山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

这是一份山东省青岛市市南区青岛大学附属中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题，共9页。试卷主要包含了选择题，填空题，作图题，计算题，解答题等内容，欢迎下载使用。
（满分：120分 时间：120分钟）
真情提示：亲爱的同学，欢迎你参加本次考试，祝你答题成功！
本试题共有26题，1-10题为选择题，共30分；11-16题为填空题，共18分，17-18题为作图题共8分，19-20题为计算题共14分，21-26为解答题共50分．要求所有题目均在答题卡上作答，在本卷上作答无效．
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分．在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1．在平行四边形、菱形、矩形、正方形、等边三角形这五种图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（ ）
A．1种B．2种C．3种D．4种
2．根据下表中的对应值，判断方程（为常数）一个解的范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列命题中，错误的是（ ）
A．两条对角线相等的平行四边形是矩形B．两条对角线互相垂直的四边形是菱形
C．两条对角线互相垂直的矩形是正方形D．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
4．如图，现分别旋转两个标准的转盘，则转盘所转到的两个数字之积为奇数的概率是（ ）
第4题图
A．B．C．D．
5．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（ ）
① ② ③ ④
第5题图
A．①③B．②④C．①②③D．①②③④
6．在一幅长，宽的矩形风景画外围四周镶一条金色纸边，制成一幅面积是的挂图，如果设金色纸边的宽为，那么满足的方程是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，在矩形、三角形、正五边形、菱形的外边加一个宽度一样的外框，保证外框的边界与原图形对应边平行，则外框与原图一定相似的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
8．我们知道方程的解是，现给出另一个方程，它的解是（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在中，，则（ ）
A．1∶2∶4B．1∶4∶16C．1∶3∶12D．1∶3∶8
10．如图，点为正方形的中心，平分交于点，还长到点，使，连结交的延长线于点，连结交于点，连结则以下四个结论中：①；②；③；④；⑤．正确结论的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）
11．一元二次方程的解是：______．
12．若，则______．
13．一个口袋中装有10个红球和若干个黄球，在不允许将球倒出来数的前提下，为估计口袋中黄球的个数，小明采用了如下的方法：每次先把球摇匀，从口袋中摸出10个球，求出其中红球数与10的比值，再把球放回口袋中摇匀，不断重复上述过程200次，得到红球数与10的比值的平均数为0.4．根据上述数据，估计口袋中大约有______个黄球．
14．如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线分别交于点，连接，则的面积为______．
第14题图
15．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为，则原铁皮的边长为______．
16．如图，在矩形与矩形中，连接，则______．
第16题图
三、作图题
17．（尺规作图，本小题满分4分）
已知：直角
求作：矩形，使为矩形的一个内角，矩形的其余各顶点都在的各边上，且点到两点的距离相等
18．（网格作图，本小题满分4分）
如图，三个顶点坐标分别为．在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将放大为原来的2倍得到的图形画出来．
四、计算题（本大题共2小题，共14分）
19．解下列方程（本小题满分8分）
（1）（2）．
20．（本小题满分6分）
已知关于的一元二次方程有实数根．
（1）求的取值范围；
（2）如果方程的两个实数根为，且，求的取值范围．
五、解答题（本大题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
21．（本小题6分）
如图，点是线段的黄金分割点，计算线段的黄金比的值．
22．（本小题8分）
2023年9月，第19届亚运会在杭州举行，有20名志愿者参加某分会场的工作，其中男生8人，女生12人．
（1）若从这20人中随机选取一人作为联络员，求选到女生的概率；
（2）若该分会场的某项工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将四张牌面数字分别为的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，从中任取1张，不放回，再取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加；否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
23．（本小题8分）
如图所示，中，是中点，是的中点，过点作的平行线交的延长线于，连接．
（1）判断并证明四边形的形状；
（2）当满足什么条件时，四边形是矩形，证明你的结论．
24．（本小题8分）
青岛某饭店推出一款新品“特色香辣小龙虾”按照以堂食和外卖两种方式售卖；一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价比外卖单价高20元，4份外卖的总价比3份堂食的总价多48元；
（1）求一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价和外卖单价分别是多少元？
（2）五月份第一周按照（1）中的单价共卖出200分“特色香辣小龙虾”，由于小龙虾成熟旺季到来，成本降低，因此该饭店决定从五月第二周降价销售，每份外卖单价降元，第二周的总销售量在第一周200份的基础上增加份．每份堂食单价直接降价8元，且第二周堂食的销售量占第二周总销售量的，其余均由外卖售出．最终这款“特色香辣小龙虾”第二周的总销售额为元，求的值．
25．（本小题9分）
（1）问题发现：
如图1，在正方形中，点分别在边上，且，则______；
（2）类比探究：
如图2，在（1）的条件下，把“正方形”改为“矩形，且”其它条件不变，则______，证明你的结论；
（3）拓展应用：
如图3，在中，，点为的中点，连接，点为上一点，，则______．
图1 图2 图3
26．（本小题11分）
已知：如图，在中，，点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为；点由点出发沿方向向点匀速运动，速度为：若设运动的时间为，解答下列问题：
图① 图② 图③
（1）如图①，连接，当为何值时，并说明理由；
（2）如图②，当点运动时，是否存在某一时刻，使得点在线段的垂直平分线上，请说明理由；
（3）如图③，当点运动时，线段上是否存在一点，使得四边形为荾形？若存在，试求出长：若不存在，请说明理由．
2023-2024学年度第一学期阶段性检测（九年级数学试题答案）
一．选择题（每题3分）
二．填空题（每题3分，第11题写一个不给分）
三．作图题
17．【答案】 解：1．先作线段的垂直平分线交于点，
2．再过作的垂线
3．结论
18．【答案】 解：如图，即为所作．（一个图2分）
19．【答案】 解：（1），，
，
（2）先提公因式，得，
即或，解得．
20．【答案】 解：（1）根据题意得，解得；
（2）根据题意得，而，
所以，解得，
而，所以的范围为．
21．【答案】 设线段，较长的线段的长为，
是线段的黄金分割点，，，
解得：（舍去负值），
，答：黄金比为．
22．【答案】 解：（1）共20名志愿者，女生12人，选到女生的概率是：；
（2）不公平，
根据题意画图如下：
共有12种情况，和为偶数的情况有4种，
牌面数字之和为偶数的概率是，
甲参加的概率是，乙参加的概率是，比较
这个游戏不公平．
23．【答案】 解：（1）结论：四边形是平行四边形．
理由：点是的中点，，
又，，
又，，，
又是边上的中线，，，
，四边形是平行四边形．
（2）结论：．
理由如下：
，，，
四边形为平行四边形，四边形为矩形．
24．【答案】 解：（1）设一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价是元，一份“特色香辣小龙虾”的外卖单价是元，
根据题意得：，解得：．
答：一份“特色香辣小龙虾”的堂食单价是128元，一份“特色香辣小龙虾”的外卖单价是108元；
（2）根据题意得：，
整理得：，解得：．答：的值为20．
25．【答案】 （1）1
（2），过点作于，过点作于点，设与的交点为点，
图2
，，，
又，，
，，，
又，；故答案为；
（3）
26．【答案】
解：（1）在中，，，
由运动知，，，
，，，；
（2）存在，
理由：如图②，由运动知，，，
点在的垂直平分线上，过点作，
,
，，，，．
图②
（3）不存在，
理由：由运动知，，
假设线段上是存在一点，使得四边形为平行四边形，
，，，，
，，，
平行四边形不可能是菱形．
即：线段上不存在一点，使得四边形为菱形．
3.23
3.24
3.25
3.26
0.03
0.09
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
B
B
D
B
C
D
C
D
题号
11
12
13
14
15
16
答案
2
15
16
．