陕西省咸阳市旬邑县中学2023-2024学年高三上学期开学检测理科数学试题(含答案)

这是一份陕西省咸阳市旬邑县中学2023-2024学年高三上学期开学检测理科数学试题(含答案)，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2、“”是“是幂函数”的( )
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
3、已知命题,;命题,,则下列命题中为真命题的是( )
A.B.C.D.
4、已知函数的定义域为,则函数的定义域为( )
A.B.C.D.
5、函数的单调递增区间( )
A.B.C.D.
6、函数的零点所在区间是( )
A.B.C.D.
7、已知函数若,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、已知奇函数在R上是增函数,若,,,则a,b,c的大小关系为( )
A.B.C.D.
9、若关于x的不等式在区间内有解,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
10、函数在区间上的图象大致为( )
A.B. C.D.
11、著名田园诗人陶渊明也是一个大思想家,他曾言：勤学如春起之苗,不见其增,日有所长;辍学如磨刀之石,不见其损,日有所亏.今天,我们可以用数学观点来对这句话重新诠释,我们可以把“不见其增”量化为每天的“进步率”都是,一年后是;而把“不见其损”量化为每天的“落后率”都是,一年后是.可以计算得到,一年后的“进步”是“落后”的倍.那么,如果每天的“进步率”和“落后率”都是20%,要使“进步”是“落后”的倍,大约需要经过（,）( )
A.17天B.19天C.23天D.25天
12、已知函数,若方程有四个不同的实数根,则实数a的取值范围是( )
A.B.
C.D.
二、填空题
13、已知集合,,若,则实数m的取值范围为_______________.
14、已知满足,则________________.
15、若函数的定义域为一切实数,则实数m的取值范围是__________.
16、已知是定义域为的奇函数,满足.若,则__________________.
三、解答题
17、计算：
(1);
(2).
18、在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且.
（1）求角B的大小;
（2）若,,求的面积.
19、如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱形,且,,E,F分别为PD,BD的中点,且.
（1）求证：平面平面ABCD;
（2）求锐二面角的余弦值.
20、某学校共有1000名学生参加知识竞赛,其中男生500人,为了解该校学生在知识竞赛中的情况,采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查,分数分布在分之间,根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图所示：将分数不低于750分的学生称为“高分选手”.
(1)求a的值,并估计该校学生分数的平均数、中位数和众数;（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）;
(2)现采用分层抽样的方式从分数落在,内的两组学生中抽取8人,再从这8人中随机抽取3人,记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为随机变量X,求X的分布列及数学期望.
21、已知椭圆的左、右焦点为,,点A是椭圆的上顶点,经过的直线l交椭圆于,两个不同的点.
(1)求点到直线的距离;
(2)若直线l的斜率为k,且,求实数k的值.
22、已知函数,.
(1)讨论的单调性;
(2)当时,证明：;
(3)证明：对任意的且,都有：.
参考答案
1、答案：B
解析：得即,
因为,所以,
则.
故选：B.
2、答案：A
解析：因为是幂函数,
所以,解得或,
故“”是“是幂函数”的充分不必要条件.
故选：A.
3、答案：B
解析：可知: 命题,为假命题,由函数图象可知命题,为真命题,所以为真命题.
4、答案：B
解析：函数的定义域为,即,可得,
函数的定义域为,
令,解得,
故函数的定义域为.
故选：B.
5、答案：A
解析：由,可得或,
所以函数的定义域为.
求导可得,当时,,由函数定义域可知,,
所以函数的单调递增区间是.
故选：A.
6、答案：C
解析：由, 在 上均递减,
所以在上递减,又,,所以零点所在区间为.
故选：C.
7、答案：D
解析：得,
当以及时,均为单调递增函数,且当时,当时,因此为R上的单调递增函数,由得,
故选：D.
8、答案：C
解析：由题意：,
且：,
据此：,
结合函数的单调性有：,
即,.
本题选择C选项.
9、答案：A
解析：不等式在区间内有解等价于,
令,,对称轴为
所以,
所以.
故选：A.
10、答案：C
解析：因为,关于原点对称,
,
所以函数为奇函数,故D错误;
因为,所以,所以,故A错误;
因为,所以,所以,故B错误;
故选：C.
11、答案：C
解析：经过x天后,“进步”与“落后”的比,
所以,
两边取以为底的对数得,又,,
所以,
解得,
所以大约经过天后,“进步”是“落后”的10000倍.
故选：C.
12、答案：D
解析：设,该直线恒过点,方程有四个不同的实数根
如图作出函数的图象,
结合函数图象,则,
所以直线与曲线,有两个不同的公共点,
所以在有两个不等实根,
令,
实数a满足,解得,
所以实数a的取值范围是.
故选：D.
13、答案：
解析：因为集合,,且,
当时,则,解得,
当时,则,解得,
综上：,
所以实数m的取值范围为,
故答案为：.
14、答案：
解析：①,
用表示x,则②;
②得：,
,
故答案为：.
15、答案：
解析：由题意可得：对一切实数恒成立,
当时,则对一切实数恒成立,符合题意;
当时,则,解得;
综上所述：,即实数m的取值范围是.
故答案为：.
16、答案：0
解析：因为,即,
又因为是定义域为的奇函数,则,
可得,
所以是以4为周期的周期函数,
且,,,
可得,
因为,
所以.
故答案为：0.
17、答案：(1)
(2)3
解析：（1）由题意可得：
.
（2）由题意可得：.
18、答案：（1）
（2）
解析：（1）由余弦定理得：,
又因为,
所以,所以,
所以,
因为,所以,
因为,所以.
（2）由正弦定理得：,
所以,
因为,所以,所以
所以.
19、答案：（1）见解析;
（2）
解析：（1）过P作,垂足为O,连结AO,BO,
由,得,
在中,,
,,,,,
E,F分别是PA,BD的中点, ,EF是的中位线,
,
,,,平面ABCD,
又平面PAD,平面平面ABCD.
（2）以O为原点,OB为x轴,OD为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
,,,,
,,,,
易得平面ABCD的一个法向量,
设平面ACE的法向量,则,
取,得,
设锐二面角的平面角的大小为,则,
锐二面角的余弦值为.
20、答案：(1),平均数,中位数650,众数600
(2)分布列见解析,
解析：（1）由题意知,解得,
所以每组的频率依次为0.15,0.35,0.25,0.15,0.10,
样本平均数,
因为,所以中位数650,
又因为的频率最大,所以众数为600.
（2）由题意可得：从中抽取人,从中抽取人,
则随机变量X的所有可能取值有0,1,2,3.可知,
即,
,
所以随机变量X的分布列为：
随机变量X的数学期望.
21、答案：(1)
(2)或
解析：（1）椭圆,则,,,
所以,,,
所以直线的方程为,即,
所以点到直线的距离.
（2）依题意直线l的斜率存在,则直线l的方程为,
由,消去y整理可得,
则,即,
且,,
因为,所以,,,
即,
整理可得,
即,
即,
整理可得,
解得或,都符合,
所以k的值为或.
22、答案：(1)见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
解析：（1）函数定义域,
,
当时,恒成立,所以在单调递增;
当时,令,得,
所以当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
综上所述,当时, 在单调递增;
当时, 在单调递增,在单调递减.
（2）当时,,
要证明,
即证,即证,
设,则,
令得,可得,
当时,,单调递增;
当时,,单调递减.
所以,即,
故得证.
（3）由（2）可得,（当且仅当时等号成立）,
令,,2,3,···
则,
所以
,
即,
所以.
X
0
1
2
3
P