2024亳州蒙城县五校高三上学期期中联考试题数学含解析

这是一份2024亳州蒙城县五校高三上学期期中联考试题数学含解析，共26页。试卷主要包含了答题前，考生务必用直径0， 在中，，，与交于点，且，则， 设，，，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合， ，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A. 1B. 2C. D.
3. 下列说法不正确是（ ）
A. ，使成立
B. “，有”的否定为“，使”
C. ，有成立
D. “，使”的否定为“，有”
4. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）
A. ，，，，
B. ，，，，
C. ，，，，
D. ，，，，
5. 已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
6. 在中，，，与交于点，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数图像的对称中心为，
C. 该函数的增区间是，
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
10. 十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，函数，则方程解的个数可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
12. 已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 的周期为4
B. 的图象关于直线对称
C.
D
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13 ___________.
14. 已知，，则在方向上投影向量的坐标为__________.
15. 已知函数，则不等式的解集为__________.
16. 已知等腰直角三角形的斜边，且的内切圆圆心为，则其半径__________；若点在以为圆心，1为半径的圆上，则与的面积之比的最大值为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
（2）在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
18. 已知向量，，其中，，且函数的对称轴间的距离最小值为.
（1）求的解析式；
（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
19. 低碳环保新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的部分数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度为，求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
21. 在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.
你选择的条件是__________.
（1）求角；
（2）若为边上一点，且，.当的面积取到最大值时，求角.
注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.
22 已知函数.
（1）证明：时，；
（2）当时，证明：不等式对恒成立.
2023~2024学年高三上学期期中联考
数学试题
考生注意：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合， ，则（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用集合的基本运算求解即可.
【详解】，即，
，即，
所以.
故选：D.
2. 已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A. 1B. 2C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先根据复数的乘方及复数的除法运算求出复数，再根据共轭复数的定义及复数的模的计算公式即可得解.
【详解】因为，
则，即为，
所以，
则.
故选：A.
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. ，使成立
B. “，有”的否定为“，使”
C. ，有成立
D. “，使”的否定为“，有”
【答案】B
【解析】
【分析】根据全称量词命题和特称量词命题的否定的概念以及其真假的判断方法一一判断.
【详解】对于，当成立，A正确；
对于，“，有”的否定为“，使”，B错误；
对于C,，有成立，C正确；
对于D，“，使”的否定为“，有”，D正确
故选:B.
4. 如图，为了测量两山顶间的距离，飞机沿水平方向在两点进行测量，在同一个铅垂平面内.若请你设计一个测量方案，则需要测量的数据可以是（ ）
A. ，，，，
B. ，，，，
C. ，，，，
D. ，，，，
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意结合正弦定理和余弦定理分析判断.
【详解】对于选项：当测出，
在中，由正弦定理可得，
在中，由正弦定理可得，
在中，可得，由余弦定理即可求得间的距离；
对于选项：结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法求得间的距离，
且中仅能得出边BM，所以无法求得间的距离，故B错误；
对于选项C：中仅确定，条件不足，无法求出，更无法求得间的距离，故C错误；
对于选项，结合选项A可知：中仅确定，条件不足，无法求出，所以无法求得间的距离，
且中仅能得出边，所以无法求得间的距离，故D错误；
故选：.
5. 已知函数的导函数是，则函数的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分析的单调性，即可得到的单调性及变化趋势，即可判断.
【详解】由题知且不恒等于，又在上单调递减，在上单调递增，
在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，在上单调递增，
即当时，的值由小变大，再由大变小，
即函数图象从左到右是单调递增，且变化趋势是先慢后快再变慢.
故选：B.
6. 在中，，，与交于点，且，则（ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意结合三点共线的判定定理和结论分析可得和，运算求解即可.
【详解】因为，则为的中点，可得，
注意到三点共线，可得，
又因为三点共线，则∥，
则存在实数，使得，即，
则，可得，
综上所述：，解得，可得.
故选：B.
7. 已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由导函数在上恒成立可得．
【详解】，因为函数在上单调递增，所以当时，恒成立，即当时，恒成立，因为对称轴为，当时，，，所以当时，不恒成立，不符题意；当时，，当时，恒成立，则，解得．
故选：D．
8. 设，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据对数的运算法则及对数函数的单调性，直接比较a和b的大小；构造函数，求导判断其单调性，进而比较b和c的大小.
【详解】，
令，
令，
，
，
所以，即，故在上单调递增，
所以，即，综上，.
故选：D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. （多选）函数(，，)在一个周期内的图像如图所示，则（ ）
A. 该函数的解析式为
B. 该函数图像的对称中心为，
C. 该函数的增区间是，
D. 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，可得到该函数图像
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于选项A:根据图像和已知条件求出和最小正周期，然后利用正弦型函数的最小正周期公式求出，通过代点求出即可；对于选项BC:结合正弦函数的性质，利用整体代入法求解即可；对于选项D：利用伸缩变换即可求解.
【详解】由题图可知，，周期，
所以，则，
因为当时，，即，
所以，，即，，
又，故，
从而，故A正确；
令，，得，，故B错误；
令，，
得，，故C正确；
函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的倍，纵坐标不变，
可得到，故D正确．
故选:ACD
10. 十六世纪中叶，英国数学家哈利奥特用“”“”表示不等号，并逐渐被数学界所接受，不等号的引入对不等式发展影响深远.若某同学从一楼到五楼原路往返的速度分别为和，记两速度的算术平均值为，全程的平均速度为，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用基本不等式以及不等式的性质求解.
【详解】设一楼到五楼的距离为，
由题知，A错误；
因为，
且，所以，所以，所以，
又因为，（因为，所以取不到等号），所以，B正确；
对C，因为，所以，
又因为，
所以，即，C正确；
对D，因为，
所以，即，D正确；
故选:BCD.
11. 已知函数，函数，则方程解的个数可能是（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】ABC
【解析】
【分析】先利用导函数研究出的单调性和极值情况，得到的图象，进而得到的图象，令，则，得到有两个不等实根，分别是和，得到，且，从而分，；，和，三种情况，结合函数图象得到答案.
【详解】因为的导函数是，
所以，当时，，函数单调递增；
当时，，函数单调递递减，
所以有极小值
另外有有且，
画出简图，如图所示.
所以由图形变换可得的简图，如下：
令，则，
因为，所以，故有两个不相等的实数根，
令方程有两个根分别是和，
则，且，
所以且.
当时，，此时有三个解，
有一个解，故有四解；
当时，，此时有两个解，
有一个解，故有三解；
当时，，此时有1个解，有1个解，
故有两解；
故选：ABC.
【点睛】思路点睛：复合函数零点个数问题处理思路：
①利用换元思想，设出内层函数；
②分别作出内层函数与外层函数的图象，分别探讨内外函数的零点个数或范围；
③内外层函数相结合确定函数交点个数，即可得到复合函数在不同范围下的零点个数.
12. 已知定义在上的函数可导，且不恒为为奇函数，为偶函数，则（ ）
A. 的周期为4
B. 的图象关于直线对称
C.
D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根据已知可得图象关于对称、关于直线对称，利用对称性可得的周期可判断A；对两边求导可判断B；根据，可判断CD.
【详解】为奇函数，则的图象关于对称.又为偶函数，则的图象关于直线对称，
所以，可得
，
则的周期为4，故A选项正确；
又，则的图象关于对称，故选项B错误；
又，所以，故选项C正确；
由以上可知，，但是不知道等于多少，
函数的周期为4，则，故D错误.
故选：AC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ___________.
【答案】
【解析】
【分析】直接利用诱导公式即可求解.
【详解】.
故答案为：
14. 已知，，则在方向上投影向量的坐标为__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据投影向量的公式计算出答案.
【详解】.
故答案为：
15. 已知函数，则不等式的解集为__________.
【答案】
【解析】
【分析】先判断和函数的奇偶性，可判断出是上的偶函数，继而得出取值范围对应的函数值得正负，再根据，分情况讨论，得出答案.
【详解】解：易知是上的奇函数，
当时，，
当时，，
当时，，
当时，；
函数是上的奇函数，
当时，，
当时，.
所以是上的偶函数，
且当时，，
当时，，
当时，，
当时.
偶函数的性质可知，
当时，，
当时，，
当时，
另外，，得，得，得；
所以由等价于或，
得.
故答案是：
16. 已知等腰直角三角形的斜边，且的内切圆圆心为，则其半径__________；若点在以为圆心，1为半径的圆上，则与的面积之比的最大值为__________.
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】因为到每条边的距离即内切圆半径，所以，代入即可求半径；表示出与的面积之比即，当且仅当在近侧与圆相切时最大，求解即可.
【详解】因为，所以，三角形为等腰直角三角形，
所以，所以
因为为的内切圆圆心，，
所以，因为到每条边的距离即内切圆半径，
所以，
即，

因为为的内切圆圆心，所以，则，
与面积之比即为，

由于与均为锐角且互余，上式即为.
易知最大当且仅当在近侧与圆相切时，
此时记切点为，如下图，连接，则，
所以

所以，即为所求最大值.
故答案为：；.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假设全部溶解），糖水变甜了.
（1）请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立；
（2）在锐角中，根据（1）中的结论，证明：.
【答案】（1）若，则；证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）用作差比较法即可；
（2）结合（1）的结论即可证明.
【小问1详解】
若，则.
证明：.
因为，所以，又，故，
因此.
【小问2详解】
在锐角三角形中，由（1）得，
同理，
.
以上式子相加得.
18. 已知向量，，其中，，且函数的对称轴间的距离最小值为.
（1）求的解析式；
（2）方程在上有且仅有两个不同的实数解，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用向量的数量积运算得到，再根据周期求出即可；
（2）先求出的取值范围，再根据条件得出的取值范围.
【小问1详解】
，
由于函数的对称轴间的距离最小值为，
从而函数的最小正周期为，所以.，
综上，.
【小问2详解】
，，，
当时，单调递增，此时，
当时，单调递减，此时，
所以满足条件的取值范围为.
19. 低碳环保的新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，已知国道限速.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量（单位：）与速度（单位：）的部分数据如下表所示：
为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量与速度的关系，现有以下三种函数模型供选择：①；②；③.
（1）当时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（不需说明理由），并求出相应的函数表达式；
（2）现有一辆同型号纯电动汽车在甲、乙两地间的国道上匀速行驶，其中甲、乙两地间国道长度为，求车速为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？
【答案】（1）选择，
（2）行驶速度为时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为
【解析】
【分析】（1）由题意选择合适的函数模型，代入数据求得参数即可.
（2）由题意将总耗电量的表达式先求出来，然后根据二次函数取最值的条件即可求解.
【小问1详解】
由题意显然选择，
由表中数据，可得，解得，
.
【小问2详解】
国道上行驶，所用时间为，
则所耗电量为，
当时，，
当这辆车在国道上的行驶速度为时，该车从甲地行驶到乙地的总耗电量最少，最少为.
20. 已知函数.
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有两个极值点，记过两点的直线斜率为，是否存在使？若存在，求的值；若不存在，试说明理由.
【答案】（1）
（2）不存在的值，理由见解析
【解析】
【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式求出切线方程；
（2）假设存在的值，使得，依题意可得、是方程的两不等实数解，利用韦达定理得到且，不妨令，则，即可表示出，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可判断.
【小问1详解】
由题意得：函数的导函数.
当时，，，即是切点为，
所以曲线在处的切线方程是，即；
【小问2详解】
不存在的值.
假设存在的值，使得，
易知：、是方程的两不等实数解，即且，
不妨令，则，
因为，所以由得，
令，而恒成立.
所以在上单调递增，即，
所以当时，恒成立，即无解.
所以不存在值，使得.
21. 在中，内角所对的边分别为.现有如下两个条件：条件①；条件②.请从上述两个条件中选择一个作为已知，完成本题解答.
你选择的条件是__________.
（1）求角；
（2）若为边上一点，且，.当的面积取到最大值时，求角.
注：若多选条件，则按选择第一个条件解答计分.
【答案】21. 条件选择见解析，
22.
【解析】
【分析】（1）选条件①，利用正弦定理，结合两角差的正弦公式以及辅助角公式求解；选条件②，利用正弦定理，结合两角和差的正弦公式可得，进而可得答案.
（2）求得，平方可得，再利用基本不等式，结合正弦定理。余弦定理求解即可.
【小问1详解】
选条件①：由，及正弦定理，
.
又为内角，所以，从而，即
，
则，或（舍去），从而.
选条件②：由，及正弦定理，
.
又为内角，所以，
代入上式即得，而，
所以，从而.
则，或（舍去），因此，.
【小问2详解】
由为边上一点，且，从而，即.
平方，得，
即，
由基本不等式，，等号当且仅当
时成立，此时有最大值，从而面积为也有最大值.
当时，由余弦定理，可得
由正弦定理，，又，所以.
22. 已知函数.
（1）证明：时，；
（2）当时，证明：不等式对恒成立.
【答案】（1）证明见解析；
（2）证明见解析；
【解析】
【分析】（1）构造，利用导数研究单调性，即可证结论；
（2）由（1）得，且在上成立，分析法将问题化为证，再构造函数利用导数证明即可.
【小问1详解】
令，则，
令，故，对恒成立，
故在上单调递增，从而，
故在上单调递增，从而，
即时，恒有成立.
【小问2详解】
对于，由（1）得，且，
对于，要证，只需证，
即证，当时，显然成立；
当时，即证，令，则，
令，则，故时，
故在上单调递增，所以
故在上单调递增，所以，即成立.
综上：当时对恒成立..
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