高中数学人教A版 (2019)必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.3 平面向量基本定理及坐标表示当堂达标检测题

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知识精讲
知识点01 平面向量数量积的坐标表示
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.
则a·b＝x1x2＋y1y2.
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝ 或|a|＝eq \r(x2＋y2).
若表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则a＝(x2－x1，y2－y1)，|a|＝eq \r(x2－x12＋y2－y12).
(2)a⊥b⇔ .
(3)cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1)) \r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2))).
【即学即练1】 已知a＝(2，－1)，b＝(1，－1)，则(a＋2b)·(a－3b)等于( )
A．10 B．－10 C．3 D．－3
能力拓展
考法01 数量积的坐标运算
【典例1】 已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，点F在AD上，eq \(AF,\s\up6(→))＝2eq \(FD,\s\up6(→))，则eq \(BE,\s\up6(→))·eq \(CF,\s\up6(→))＝________.
反思感悟 进行数量积运算时，要正确使用公式a·b＝x1x2＋y1y2，并能灵活运用以下几个关系
(1)|a|2＝a·a.
(2)(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2.
(3)(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2.
【变式训练】已知a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)，若(8a－b)·c＝30，则x等于( )
A．6 B．5 C．4 D．3
考法02 平面向量的模
【典例2】已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5eq \r(2)，则|b|等于( )
A.eq \r(5) B.eq \r(10) C．5 D．25
反思感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法
(1)求模问题一般转化为求模的平方，即a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方．
(2)a·a＝a2＝|a|2或|a|＝eq \r(a2)＝eq \r(x2＋y2)，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．
【变式训练】已知向量a＝(cs θ，sin θ)，向量b＝(eq \r(3)，0)，则|2a－b|的最大值为________．
考法03 平面向量的夹角、垂直问题
【典例3】已知向量a＝(1，eq \r(3))，b＝(3，m)．若向量a，b的夹角为eq \f(π,6)，则实数m等于( )
A．2eq \r(3) B.eq \r(3)
C．0 D．－eq \r(3)
反思感悟
解决向量夹角问题的方法及注意事项
(1)求解方法：由cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(x1x2＋y1y2,\r(x\\al(2,1)＋y\\al(2,1))\r(x\\al(2,2)＋y\\al(2,2)))直接求出cs θ.
(2)注意事项：利用三角函数值cs θ求θ的值时，应注意角θ的取值范围是0°≤θ≤180°.利用cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)判断θ的值时，要注意cs θ<0时，有两种情况：一是θ是钝角，二是θ为180°；cs θ>0时，也有两种情况：一是θ是锐角，二是θ为0°.
【变式训练】已知a＝(4,3)，b＝(－1,2)．
(1)求a与b夹角的余弦值；
(2)若(a－λb)⊥(2a＋b)，求实数λ的值．
分层提分
题组A 基础过关练
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，如果向量 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则实数m的值是（ ）
A．3或 SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 或1C．3或1D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
4．若向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直，则实数 SKIPIF 1 < 0 _______．
5．已知 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的数量投影为_______．
6．将函数 SKIPIF 1 < 0 的图像和直线 SKIPIF 1 < 0 的所有交点从左到右依次记为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，…， SKIPIF 1 < 0 ，若点P坐标为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________．
7．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________.
8．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
9．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角为______.
10．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ______．
11．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求x的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为负实数），求x， SKIPIF 1 < 0 的值.
12．已知平面向量 SKIPIF 1 < 0 ．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求满足 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求m的值．
题组B 能力提升练
1．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A．0B． SKIPIF 1 < 0 C．2D．8
2．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
3．（多选）下列说法中正确的有（ ）
A．已知 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ；
B．已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 夹角为锐角，则 SKIPIF 1 < 0 的取值范围是 SKIPIF 1 < 0 ；
C．若非零向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角是 SKIPIF 1 < 0 .
D．在 SKIPIF 1 < 0 中，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为锐角；
4．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在弧 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在弧 SKIPIF 1 < 0 上运动（包括端点），则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D． SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
5．在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 外接圆上任意一点，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为___________.
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则实数 SKIPIF 1 < 0 的值为__________.
7．在△ABC中，角A，B，C所对的分别为a，b，c，向量 SKIPIF 1 < 0 ，向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为______
8．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 __________， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量的坐标为__________.
9．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求x的值；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
10．平面内向量 SKIPIF 1 < 0 （其中O为坐标原点），点P是直线OC上的一个动点．
(1)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的坐标．
(2)已知BC中点为D，当 SKIPIF 1 < 0 取最小值时，若AD与CP相交于点M，求 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值．
题组C 培优拔尖练
1．已知圆 SKIPIF 1 < 0 的半径为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为圆 SKIPIF 1 < 0 上四点，且 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最大值为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
2．（多选）有下列说法，其中正确的说法为（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 为实数，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 共线
B．若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0
C．两个非零向量 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 垂直
D．若 SKIPIF 1 < 0 分别表示 SKIPIF 1 < 0 的面积，则 SKIPIF 1 < 0
3．（多选）折扇又名“纸扇”是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子.如图1，其平面图是如图2的扇形 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点F在弧 SKIPIF 1 < 0 上，且 SKIPIF 1 < 0 ，点E在弧 SKIPIF 1 < 0 上运动.则下列结论正确的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 方向上的投影向量为 SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 的最小值是-3
4．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的值为___________.
5．已知向量 SKIPIF 1 < 0 满足 SKIPIF 1 < 0 ，则下列四个命题中，所有正确命题的序号是___________.
①若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
②若 SKIPIF 1 < 0 ，则存在唯一的 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 ；
③若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ；
④若 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .
6．已知向量 SKIPIF 1 < 0 ，求：
(1) SKIPIF 1 < 0 ；
(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 .
7．已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ）.
(1)求 SKIPIF 1 < 0 关于 SKIPIF 1 < 0 的表达式，并求 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期；
(2)若当 SKIPIF 1 < 0 时，求 SKIPIF 1 < 0 的单调递增区间；
(3)若当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 的最小值为7，求 SKIPIF 1 < 0 的值.
课程标准
课标解读
掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算.
2.能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．
1、通过阅读课本，和前面平面向量坐标表示的基础上，掌握平面向量数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算
2、截止当前，我们已经学习了两个数量积的公式，在学习过程中能根据实际情况，能够用两个向量的坐标来解决与向量的模、夹角、垂直有关的问题．