安徽省芜湖市第二十九中学2023-2024学年九年级 上学期期中数学试卷

这是一份安徽省芜湖市第二十九中学2023-2024学年九年级 上学期期中数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（4分）如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（4分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2，则m为（ ）
A．﹣2B．1C．4D．﹣3
3．（4分）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．
4．（4分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+2）2上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2
6．（4分）某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．1999x2＝1360B．1999（1﹣x2）＝1360
C．1999（1﹣x）2＝1360D．1999（1﹣2x）＝1360
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．55°B．50°C．65°D．60°
8．（4分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
9．（4分）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，则方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．2，﹣5B．﹣3，4C．3，﹣4D．﹣2，5
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 ．
12．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 ．
13．（5分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 ．
14．（5分）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y＝ax2+1是“美丽抛物线”时，则a＝ ；
（2）若抛物线y＝ax2+k是“美丽抛物线”，则a，k之间的数量关系为 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
16．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求此函数的解析式．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
18．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；
（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．
（1）求证：△ABE≌△FEH；
（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．
20．（10分）掷实心球是中学生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
六、（本题满分12分）
21．（12分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
七、（本题满分12分）
22．（12分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
2023-2024学年安徽省芜湖二十九中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）
1．（4分）如图是回收、绿色食品、绿色包装、低碳四个标志图案，其中为中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：A、B、D选项均不是中心对称图形，不符合题意；
C选项，是中心对称图形，符合题意；
故选：C．
2．（4分）若关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2，则m为（ ）
A．﹣2B．1C．4D．﹣3
【解答】解：∵关于x的方程x2+mx﹣6＝0有一个根为2．
∴4+2m﹣6＝0，
解得：m＝1，
故选：B．
3．（4分）关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，则x1+x2的值为（ ）
A．3B．﹣3C．D．
【解答】解：∵关于x的方程2x2+6x﹣7＝0的两根分别为x1，x2，
∴，
故选：B．
4．（4分）如图，将△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，此点A在边B′C上，若BC＝5，AC＝3，则AB′的长为（ ）
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转一定的角度得到△A′B′C′，点A在边B′C上，
∴CB′＝CB＝5，
∴AB′＝CB′﹣CA＝5﹣3＝2．
故选：D．
5．（4分）若点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+2）2上，则y1，y2的大小关系（ ）
A．y1＞y2B．y1≥y2C．y1＜y2D．y1≤y2
【解答】解：∵y＝﹣（x+2）2，
∴该抛物线开口向下，当x＜﹣2时，y随x的增大而增大，当x＞﹣2时，y随x的增大而减小，当x＝﹣2时取得最大值，
∵点A（﹣1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝﹣（x+2）2上，﹣2＜﹣1＜2，
∴y1＞y2，
故选：A．
6．（4分）某品牌手机原来每部售价为1999元，经过连续两次降价后，该手机每部售价为1360元，设平均每次降价的百分率为x，根据题意，所列方程正确的是（ ）
A．1999x2＝1360B．1999（1﹣x2）＝1360
C．1999（1﹣x）2＝1360D．1999（1﹣2x）＝1360
【解答】解：由题意可得，
第一次降价后的价格为[1999×（1﹣x）]元，两次连续降价后售价在第一次降价后的价格的基础上降低x，为[1999×（1﹣x）×（1﹣x）]元，
∴1999（1﹣x）2＝1360，
故选：C．
7．（4分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°．将△ABC绕点C顺时针旋转α角（0°＜α＜180°）至△A'B'C使得点A′恰好落在AB边上，则α等于（ ）
A．55°B．50°C．65°D．60°
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，
∴∠A＝90°﹣∠B＝65°，
由旋转的性质得：CA＝CA′，
∴∠A＝∠CA′A＝65°，
∴α＝∠ACA′＝180°﹣2×65°＝50°，
故选：B．
8．（4分）如表中列出了二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的一些对应值，则一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解x1的范围是（ ）
A．﹣3＜x1＜﹣2B．﹣2＜x1＜﹣1C．﹣1＜x1＜0D．0＜x1＜1
【解答】解：当x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝1时，y＝1，函数在[﹣1，0]上y随x的增大而增大，得
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个近似解在
﹣1＜x1＜0，
故选：C．
9．（4分）已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，则方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（ ）
A．2，﹣5B．﹣3，4C．3，﹣4D．﹣2，5
【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣4，3，
∴方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）中x﹣1＝﹣4或x﹣1＝3，
解得：x＝﹣3或4，
即方程a（x+m﹣1）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3和4，
故选：B．
10．（4分）抛物线y＝ax2+bx+c交x轴于A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的负半轴于C，顶点为D．下列结论：①2a+b＝0；②2c＜3b；③当m≠1时，a+b＜am2+bm；④当△ABD是等腰直角三角形时，则a＝；⑤当△ABC是等腰三角形时，a的值有3个．其中正确的有（ ）个．
A．5B．4C．3D．2
【解答】解：①∵二次函数与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴二次函数的对称轴为直线x＝＝1，即﹣＝1，
∴2a+b＝0．
故①正确；
②∵二次函数y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0）．
∴a﹣b+c＝0，9a+3b+c＝0．
又∵b＝﹣2a．
∴3b＝﹣6a，a﹣（﹣2a）+c＝0．
∴3b＝﹣6a，2c＝﹣6a．
∴2c＝3b．
故②错误；
③∵抛物线开口向上，对称轴是直线x＝1．
∴x＝1时，二次函数有最小值．
∴m≠1时，a+b+c＜am2+bm+c．
即a+b＜am2+bm．
故③正确；
④∵AD＝BD，AB＝4，△ABD是等腰直角三角形．
∴AD2+BD2＝42．
解得，AD2＝8．
设点D坐标为（1，y）．
则[1﹣（﹣1）]2+y2＝AD2．
解得y＝±2．
∵点D在x轴下方．
∴点D为（1，﹣2）．
∵二次函数的顶点D为（1，﹣2），过点A（﹣1，0）．
设二次函数解析式为y＝a（x﹣1）2﹣2．
∴0＝a（﹣1﹣1）2﹣2．
解得a＝．
故④正确；
⑤由图象可得，AC≠BC．
故△ABC是等腰三角形时，a的值有2个．（故⑤错误）
故①③④正确，②⑤错误．
故选：C．
二、填空题（木大题共4小题，每小题5分，共20分）
11．（5分）将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为 y＝﹣2（x﹣1）2﹣4 ．
【解答】解：将抛物线y＝﹣2（x+2）2向右平移3个单位，则函数解析式变为y＝﹣2（x+2﹣3）2＝﹣2（x﹣1）2，向下平移4个单位长度得到的抛物线的函数解析式为y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
故答案为：y＝﹣2（x﹣1）2﹣4．
12．（5分）关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，则k的取值范围是 k≤且k≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣x+1＝0有实数根，
∴，
解得：k≤且k≠0．
故答案为：k≤且k≠0．
13．（5分）如图，平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'的坐标是 （，3） ．
【解答】解：如图，过点B和B′作BD⊥x轴和B′C⊥y轴于点D、C，
∵∠AOB＝∠B＝30°，
∴AB＝OA＝2，∠BAD＝60°，
∴AD＝1，BD＝，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴B（3，），
∴将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B'，
∴B′C＝BD＝，OC＝OD＝3，
∴B′坐标为：（，3）．
故答案为：（，3）．
14．（5分）如图，抛物线y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的顶点为A，对称轴与x轴交于点C，当以AC为对角线的正方形ABCD的另外两个顶点B、D恰好在抛物线上时，我们把这样的抛物线称为“美丽抛物线”，正方形ABCD为它的内接正方形．
（1）当抛物线y＝ax2+1是“美丽抛物线”时，则a＝ ﹣2 ；
（2）若抛物线y＝ax2+k是“美丽抛物线”，则a，k之间的数量关系为 ak＝﹣2 ．
【解答】解：（1）函数y＝ax2+k的图象如下：
当抛物线y＝ax2+1是美丽抛物线时，则AC＝1，
∵四边形ABCD为正方形，则点D的坐标为（，），
将点D的坐标代入y＝ax2+1得：＝a（）2+1，
解得：a＝﹣2，
故答案为：﹣2；
（2）由（1）知，点D的坐标为（k，k），
将点D的坐标代入y＝ax2+k得：k＝a（k）2+k，
解得：ak＝﹣2，
故答案为：ak＝﹣2．
三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
16．（8分）二次函数y＝ax2+bx+c图象的顶点是A（2，1），且经过点B（1，0），求此函数的解析式．
【解答】解：设抛物线的解析式为y＝a（x﹣2）2+1，
将B（1，0）代入y＝a（x﹣2）2+1得，0＝a+1，
∴a＝﹣1，
∴函数解析式为y＝﹣（x﹣2）2+1，
所以该抛物线的函数解析式为y＝﹣x2+4x﹣3．
四、（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．
（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？
（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？
【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，
根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，
整理，得：x2+2x﹣80＝0，
解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．
答：每轮传染中平均一个人传染8个人．
（2）81+81×8＝729（人）．
答：经过三轮传染后共有729人会患流感．
18．（8分）如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，3），B（﹣4，0），C（0，0）．
（1）将△ABC向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A1B1C1，画出△A1B1C1，并直接写出点A1的坐标；
（2）△ABC绕原点O逆时针方向旋转90°得到△A2B2O，按要求作出图形；
（3）如果△A2B2O，通过旋转可以得到△A1B1C1，请直接写出旋转中心P的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
点A1的坐标为（4，4）．
（2）如图，△A2B2O即为所求．
（3）如图，连接A1A2，B1B2，作A1A2与B1B2的垂直平分线，相交于点P，则点P即为△A2B2O与△A1B1C1的旋转中心，
∴旋转中心P的坐标为（3，﹣2）．
五、（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
19．（10分）如图，将矩形ABCD绕点B旋转得到矩形BEFG，点E在AD上，延长DA交GF于点H．
（1）求证：△ABE≌△FEH；
（2）连接BH，若∠EBC＝30°，求∠ABH的度数．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC，∠BAE＝∠D＝90°，
由旋转性质，得：FE＝DC，∠EFH＝∠D＝90°，
∴AB＝FE，∠BAE＝∠EFH，
在矩形BEFG中，GF∥BE，
∴∠AEB＝∠FHE，
在△ABE和△FEH中，
，
∴△ABE≌△FEH（AAS），
（2）解：∵四边形是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠HEB＝∠EBC＝30°，
∵△ABE≅△FEH，
∴BE＝EH，
∴∠EHB＝∠EBH＝（180°﹣30°）＝75°，
∵∠BAH＝90°，
∴∠ABH＝90°﹣∠EHB＝15°，即∠ABH的度数为15°．
20．（10分）掷实心球是中学生体育考试的必考项目．如图1是一名女生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为3m时，实心球行进至最高点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【解答】解：（1）设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3．
把（0，）代入解析式，得2+3，
解得a＝﹣．
∴y关于x的函数表达式为y＝﹣（x﹣3）2+3．
（2）该女生在此项考试中是得满分．
理由：令y＝0，即，
解得x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）．
∴该女生投掷实心球从起点到落地点的水平距离为7.5m，大于6.70m．
∴该女生在此项考试中是得满分．
六、（本题满分12分）
21．（12分）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）求该品牌头盔销售量的月增长率；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？
【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，
依题意，得：150（1+x）2＝216，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%．
（2）设该品牌头盔的实际售价为y元，
依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000，
整理，得：y2﹣130y+4000＝0，
解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50，
答：该品牌头盔的实际售价应定为50元．
七、（本题满分12分）
22．（12分）阅读下面材料，并解决问题：
（1）如图①等边△ABC内有一点P，若点P到顶点A、B、C的距离分别为3，4，5，求∠APB的度数．
为了解决本题，我们可以将△ABP绕顶点A旋转到△ACP′处，此时△ACP′≌△ABP，这样就可以利用旋转变换，将三条线段PA、PB、PC转化到一个三角形中，从而求出∠APB＝ 150° ；
（2）基本运用
请你利用第（1）题的解答思想方法，解答下面问题
已知如图②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F为BC上的点且∠EAF＝45°，求证：EF2＝BE2+FC2；
（3）能力提升
如图③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，点O为Rt△ABC内一点，连接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．
【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，
∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，
由题意知旋转角∠PA P′＝60°，
∴△AP P′为等边三角形，
P P′＝AP＝3，∠A P′P＝60°，
易证△P P′C为直角三角形，且∠P P′C＝90°，
∴∠APB＝∠AP′C＝∠A P′P+∠P P′C＝60°+90°＝150°；
故答案为：150°；
（2）如图2，把△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△ACE′，
由旋转的性质得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，
∵∠EAF＝45°，
∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，
∴∠EAF＝∠E′AF，
在△EAF和△E′AF中，
∴△EAF≌△E′AF（SAS），
∴E′F＝EF，
∵∠CAB＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝45°，
∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，
由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，
即EF2＝BE2+FC2．
（3）如图3，将△AOB绕点B顺时针旋转60°至△A′O′B处，连接OO′，
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2，
∴BC＝，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，
∴△A′O′B如图所示；
∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，
∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，
∴AB＝2AC＝2，
∵△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B，
∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，
∴△BOO′是等边三角形，
∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，
∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，
∴∠COB+∠BOO′＝∠BO′A′+∠BOO′＝120°+60°＝180°，
∴C、O、A′、O′四点共线，
在Rt△A′BC中，A′C＝，
∴OA+OB+OC＝A′O′+OO′+OC＝A′C＝．
八、（本题满分14分）
23．（14分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝﹣x﹣1与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D（5，﹣6），已知P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；
（3）设M为直线l上的动点，以NC为一边且顶点为N，C，M，P的四边形是平行四边形，求所有符合条件的M点坐标．
【解答】解：（1）∵直线l：y＝﹣x﹣1过点A，
∴A（﹣1，0），
又∵D（5，﹣6），
将点A，D的坐标代入抛物线表达式可得：，
解得．
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+3x+4．
（2）如图，
设点P（x，﹣x2+3x+4），
∵PE∥x轴，PF∥y轴，
则E（x2﹣3x﹣5，﹣x2+3x+4），F（x，﹣x﹣1），
∵点P在直线l上方的抛物线上，
∴﹣1＜x＜5，
∴PE＝|x﹣（x2﹣3x﹣5）|＝﹣x2+4x+5，PF＝|﹣x2+3x+4﹣（﹣x﹣1）|＝﹣x2+4x+5，
∴PE+PF＝2（﹣x2+4x+5）＝﹣2（x﹣2）2+18．
∵﹣1＜x＜5，
∴当x＝2时，PE+PF取得最大值，最大值为18．
（3）由（1）可求NC＝5，
∵NC是所求平行四边形的一边，
∴NC∥PM，设点p（t，﹣t2+3t+4），则M（t，﹣t﹣1），
由题意知：|yP﹣yM|＝5，即|﹣t2+3t+4+t+1|＝5．
化简得：t2﹣4t＝0或t2﹣4t﹣10＝0，
解得：t1＝0（舍去），t2＝4，，．
则符合条件的M点有三个：，．
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…
x
…
﹣3
﹣2
﹣1
0
1
…
y
…
﹣11
﹣5
﹣1
1
1
…