北京市历年中考数学试卷压轴题

这是一份北京市历年中考数学试卷压轴题，共10页。

27．
在△ABC中、∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；
（2）如图2，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．
28．
在平面直角坐标系x0y中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．
（1）如图，点A(－1，0)，B1(－，)，B2(，－)．
①在点C1(－1，1)，C2(－，0)，C3(0，)中，弦AB1的“关联点”是______；
②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长．
（2）己知点M(0，3)，N(，0)．对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t的取值范围．
2022年北京市中考数学试卷压轴题
26．
在平面直角坐标系xOy中，点(1，m)，(3，n)在抛物线y＝ax2＋bx＋c)(a＞0)上，设抛物线的对称轴为x＝t．
（1）当c＝2，m＝n时，求抛物线与y轴交点的坐标及t的值；
（2）点(x0，m)(x0≠1)在抛物线上，若m＜n＜c，求t的取值范围及x0的取值范围．
27．
在△ABC中，∠ACB＝90°，D为△ABC内一点，连接BD，DC，延长DC到点E，使得CE＝DC．
（1）如图1，延长BC到点F，使得CF＝BC，连接AF，EF，若AF⊥EF，求证：BD⊥AF；
（2）连接AE，交BD的延长线于点H，连接CH，依题意补全图2，若AB2＝AE2＋BD2，用等式表示线段CD与CH的数量关系，并证明．
2021年北京市中考数学试卷压轴题
27．(7分）
如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α，M为BC的中点，点D在MC上，以点A为中心，将线段AD顺时针旋转α得到线段AE，连接BE，DE．
（1）比较∠BAE与∠CAD的大小；用等式表示线段BE，BM，MD之间的数量关系，并证明；
（2）过点M作AB的垂线，交DE于点N，用等式表示线段NE与ND的数量关系，并证明．
28．（7分）
在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1，对于点A和线段BC，给出如下定义：若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B′C′(B′，C′分别是B，C的对应点)，则称线段BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”．
（1）如图，点A，B1，C1，B2，C2，B3，C3的横、纵坐标都是整数．在线段B1C1，B2C2，B3C3中，⊙O的以点A为中心的“关联线段”是______；
（2）△ABC是边长为1的等边三角形，点A(0，t)，其中t≠0．若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，求t的值；
（3）在△ABC中，AB＝1，AC＝2，若BC是⊙O的以点A为中心的“关联线段”，直接写出OA的最小值和最大值，以及相应的BC长．
2020年北京市中考数学试卷压轴题
27．
在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D是AB的中点．E为直线上AC一动点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交直线BC于点F，连接EF．
（1）如图1，当E是线段AC的中点时，设AE＝a，BF＝b，求EF的长（用含a，b的式子表示）；
（2）当点E在线段CA的延长线上时，依题意补全图2，用等式表示线段AE，EF，BF之间的数量关系，并证明．
28．
在平面直角坐标系xOy中，⊙O半径为1，A，B为⊙O外两点，AB＝1．给出如下定义：平移线段AB，得到⊙O的弦（A′，B′分别为点A，B的对应点），线段AA′长度的最小值称为线段AB到⊙O的“平移距离”．
（1）如图，平移线段AB到⊙O的长度为1的弦P1P2和P3P4，则这两条弦的位置关系是______；在点P1，P2，P3，P4中，连接点A与点______的线段的长度等于线段AB到⊙O的“平移距离”；
（2）若点A，B都在直线y＝x＋2上，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d1，求d1的最小值；
（3）若点A的坐标为(2，)，记线段AB到⊙O的“平移距离”为d2，直接写出d2的取值范围．
2019年北京市中考数学试卷压轴题
27.(7分）
己知∠AOB＝30°，H为射线OA上一定点，OH＝＋1，P为射线OB上一点，M为线段OH上一动点，连接PM，满足∠OMP为钝角，以点P为中心，将线段PM顺时针旋转150°，得到线段PN，连接ON．
（1）依题意补全图1；
（2）求证：∠OMP＝∠OPN；
（3）点M关于点H的对称点为Q，连接QP．写出一个OP的值，使得对于任意的点M总有ON＝QP，并证明．
28.(7分）
在△ABC中，D，E分别是△ABC两边的中点，如果上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称为△ABC的中内弧．例如，图1中是△ABC的一条中内弧．
（1）如图2，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，D，E分别是AB，AC的中点，画出△ABC的最长的中内弧，并直接写出此时的长；
（2）在平面直角坐标系中，已知点A（0，2)，B(0，0)，C(4t，0)(t＞0)，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点．
①若t＝，求△ABC的中内弧所在圆的圆心P的纵坐标的取值范围；
②若在△ABC中存在一条中内弧，使得所在圆的圆心Р在△ABC的内部或边上，直接写出t的取值范围．
2018年北京市中考数学试卷压轴题
27．（7分）
如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A，B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．
（1）求证：GF＝GC；
（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．
28．（7分）
对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N)．
已知点（－2，6），（－2，－2），（6，－2）．
（1）求d(点O，△ABC)；
（2）记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G，若d(点G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；
（3）⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1，若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围．
2017年北京市中考数学试卷压轴题
28．（7分）
在等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ＝CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．
（1）若∠PAC＝α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）；
（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．
29．（8分）
在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．
（1）当⊙O的半径为2时，
①在点P1(，0)，P2(，)，P3(，0)中，⊙O的关联点是______．
②点P在直线y＝－x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y＝－x＋1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．
2016年北京市中考数学试卷压轴题
28．（7分）
在等边△ABC中，
（1）如图1，P，Q是BC边上两点，AP＝AQ，∠BAP＝20°，求∠AQB的度数；
（2）点P，Q是BC边上的两个动点（不与点B，C重合），点P在点Q的左侧，且AP＝AQ，点Q关于直线AC的的对称点为M，连接AM，PM．
①依题意将图2补全；
②小茹通过观察、实验提出猜想：在点P、Q运动的过程中，始终有PA＝PM．小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：要证明PA＝PM，只需证△APM是等边三角形；
想法2：在BA上取一点N，使得BN＝BP，要证PA＝PM，只需证△ANP≌△PCM；
想法3：将线段BP绕点B顺时针旋转60°，得到线段BK，要证PA＝PM，只需证PA＝CK，PM＝CK……．
请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA＝PM（一种方法即可）．
29．（8分）
在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“相关矩形”，下图为点P，Q的“相关矩形”的示意图．
（1）已知点A的坐标为（1，0），
①若点B的坐标为（3，1）求点A，B的“相关矩形”的面积；
②点C在直线x＝3上，若点A，C的“相关矩形”为正方形，求直线AC的表达式；
（2）⊙O的半径为，点M的坐标为（m，3）．若在⊙O上存在一点N，使得点M，N的“相关矩形”为正方形，求m的取值范围．
2015年北京市中考数学试卷压轴题
28．（7分）
在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上（与点C、D不重合），连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于H，连接AH，PH．
（1）若点P在线段CD上，如图1．
①依题意补全图1；
②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明；
（2）若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．（可以不写出计算结果）

图1 备用图
29．（8分）
在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的反称点的定义如下：若在射线CP上存在一点P′，满足CP＋CP′＝2r，则称P′为点P关于⊙C的反称点，如图为点P及其关于⊙C的反称点P′的示意图．特别地，当点P′与圆心C重合时，规定CP′＝0．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（2，1），N（，0），T（1，）关于⊙O的反称点是否存在？若存在，求其坐标；
②点P在直线y＝－x＋2上，若点P关于⊙O的反称点P′存在，且点P′不在x轴上，求点P的横坐标的取值范围；
（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为1，直线y＝－x＋2与x轴、y轴分别交于点A，B，若线段AB上存在点P，使得点P关于⊙C的反称点P′在⊙C的内部，求圆心C的横坐标的取值范围．
2014年北京市中考数学试卷压轴题
24．（7分）
在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图1；
（2）若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．
25．（8分）
对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足－M＜y≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，如图中的函数是有界函数，其边界值是1．
（1）分别判断函数y＝（x＞0）和y＝x＋1（－4≤x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，求其边界值；
（2）若函数y＝－x＋1（a≤x≤b，b＞a）的边界值是2，且这个函数的最大值也是2，求b的取值范围；
（3）将函数y＝x2（－1≤x≤m，m≥0）的图象向下平移m个单位，得到的函数的边界值是t，当m在什么范围时，满足≤t≤1？
2013年北京市中考数学试卷压轴题
24．
在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．
（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；
（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；
（3）在（2）的条件下，连结DE，若∠DEC＝45°，求α的值．
25．
对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下定义：若⊙C上存在两个点A，B，使得∠APB＝60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，－2），F（2，0）
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点D，E，F中，⊙O的关联点是______；
②过点F作直线交轴正半轴于点G，使∠GFO＝30°，若直线上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；
（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．
2012年北京市中考数学试卷压轴题
24．
在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ．
（1）若α＝60°且点P与点M重合（如图1），线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；
（2）在图2中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB的大小（用含α的代数式表示），并加以证明；
（3）对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置（不与点B，M重合）时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝QD，请直接写出α的范围．

25．
在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：
若|x1－x2|≥|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1－x2|；
若|x1－x2|＜|y1－y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1－y2|．
例如：点P1(1，2)，点P2(3，5)，因为|1－3|＜|2－5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2－5|＝3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．
（1）已知点A(－，0)，B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；
②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；
（2）已知C是直线y＝x＋3上的一个动点，
①如图2，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”的最小值及相应的点C的坐标；
②如图3，E是以原点O为圆心，1为半径的圆上的一个动点，求点C与点E的“非常距离”的最小值及相应的点E和点C的坐标．