为:;,
(2)解:设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,
依题意得:,
整理得:,
解得:,.
又要尽快减少库存,
.
答:每台空气加湿器应降价20元.
(3)不能,理由如下:
设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,
依题意得:,
整理得:.
,
该方程无实数根,
该商场平均每天盈利不能达到2500元.
27.(1)1,2;(2)5,3;(3)
【分析】(1)根据材料可得,当,即x=1时,函数有最小值为2;
(2)同理得:,变形后可得结论:x=3时,代数式的最小值为5;
(3)设AB=xm,根据长方形的周长列式,根据材料进行变形,列不等式可得结论.
【详解】解:(1)∵x>0,
∴,
∴
即,当,即x=1时,函数有最小值为2;
故答案为:1,2;
(2)∵x>1,
∴
∴
即,当,即x=3时,代数式的最小值为5;
故答案为:5,3;
(3)设AB=xm,则CD=xm,BC=m.
则篱笆长度为:
当且仅当x=2时,2x+有最小值是8.
答:至少需要8m的篱笆.
28.(1)见解析;(2)18;(3).
【分析】(1)可证得 , 从而 , 进一步得出结论;
(2)可证得 ,从而得出 ,进而得出 ,从而 , 设 ,则 , 从而得出 , 从而求得 的值,进一步得出结果;
(3) 延长 ,交于点 , 可得出 , 从而 , 进而表示出 ,可证得 , 从而 ,进而求得 的值,进一步得出结果;
【详解】(1)证明:∵,
(2)解:∵四边形 是平行四边形,
设,则
(舍),
设 , 则 ,
(舍去),
(3)解:如图,
延长 ,交于点 ,
设则
∵四边形 是菱形,
即
在 中,
∵ 为 的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即 ,
∴ (舍去),
∴,
即菱形 的边长为
(考试时间:120分钟 试卷满分:160分)
注意事项:
1.本试卷分A卷(100分)和B卷(60分)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
A卷(共100分)
第 = 1 \* ROMAN I卷
一、选择题(本大题共12个小题,每小题3分,共36分,每小题均有四个选项,其中只有一项符合题目要求,答案涂在答题卡上)
1.下列方程属于一元二次方程的是( )
A.B.
C.D.
2.下列式子,一定是二次根式的共有( )
,1,,,,
A.5个B.4个C.3个D.2个
3.若两个相似三角形的面积之比为,则它们对应角平分线之比为( )
A.B.C.D.
4.用配方法解方程x2+3=4x,配方后的方程变为( )
A.(x-2)2=7B.(x+2)2=1
C.(x-2)2=1D.(x+2)2=2
5.若,,则a等于( )
A.2B.4C.6D.8
6.已知,,,则的长( )
A.3B.4C.5D.10
7.如图,某小区计划在一个长米,宽米的矩形场地上修建三条同样宽的道路,使其中两条与平行,另一条与平行,其余部分种草.若使每块草坪面积都为平方米,设道路的宽度为米,则可列方程为( )
A.B.
C.D.
8.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,则实数的取值范围是( )
A.B.且C.且D.且
9.如图,点E、F分别在矩形的边上,且,若,则的长为( )
A.12B.13C.14D.15
10.已知一元二次方程的两个根为、,则的值为( )
A.-3B.C.1D.
11.观察下列等式:①;②;③.根据上面三个等式提供的信息,请猜想的结果为( )
A.B.C.D.
12.如图,把菱形向平移至的位置,作,垂足为与相交于点的延长线交于点,连接,则下列结论:①;②;③;④,则正确的结论有( )个
A.1B.2C.3D.4
第Ⅱ卷
二.填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分,答案写在答题卡上)
13.函数中,自变量的取值范围是 .
14.若,则 .
15.如图,,则 .
16.如图,小明在测得某树的影长为,时又测得该树的影长为,若两次日照的光线互相垂直,则这棵树的高度为 .
三、解答题
17.计算:
(1);
(2).
18.解方程:
(1)
(2)
19.某地由于台风受灾牵动着全国人民的心,某单位开展了“一方有难,八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款元,第三天收到捐款元.
(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同,求捐款增长率;
(2)按照(1)中收到捐款的增长率不变,求该单位这三天共收到捐款多少元?
20.如图,是的角平分线,在上取点E,使
(1)求证:;
(2)若,,求的度数.
21.如果关于x的一元二次方程有两个实数根,且其中一个根是另一个根的3倍,那么称这样的方程为“三倍根方程”.例如,方程的两个根是1和3,则这个方程就是“三倍根方程”.
(1)下列方程是三倍根方程的是___________;
①;②;③.
(2)若关于n的方程是“三倍根方程”,则___________;(写出必要步骤)
(3)若是关于x的“三倍根方程”,求代数式的值.
B卷(共60分)
一、填空题(本大题共4个小题,每小题6分,共24分,答案写在答题卡上)
22.已知,则 .
23.已知关于x的方程的两根为,,则方程的两根之和为 .
24.设α,β是一元二次方程的两实数根,则的值为 .
25.如图,点A是反比例函数图象上的一点,过A作轴于点B,点D为x轴正半轴上一点且,连接交y轴于点C,连接.若的面积为4,则k的值为 .
二、解答题(本小题共3个小题,每小题12分,共36分,答案写在答题卡上)
26.随着气温的降低,乌市某电器商场销售一批电暖器,平均每天可售出30台,每台可盈利50元,为了扩大销售量,增加盈利,尽快减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每台每降价1元,商场平均每天可多售出2台.设每台降价元,则:
(1)每天可销售__________台,每台盈利__________元(用含的式子表示)
(2)在尽快减少库存的前提下,商场每天要盈利2100元,每台电暖器应降价多少元?
(3)该商场平均每天盈利能达到2500元吗?如果能,求出此时应降价多少;如果不能,请说明理由
27.阅读材料:设a>0,b>0.∵()2≥0,∴a﹣2+≥0,即a+(当=,即a=时,取“=”).由此可得结论:若a>0,b>0,则当a=时,a+有最小值2.
理解概念:(1)若x>0,则x= 时,函数x+有最小值为 .(写出必要步骤)
拓展应用:(2)若x>1,则代数式x+的最小值为 ,此时x= ;(写出必要步骤)
解决问题:(3)学校打算用篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔,生物园的一边AD靠墙(如图,墙足够长),面积为8m2,求至少需要多少米的篱笆?
28.【基础巩固】
(1)如图1,在中,D为上一点,连结,E为上一点,连结,若,求证:.
【尝试应用】
(2)如图2,在平行四边形中,对角线交于点O,E为上一点,连结,若,求的长.
【拓展提升】
(3)如图3,在菱形中,对角线交于点O,E为中点,F为上一点,连结,若,,求菱形的边长.
参考答案:
1.C
【详解】解:A.方程含有2个未知数,不是一元二次方程,故该选项不符合题意;B.方程含有1个未知数且最高次数是3,不是一元二次方程,故该选项不符合题意;C.只含有1个未知数,未知数的最高次数是2,故该选项符合题意;D.不是整式方程,故该选项不符合题意.故选:C.
2.D
【详解】解:,1,,,,中一定是二次根式的有、,共2个,故D正确.故选:D.
3.A
【详解】解:两个相似三角形的面积之比为,这两个三角形的相似比为,
这两个三角形对应角平分线之比为,故选:A.
4.C
【详解】x2+3=4x,
整理得:x2-4x=-3,配方得:x2-4x+4=4-3,即(x-2)2=1.故选C.
5.B
【分析】设,则,,,根据,得出,求出,得出a的值即可.
【详解】解:设,则,,,
∵,∴,解得:,∴.故选:B.
6.D
【分析】根据得到求得后根据计算即可.
【详解】∵,,,
∴,
∴,
∵,
∴.故选:D.
7.A
【详解】解:设道路的宽度为米,根据题意得,
故选:A.
8.B
【详解】解:根据题意得且,
解得且.故选:B.
9.A
【详解】解:四边形是矩形,
,
,
,
,
,
,
,,
故选:A.
10.D
【详解】解:由一元二次方程根与系数的关系得,
,
∴,故选:D.
11.D
【详解】====,故选D.
12.D
【详解】解:∵把菱形向右平移至的位置,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
即,故①正确;
∵DE=DH,
∴∠DHE=∠DEH,
∵四边形CDFE是菱形,
∴,
∵四边形是菱形,
∴,
∴,故②正确;
∵,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴是的中位线,
∴,
∴,故③正确;
∵四边形是菱形,
∴,
∵,
∴,
∴.故④正确;
正确的有:①②③④,
故选:D.
13.且
【详解】由可得:
,解得:且.
14.3
【分析】将方程变形为,再运用因式分解法求解即可.
【详解】解:,
,
,
,,
∴,,
∵,∴,故答案为:3.
15.
【详解】解:,,
,
,
,
,即,解得或(负值舍去),故答案为:.
16.8m/8米
【分析】根据题意,画出示意图,易得∽,进而可得,即,代入数据可得答案.
【详解】解:根据题意,作;
树高为,且,,,
,,
,
又,
∽,
;即,代入数据可得,解得(负值舍去).故答案为:.
17.(1)
(2)
【详解】(1)
(2)
18.(1),
(2),
【详解】(1)解:
∵,,
∴
∴, ;
(2)解:
解得:,
19.(1)捐款增长率为.
(2)该单位三天一共能收到元捐款
【详解】(1)解:设捐款增长率为,根据题意列方程得,
,解得 (不合题意,舍去);
答:捐款增长率为.
(2)第二天收到捐款为: (元).
该单位三天一共能收到的捐款为:(元).
答:该单位三天一共能收到元捐款.
20.(1)证明见解析
(2)
【分析】(1)由角平分线的定义可得,由得:,即可得证;
(2)由(1)可得,再由三角形的内角和可求得,由角平分线的定义得,则可求得的度数,从而可求的度数.
【详解】(1)证明:是的角平分线,
,
,
,
;
(2)解:,
,,
,
,
是的角平分线,
,
,
.
21.(1)③ (2)2 (3)的值为或2
【详解】(1)①
,
解得,
∵
∴①不是三倍根方程;
②
或
解得,
∵
∴②不是三倍根方程;
③
或
解得,
∵
∴③是三倍根方程.
故答案为:③;
(2)设方程的两根为n,,
根据根与系数的关系得,解得,
故答案为:2;
(3)
∴,
解得或,
一元二次方程是“三倍根方程”,
或,
当时,,
.
当时,,
,
综上所述,的值为或2.
22./
【详解】解:,即,
解得:,
,
,
,
将,代入,
,
故答案为:.
23.
【详解】解:设,方程的两根分别是、,
∴,
由题意可得:,,
∴,
∴,即,故答案为:.
24.
【分析】利用根与系数关系定理,根的定义计算即可.
【详解】∵α,β是一元二次方程的两实数根,
∴
∴ ,
故答案为:.
25.
【分析】根据题意证明,由,得到,设,由的面积为4,则,进而得到,再根据反比例函数k的几何意义即可求出.
【详解】解:轴,
,
,
,
,
设,则,,
的面积为4,
,即,
,则,
,
,
点A是反比例函数图象上,
,故答案为:.
26.(1),;(2)20元;(3)不能.
【详解】(1)解:设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,故答案为:;,
(2)解:设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,
依题意得:,
整理得:,
解得:,.
又要尽快减少库存,
.
答:每台空气加湿器应降价20元.
(3)不能,理由如下:
设每台空气加湿器降价元,则每天盈利元,每天可以售出台,
依题意得:,
整理得:.
,
该方程无实数根,
该商场平均每天盈利不能达到2500元.
27.(1)1,2;(2)5,3;(3)
【分析】(1)根据材料可得,当,即x=1时,函数有最小值为2;
(2)同理得:,变形后可得结论:x=3时,代数式的最小值为5;
(3)设AB=xm,根据长方形的周长列式,根据材料进行变形,列不等式可得结论.
【详解】解:(1)∵x>0,
∴,
∴
即,当,即x=1时,函数有最小值为2;
故答案为:1,2;
(2)∵x>1,
∴
∴
即,当,即x=3时,代数式的最小值为5;
故答案为:5,3;
(3)设AB=xm,则CD=xm,BC=m.
则篱笆长度为:
当且仅当x=2时,2x+有最小值是8.
答:至少需要8m的篱笆.
28.(1)见解析;(2)18;(3).
【分析】(1)可证得 , 从而 , 进一步得出结论;
(2)可证得 ,从而得出 ,进而得出 ,从而 , 设 ,则 , 从而得出 , 从而求得 的值,进一步得出结果;
(3) 延长 ,交于点 , 可得出 , 从而 , 进而表示出 ,可证得 , 从而 ,进而求得 的值,进一步得出结果;
【详解】(1)证明:∵,
(2)解:∵四边形 是平行四边形,
设,则
(舍),
设 , 则 ,
(舍去),
(3)解:如图,
延长 ,交于点 ,
设则
∵四边形 是菱形,
即
在 中,
∵ 为 的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
即 ,
∴ (舍去),
∴,
即菱形 的边长为