广西贵港市覃塘区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份广西贵港市覃塘区2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
2．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，则它的二次项系数为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
3．（3分）已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
5．（3分）若两个直角三角形都有一个30°的内角，则这两个直角三角形一定（ ）
A．全等B．相似C．位似D．无法确定
6．（3分）将一元二次方程x2+4x﹣5＝0进行形式转化，结果错误的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝9
C．（x﹣1）（x+5）＝0D．x（x+4）＝5
7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
8．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似
B．所有的正方形都相似
C．两个矩形一定不相似
D．两个菱形不一定相似
9．（3分）当温度不变时，某气球内的气压P（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压P＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）
A．不大于m2B．大于m2
C．不小于m2D．小于m2
10．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．DE∥BCC．D．
11．（3分）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+bx＝m2（b＞0，m＞0）的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝m，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正实数根等于（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）若反比例函数y＝的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则常数k的取值范围是 ．
14．（2分）已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 ．
15．（2分）若x＝3是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一个实数根，则该方程的另一个实数根是 ．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为A（4，3），B（3，0），以O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比是﹣的位似图形△OCD，则点C的坐标是 ．
17．（2分）我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长和宽共60步，问它的长比宽多多少步？若设该矩形田地的长为x步，则可列方程为 ．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴，x轴上，且AB⊥BC，AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段AC的中点D，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+4x﹣5＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8．
20．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4）．
（1）在网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2是△ABC的位似图，且位似中心为点C，位似比值为2；
（3）写出B1，B2两点的坐标．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0其中a，b，c分别是△ABC三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，请求出该方程的实数根．
22．（8分）在一次测量物体高度的实践活动中，小亮利用平面镜设计测量教学楼MN高度的一个方案：如图，在距离教学楼底端N处20米的点A处放置一个平面镜，再沿NA方向走到点C处，此时正好能从镜子中看到教学楼顶端M，然后测量AC＝1.6米，眼睛离地面的高度BC＝1.4米，平面镜的厚度忽略不计．
（1）请你利用小亮的方案求出教学楼MN的高度；
（2）除了利用镜子，还可以如何测量？请画出测量草图并简述你的测量方法．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，矩形DEFG的顶点D，E在边AB上，顶点G，F分别在边AC，BC上．
（1）求证：；
（2）若AD＝GD，求△ADG与△FEB面积的比值．
24．（10分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，点C的坐标为（4，6），△OAB∽△COD，且相似比为1：2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交OC于点E．
（1）求k的值；
（2）求点E的坐标．
26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AD上，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在对角线BD上的点M处，延长EM交BC于点F，连接AM．
（1）判断：AM与BE的位置关系为 ；
（2）求证：△AMB∽△BEF；
（3）若EF∥CD，AB＝3，AD＝4，求线段BC的长．
2023-2024学年广西贵港市覃塘区九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出标号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.）
1．（3分）若反比例函数y＝的图象经过点（2，﹣1），则k的值为（ ）
A．﹣2B．2C．﹣D．
【解答】解：把点（2，﹣1）代入解析式得﹣1＝，
解得k＝﹣2．
故选：A．
2．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x+1＝0，则它的二次项系数为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【解答】解：一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项系数为1．
故选：A．
3．（3分）已知四个数2，﹣3，4，x成比例，则x的值是（ ）
A．6B．﹣6C．D．﹣
【解答】解：由题意得，2：（﹣3）＝4：x，
∴2x＝﹣12，
∴x＝﹣6．
故选：B．
4．（3分）一元二次方程2x2﹣3x+1＝0根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根
D．没有实数根
【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
5．（3分）若两个直角三角形都有一个30°的内角，则这两个直角三角形一定（ ）
A．全等B．相似C．位似D．无法确定
【解答】解：如果两个直角三角形都有一个30°的内角，那么这两个三角形有两角对应相等，
所以这两个三角形相似，
因为没有给出对应边的关系，所以两个三角形不一定全等，
故选：B．
6．（3分）将一元二次方程x2+4x﹣5＝0进行形式转化，结果错误的是（ ）
A．（x+2）2＝1B．（x+2）2＝9
C．（x﹣1）（x+5）＝0D．x（x+4）＝5
【解答】解：x2+4x﹣5＝0，则x2+4x＝5，
配方得：x2+4x+4＝5+4，即（x+2）2＝9，
x2+4x＝5提取公因式得：x（x+4）＝5，
方程x2+4x﹣5＝0，
因式分解得：（x﹣1）（x+5）＝0，
故A的结果错误，符合题意．
故选：A．
7．（3分）已知点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＜y2＜y3B．y2＜y3＜y1C．y1＜y3＜y2D．y3＜y1＜y2
【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2）和C（2，y3）都在反比例函数y＝﹣的图象上，
∴y1＝﹣＝1，y2＝﹣＝2，y3＝﹣＝﹣1，
∴y3＜y1＜y2，
故选：D．
8．（3分）下列说法错误的是（ ）
A．所有的等边三角形都相似
B．所有的正方形都相似
C．两个矩形一定不相似
D．两个菱形不一定相似
【解答】解：A、所有的等边三角形都相似，故不符合题意；
B、所有的正方形都相似，故不符合题意；
C、两个矩形不一定相似，故符合题意；
D、两个菱形不一定相似，故不符合题意；
故选：C．
9．（3分）当温度不变时，某气球内的气压P（kPa）与气体体积V（m2）成反比例函数关系（其图象如图所示），已知当气球内的气压P＞120kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球内气体体积V应满足的条件是（ ）
A．不大于m2B．大于m2
C．不小于m2D．小于m2
【解答】解：设球内气体的气压p（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为p＝，
∵图象过点（1.6，60），
∴60＝，
∴k＝96，
由已知得p＝图象在第一象限内，
∴p随V的增大而减小，
∴当p≤120时，V≥，
∴V≥，即不小于m3，
故选：C．
10．（3分）如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的动点（与点A，B，C均不重合），添加下列一个条件，不能判定△ABC与△ADE相似的是（ ）
A．∠AED＝∠BB．DE∥BCC．D．
【解答】解：A、由两角对应相等的两三角形相似，判定△ABC与△ADE相似，故A不符合题意；
B、由DE∥BC，判定△ABC与△ADE相似，故B不符合题意；
C、两三角形两边对应成比例，但夹角∠ADE和∠B不一定相等，不能判定△ABC与△ADE相似，故C符合题意；
D、由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，判定△ABC与△ADE相似，故D不符合题意；
故选：C．
11．（3分）古希腊数学家丢番图在《算术》中提到了一元二次方程的问题，欧几里得的《原本》中记载了形如x2+bx＝m2（b＞0，m＞0）的方程的图解法是：如图，画Rt△ABC，使∠ACB＝90°，BC＝，AC＝m，再在斜边AB上截取BD＝，则该方程的一个正实数根等于（ ）
A．AD的长B．AC的长C．BC的长D．CD的长
【解答】解：∵∠ACB＝90°，BC＝，AC＝m，
∴AB＝＝＝，
∴AD＝AB﹣BD＝﹣＝，
x2+bx＝m2（b＞0，m＞0）用求根公式求得：x＝，
∴x1＝，x2＝，
∴AD的长就是方程的正根，
故选：A．
12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝12，点D在边BC上，点E在线段AD上，EF⊥AC于点F，EG⊥EF交AB于点G．若EF＝EG，则CD的长为（ ）
A．3.6B．4C．4.8D．5
【解答】解：作DH∥EG交AB于点H，则△AEG∽△ADH，
∴，
∵EF⊥AC，∠C＝90°，
∴∠EFA＝∠C＝90°，
∴EF∥CD，
∴△AEF∽△ADC，
∴，
∴，
∵EG＝EF，
∴DH＝CD，
设DH＝x，则CD＝x，
∵BC＝12，AC＝6，
∴BD＝12﹣x，
∵EF⊥AC，EF⊥EG，DH∥EG，
∴EG∥AC∥DH，
∴△BDH∽△BCA，
∴，
即，
解得，x＝4，
∴CD＝4，
故选：B．
二、填空题：（本大题共6小题，每小题2分，共12分）
13．（2分）若反比例函数y＝的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则常数k的取值范围是 k＜0 ．
【解答】解：∵反比例函数y＝的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，
∴k＜0．
故答案为：k＜0．
14．（2分）已知△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，△ABC的周长为24，则△DEF的周长为 16 ．
【解答】解：∵△ABC与△DEF相似且对应中线的比为3：2，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝3：2，
∵△ABC的周长为24，
∴24：△DEF的周长＝3：2，
∴△DEF的周长＝16，
故答案为：16．
15．（2分）若x＝3是一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的一个实数根，则该方程的另一个实数根是 ﹣2 ．
【解答】解：∵一元二次方程x2﹣mx﹣6＝0的两根之积为﹣6，一个根是3，
∴另一个根是﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，△OAB的顶点为A（4，3），B（3，0），以O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比是﹣的位似图形△OCD，则点C的坐标是 （﹣，﹣1） ．
【解答】解：∵△OAB与△OCD是位似图形，位似比为﹣，点A的坐标为（4，3），
∴点C的坐标为（4×（﹣），3×（﹣）），即（﹣，﹣1），
故答案为：（﹣，﹣1）．
17．（2分）我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”其意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长和宽共60步，问它的长比宽多多少步？若设该矩形田地的长为x步，则可列方程为 x（60﹣x）＝864 ．
【解答】解：∵设该矩形田地的长为x步，则宽为（60﹣x）步，
依题意得：x（60﹣x）＝864．
故答案为：x（60﹣x）＝864．
18．（2分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B分别在y轴，x轴上，且AB⊥BC，AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，若反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段AC的中点D，则k的值为 5 ．
【解答】解：作CE⊥x轴于E
∵AC∥x轴，OA＝2，OB＝1，
∴OA＝CE＝2，
∵∠ABO+∠CBE＝90°＝∠OAB+∠ABO，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵∠AOB＝∠BEC，
∴△AOB∽△BEC，
∴，即＝，
∴BE＝4，
∴OE＝5，
∵点D是AC的中点，
∴D（，2）．
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过线段AC的中点D，
∴k＝×2＝5．
故答案为：5．
三、解答题（本大题共8小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．（8分）用适当的方法解下列方程：
（1）2x2+4x﹣5＝0；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8．
【解答】解：（1）2x2+4x﹣5＝0，
x2+2x＝，
x2+2x+1＝+1，即（x+1）2＝，
∴x+1＝±，
∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣；
（2）（x+1）（x﹣1）+2（x+3）＝8，
x2+2x﹣3＝0，
（x+3）（x﹣1）＝0，
∴x+3＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝1．
20．（8分）如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3），B（3，﹣2），C（2，﹣4）．
（1）在网格中画出△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于x轴对称；
（2）在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2是△ABC的位似图，且位似中心为点C，位似比值为2；
（3）写出B1，B2两点的坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由图可得，B1（3，2），B2（4，0）．
21．（8分）已知关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+a﹣c＝0其中a，b，c分别是△ABC三边的长．
（1）若该方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）若△ABC是等边三角形，请求出该方程的实数根．
【解答】解：（1）△ABC为直角三角形．
理由如下：
根据题意得Δ＝4b2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，
∴b2+c2＝a2，
∴△ABC为直角三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为2x2+2x＝0，
2x（x+1）＝0，
2x＝0或x+1＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣1．
22．（8分）在一次测量物体高度的实践活动中，小亮利用平面镜设计测量教学楼MN高度的一个方案：如图，在距离教学楼底端N处20米的点A处放置一个平面镜，再沿NA方向走到点C处，此时正好能从镜子中看到教学楼顶端M，然后测量AC＝1.6米，眼睛离地面的高度BC＝1.4米，平面镜的厚度忽略不计．
（1）请你利用小亮的方案求出教学楼MN的高度；
（2）除了利用镜子，还可以如何测量？请画出测量草图并简述你的测量方法．
【解答】解：（1）∵BC⊥CA，MN⊥AN，
∴∠C＝∠N＝90°，
∵∠BAC＝∠MAN，
∴△BCA∽△MNA．
∴，
即，
∴MN＝17.5（米），
答：楼房MN的高度为17.5米；
（2）如图：
利用测量工具：皮尺，高为1.5米的测角仪（能测量仰角和俯角的仪器）进行测量，
测量可得：AN（测量仪离楼房的距离）＝a米，∠MBE＝x°．
在Rt△MBE中，由∠MBE的正切，求得ME的长，又由MN＝1.5+ME即可求得楼房MN的高度．
23．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，矩形DEFG的顶点D，E在边AB上，顶点G，F分别在边AC，BC上．
（1）求证：；
（2）若AD＝GD，求△ADG与△FEB面积的比值．
【解答】（1）证明：在矩形DEFG中，∠GDE＝∠FED＝90°，
∴∠GDA＝∠FEB＝90°，
∵∠C＝∠GDA＝90°，
∴∠A+∠AGD＝∠A+∠B＝90°，
∴∠AGD＝∠B，
在△ADG和△FEB中，
∵∠AGD＝∠B，∠GDA＝∠FEB＝90°，
∴△ADG∽△FEB，
∴＝；
（2）解：∵四边形DEFG为矩形，
∴GD＝EF，
∵△ADG∽△FEB，
∴＝（）2＝（）2＝．
故答案为：9：4．
24．（10分）为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2015年该市投入基础教育经费5000万元，2017年投入基础教育经费7200万元．
（1）求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
（2）如果按（1）中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2018年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？
【解答】解：（1）设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，
根据题意得：5000（1+x）2＝7200，
解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（舍去）．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%．
（2）2018年投入基础教育经费为7200×（1+20%）＝8640（万元），
设购买电脑m台，则购买实物投影仪（1500﹣m）台，
根据题意得：3500m+2000（1500﹣m）≤86400000×5%，
解得：m≤880．
答：2018年最多可购买电脑880台．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，点C的坐标为（4，6），△OAB∽△COD，且相似比为1：2，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，交OC于点E．
（1）求k的值；
（2）求点E的坐标．
【解答】解：（1）∵点C的坐标为（4，6），AB⊥x轴于点B，CD⊥x轴于点D，
∴OD＝4，CD＝6，
∵△OAB∽△COD，
∴＝，
∴AB＝＝2，OB＝CD＝3，
∴A（3，2），
∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A，
∴k＝3×2＝6；
（2）设直线OC的解析式为y＝mx，
∵点C的坐标为（4，6），
∴6＝4m，
∴m＝，
∴直线OC的解析式为y＝x，
设E（a，b），
∵反比例函数y＝的图象经过点A，交OC于点E，
∴，
解得或（不合题意舍去），
∴E（2，3）．
26．（10分）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，点E在AD上，将△ABE沿直线BE折叠，点A落在对角线BD上的点M处，延长EM交BC于点F，连接AM．
（1）判断：AM与BE的位置关系为 AM⊥BE ；
（2）求证：△AMB∽△BEF；
（3）若EF∥CD，AB＝3，AD＝4，求线段BC的长．
【解答】（1）解：AM⊥BE，理由如下：
由折叠可知：AE＝ME，AB＝MB，
∴BE是AM的垂直平分线，
∴AM⊥BE，
故答案为：AM⊥BE；
（2）证明：∵AD∥BC，
∴∠ABC＝∠BAC＝90°，∠AEB＝∠EBF，
由折叠可知：△EAB≌△EMB，∠AEB＝∠BEG，
∴∠EBF＝∠BEF，
∴FE＝FB，
∴△FEB为等腰三角形，
∵∠ABM+∠MBF＝90°，∠MBF+∠EFB＝90°，
∴∠ABM＝∠EFB．
在等腰△ABM和△FEB中，∠BAM＝（180°﹣∠ABM）÷2，∠FBE＝（180°﹣∠EFB）÷2，
∴∠BAM＝∠FBE，
∴△ABM∽△BFE；
（3）解：如图，过点D作DH⊥BC，得矩形ADHB，
∴DH＝AB＝3，BH＝AD＝4，
∵EF∥DC，
∴∠C＝∠EFB，
由（2）知：△ABM∽△BFE，
∴∠EFB＝∠MBA，
∴∠C＝∠ABM，
∵∠DAB＝∠DHC＝90°，
∴△ABD∽△HCD，
∴＝，
∵DH＝AB＝3，BH＝AD＝4，
∴＝，
∴BC＝．