浙江省温州市实验中学2023-—2024学年上学期九年级期中数学试卷

这是一份浙江省温州市实验中学2023-—2024学年上学期九年级期中数学试卷，共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
2．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3）B．（﹣6，3）C．（6，﹣3）D．（﹣6，﹣3）
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1B．3：4C．3：5D．2：3
4．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个B．20个C．30个D．35个
5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D＝60°，AB＝AC，则∠ABC等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
6．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+1与x轴的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
8．（3分）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．12D．
9．（3分）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25cm，AB＝2.5cm，CD＝6cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A．6cmB．C．7cmD．
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是 ．
12．（4分）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 ．
13．（4分）如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B′处得△A′B′C，若∠A＝35°，则∠BCB′的度数为 ．
14．（4分）如图，AB是△ADC外接圆的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为 ．
15．（4分）如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形ABCD的边AB在线段OE上，点B（2，0）在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，则抛物线平移的距离为 ．
16．（4分）如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）小明同学报名参加学校运动会，有以下4个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：立定跳远（用B表示）．
（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为 ；
（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
18．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△AFD∽△DCE．
（2）若AB＝4，AD＝2，CE＝1，求AF的长度．
19．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0＜m＜3，则n的取值范围是 ．
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点O，请根据下列要求在方格中画图．
（1）在图1中，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△AOD．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，点E．
（1）连结AC，求证：．
（2）连结BC，若AB＝25，BC＝15，求AE的长．
22．（12分）图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求图2中抛物线的表达式．
（2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？
（3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？
23．（14分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O外，BC平分∠ABD交⊙O于点C，CD⊥BD于点D，连结OD交BC于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBD．
（2）若AB＝4，∠ABD＝60°，求BD的长．
（3）当△BOE是直角三角形时，求的值．
2023-2024学年浙江省温州实验中学九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项是正确的，不选、多选、错选，均不给分）
1．（3分）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是（ ）
A．7B．6C．5D．4
【分析】根据点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径进行判断．
【解答】解：∵⊙O的半径为5，点P在⊙O内，
∴OP＜5．
故选：D．
【点评】本题考查了点与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d＞r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d＜r．
2．（3分）抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（ ）
A．（6，3）B．（﹣6，3）C．（6，﹣3）D．（﹣6，﹣3）
【分析】根据二次函数顶点式特点即可解答．
【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），
∴抛物线y＝（x﹣6）2+3的顶点坐标为（6，3）．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的顶点式，掌握二次函数的顶点式的性质是解题关键．
3．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD：DB＝3：1，则AE：AC＝（ ）
A．3：1B．3：4C．3：5D．2：3
【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝＝，然后根据比例的性质求AE：AC的值．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴＝＝，
∴＝＝．
故选：B．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
4．（3分）在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.3左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．15个B．20个C．30个D．35个
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．
【解答】解：设袋中有黄球x个，由题意得＝0.3，
解得x＝15，则白球可能有50﹣15＝35个．
故选：D．
【点评】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．
5．（3分）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D＝60°，AB＝AC，则∠ABC等于（ ）
A．15°B．30°C．45°D．60°
【分析】首先利用圆内接四边形的对角互补求得∠A的度数，然后求得等腰三角形的底角的度数即可．
【解答】解：∵∠D＝60°，
∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣60°＝120°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝＝30°，
故选：B．
【点评】本题考查了圆内接四边形的性质，解题的关键是了解圆的有关定义及性质，难度不大．
6．（3分）抛物线y＝﹣x2+bx+1与x轴的交点个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
【分析】由Δ＞0，抛物线和x轴有两个交点；当x＝0时，y＝﹣x2+bx+1＝1，则抛物线和y轴有一个交点，即可求解．
【解答】解：由Δ＝b2+4＞0，
则抛物线和x轴有两个交点；
故选：C．
【点评】本题考查的是抛物线和x轴的交点，正确利用根的判别式判定抛物线和x轴交点的个数是解题的关键．
7．（3分）如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为（ ）
A．135°B．90°C．60°D．45°
【分析】根据相似三角形的对应角相等即可得出．
【解答】解：∵AB＝＝、AC＝＝，BC＝5，DE＝、EF＝2，DF＝，
∴＝＝＝，
∴△ABC∽△DEF，
∴∠BAC＝∠DEF＝180°﹣45°＝135°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BAC＝45°．
故选：D．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是得到△ABC∽△DEF．
8．（3分）利用圆的等分，在半径为的圆中作出六芒星图案，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．6B．C．12D．
【分析】根据对称性得到阴影部分的面积和等于正六边形ABCDEF的面积，再根据正六边形的面积估算进行计算即可．
【解答】解：如图，由题意可知，阴影部分的面积和等于正六边形ABCDEF的面积，
由对称性可知，ON＝MN＝OM＝，
在Rt△ONF中，ON＝，∠NOF＝30°，
∴NF＝ON＝1，
∴AF＝2NF＝2，
∴S阴影部分＝S正六边形ABCDEF
＝6S△AOF
＝6××2×
＝6．
故选：B．
【点评】本题考查正多边形与圆，掌握正六边形的性质以及面积的计算方法是正确解答的关键．
9．（3分）一次综合实践主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯口，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为4.25cm，AB＝2.5cm，CD＝6cm．请你帮忙计算纸杯的直径为（ ）
A．6cmB．C．7cmD．
【分析】由垂径定理求出BN，DM的长，设OM＝x，由勾股定理得到x2+32＝（4.25﹣x）2+1.252，求出x的值，得到OM的长，由勾股定理求出OD长，即可求出纸杯的直径长．
【解答】解：如图，MN⊥AB，MN过圆心O，连接OD，OB，
∴MN＝4.25cm，
∵CD∥AB，纸条的宽为4.25cm，AB＝2.5cm，CD＝6cm，
∴MN⊥CD，
∴DM＝CD＝×6＝3（cm），BN＝AB＝×2.5＝1.25（cm），
设OM＝x cm，
∴ON＝MN﹣OM＝（4.25﹣x）cm，
∵OM2+MD2＝OD2，ON2+BN2＝OB2，
∴OM2+MD2＝ON2+BN2，
∴x2+32＝（4.25﹣x）2+1.252，
∴x＝1.25，
∴OM＝1.25（cm），
∴OD＝＝＝3.25（cm），
∴纸杯的直径为3.25×2＝6.5＝（cm）．
故选：B．
【点评】本题考查垂径定理及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，由垂径定理，勾股定理求出OM的长．
10．（3分）已知抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），则t的最小值是（ ）
A．﹣3B．﹣1C．0D．1
【分析】根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1＝m，即可得到p＝m﹣1，由抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t）得到t＝p2﹣2mp＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，结合﹣1≤m≤2即可确定t的最小值．
【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣2mx，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝m，
∵抛物线y＝x2﹣2mx（﹣1≤m≤2）经过点A（p，t）和点B（p+2，t），
∴点A（p，t）和点B（p+2，t）关于对称轴对称，t＝p2﹣2mp，
∴＝m，即p+1＝m，
∴p＝m﹣1，
∴t＝（m﹣1）2﹣2m（m﹣1）＝﹣m2+1，
∵﹣1≤m≤2，
∴m＝2时，t有最小值为：﹣4+1＝﹣3．
故选：A．
【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，熟知二次函数的对称性是解题的关键．
二、填空题（本题有6小题，每小题4分，共24分）
11．（4分）已知线段a，b，c，d是成比例线段，其中a＝2，b＝3，c＝6，则d的值是 9 ．
【分析】先根据比例线段的定义得到2：3＝6：d，然后利用比例的性质可求出d的值．
【解答】解：∵线段a，b，c，d是成比例线段，
∴a：b＝c：d，
即2：3＝6：d，
解得d＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查了比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
12．（4分）若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 8 ．
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用360°÷45°可求得边数．
【解答】解：∵多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是45°，
∴360°÷45°＝8
即该正多边形的边数是8．
【点评】主要考查了多边形外角和是360度和正多边形的性质（正多边形的各个内角相等，各个外角也相等）．
13．（4分）如图，将△ABC绕直角顶点C逆时针旋转，使得点B落在斜边AB上的B′处得△A′B′C，若∠A＝35°，则∠BCB′的度数为 70° ．
【分析】根据旋转的性质可得CB＝CB'，即△CBB'是等腰三角形，由∠A＝35°，∠ACB＝90°可得∠B＝55°＝∠CB'B，即可求得∠BCB'＝70°．
【解答】解：根据旋转的性质可得CB＝CB'，
∴∠B＝∠CB'B，
∵∠A＝35°，∠ACB＝90°，
∴∠B＝∠CB'B＝55°，
∴∠BCB'＝70°，
故答案为：70°．
【点评】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．
14．（4分）如图，AB是△ADC外接圆的直径，∠D＝40°，则∠CAB的度数为 50° ．
【分析】根据圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：连接OC，
∵∠D＝40°，
∴∠AOC＝2∠D＝80°，
∵AO＝CO，
∴∠CAB＝∠ACO＝×（180°﹣80°）＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理，正确地作出辅助线是解题的关键．
15．（4分）如图，抛物线与x轴交于点O，E，矩形ABCD的边AB在线段OE上，点B（2，0）在点A的左侧，点C，D在抛物线上，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线GH平分矩形ABCD的面积时，则抛物线平移的距离为 3 ．
【分析】连接AC，BD交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，根据直线GH平分矩形ABCD的面积，得到直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，根据平行四边形的性质得到PQ＝CH，根据矩形的性质得到点P是AC的中点，求得PQ＝OA，于是得到结论．
【解答】解：如图，连接AC，BD相交于点P，连接OC，取OC的中点Q，连接PQ，
∵B（2，0），抛物线的对称轴为直线x＝＝4，
∴A（6，0），
∵当x＝2时，y＝x（x﹣8）＝×2×（2﹣8）＝﹣3，
∴C（2，﹣3），
∵直线GH平分矩形ABCD的面积，
∴直线GH过点P，
由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，
∴PQ＝CH，
∵四边形ABCD是矩形，
∴点P是AC的中点，
∴P（4，﹣1.5），
∴PQ＝OA，
∵OA＝6，CH＝PQ＝OA＝3，
∴抛物线向右平移的距离是3个单位．
故答案为：3．
【点评】本题主要考查二次函数的性质，平移变换，矩形的性质，掌握相关图形的性质和平移的性质是解题的关键．
16．（4分）如图，在正方形ABCD的右下角有一个正方形GICJ，以点G为顶点向左构造正方形EFGH，使点E，F分别落在边AB，BI上，当A，H，J三点共线时，则的值是 ．
【分析】作MHJG的延长线于点M，作HN⊥AB于点N，设正方形GICJ的边长为x，FI＝y，证△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，得MG＝NE＝GI＝BF＝x，HM＝BE＝NH＝FI＝y，由S梯形ABCJ＝5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ及梯形的面积公式列出关于x、y的等式，整理后得出x与y的关键，进而得出FG与x的关键，据此解答．
【解答】解：如图，作MHJG的延长线于点M，作HN⊥AB于点N，
设正方形GICJ的边长为x，FI＝y，
∵四边形ABCD、EFGH、GICJ是正方形，
∴∠B＝∠EFG＝∠FIG＝90°，EF＝FG，AB＝BC，
∴∠BFE＝∠IGF（同角的余角相等），
∴△BFE≌△IGF，
同理可证，△MGH≌△NEH≌△BFE≌△IGF，
∴MG＝NE＝GI＝BF＝x，HM＝BE＝NH＝FI＝y，
∴AB＝BC＝2x+y，
∴AN＝2x+y﹣x﹣y＝x，
∵S梯形ABCJ＝S△NAH+S△NEH+SBFE+S△IGF+SS△MGH，
又∵
∴S梯形ABCJ＝5S△IGF+S正方形EFGH+S正方形GICJ，
∴（x+2x+y）（2x+y）＝，
整理得，y2＝2x2，
∴FG2＝3x2，
∴，
∴．
故答案为：．
【点评】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，要求熟练掌握这三个性质，解答本题的关键是利用梯形ABCJ的面积等于5个面积相等的三角形的面积加上两个正方形的面积之和．
三、解答题（本题有7小题，共66分．解答需写出必要文字说明、演算步骤或证明过程）
17．（8分）小明同学报名参加学校运动会，有以下4个项目可供选择：
径赛项目：100m，200m，400m（分别用A1、A2、A3表示）；
田赛项目：立定跳远（用B表示）．
（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率为 ；
（2）小明从4个项目中任选两个，利用树状图或表格列举出所有可能出现的结果，并求恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率．
【分析】（1）直接根据概率公式求解；
（2）先画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出一个田赛项目和一个径赛项目的结果数，然后根据概率公式计算即可．
【解答】解：（1）小明从4个项目中任选一个，恰好是径赛项目的概率P＝；
故答案为：；
（2）画树状图为：
共有12种等可能的结果数，其中一个田赛项目和一个径赛项目的结果数为6，
所以恰好是一个田赛项目和一个径赛项目的概率是＝．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
18．（8分）如图，点E是矩形ABCD的边CB上的一点，AF⊥DE于点F．
（1）求证：△AFD∽△DCE．
（2）若AB＝4，AD＝2，CE＝1，求AF的长度．
【分析】（1）根据四边形ABCD是矩形可得出∠ADC＝∠C＝90°，再根据相似三角形的判定定理可得出△ADF∽△DCE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论；
（2）由矩形的性质可得出DC的长及∠ADC＝∠C＝90°，利用勾股定理可求出DE的长，由垂直的定义可得出∠AFD＝∠C，利用同角的余角相等可得出∠EDC＝∠DAF，进而可得出△EDC∽△DAF，再利用相似三角形的性质可求出DF的长度．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝∠C＝90°，
∴∠ADF+∠CDE＝90°，
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠DAF+∠FDA＝90°，
∴∠FAD＝∠CDE，
又∵∠C＝∠AFD＝90°，
∴△AFD∽△DCE；
（2）解：∵四边形ABCD是矩形，
∴DC＝AB＝4，∠ADC＝∠C＝90°．
∵CE＝1，
∴DE＝＝＝．
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝90°＝∠C，∠ADF+∠DAF＝90°．
又∵∠ADF+∠EDC＝90°，
∴∠EDC＝∠DAF，
∴△EDC∽△DAF，
∴＝
∴＝．
∴AF＝．
即AF的长度为．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定与性质以及垂直的性质和矩形的性质运用，能根据题意得出△ADF∽△DCE是解答此题的关键．
19．（8分）设二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，b是实数）．已知函数值y和自变量x的部分对应取值如表所示：
（1）求二次函数的表达式．
（2）若点M（m，n）是抛物线上一点，且0＜m＜3，则n的取值范围是 0＜n＜6． ．
【分析】（1）把x＝0，y＝6；x＝1，y＝0；x＝2，y＝﹣2代入二次函数y＝ax2+bx+c，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出a，b，c的值即可；
（2）把点M的坐标代入二次函数的解析式，把n用m表示出来，根据m的取值范围，求出n的取值范围即可．
【解答】解：（1）把x＝0，y＝6；x＝1，y＝0；x＝2，y＝﹣2代入二次函数y＝ax2+bx+c得：
，
解得：，
∴二次函数的表达式为：y＝2x2﹣8x+6；
（2）把点M（m，n）代入y＝2x2﹣8x+6 得：
2m2﹣8m+6＝n，
当m＝3时，n＝2×32﹣8×3+6＝0，
当m＝0时，n＝2×02﹣8×0+6＝6，
∴当0＜m＜3时，n的取值范围为：0＜n＜6，
故答案为：0＜n＜6．
【点评】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，解题关键是熟练掌握利用待定系数法求二次函数的解析式．
20．（8分）我们把顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形．在如下9×9的方格中已给出格点三角形ABC和格点O，请根据下列要求在方格中画图．
（1）在图1中，将△ABC绕点O顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△A1B1C1；
（2）在图2中，作与△ABC相似的格点△AOD．
【分析】（1）根据旋转的性质作图即可．
（2）根据相似三角形的性质，将各边缩小倍，使△ABC∽△AOD，且相似比为：1．
【解答】解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求．
（2）如图2，△AOD即为所求．
【点评】本题考查作图﹣旋转变换、相似变换，熟练掌握旋转的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．
21．（8分）如图，AB是⊙O的直径．菱形AOCD交⊙O于点C，点E．
（1）连结AC，求证：．
（2）连结BC，若AB＝25，BC＝15，求AE的长．
【分析】（1）连接AC，如图，先根据菱形的性质得到AC平分∠OAD，即∠EAC＝∠BAC，然后根据圆周角定理得到＝；
（2）连接BE，如图，先根据圆周角定理得到∠AEB＝90°，再根据垂径定理得到OC⊥BE，EF＝BF，所以OF＝AE，接着利用勾股定理得到（）2﹣OF2＝152﹣（﹣OF）2，然后解方程求出OF，从而得到AE的长．
【解答】（1）证明：连接AC，如图，
∵四边形OADC为菱形，
∴AC平分∠OAD，
即∠EAC＝∠BAC，
∴＝；
（2）解：连接BE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵＝，
∴OC⊥BE，
∴EF＝BF，
∴OF为△ABE的中位线，
∴OF＝AE，
在Rt△OBF中，BF2＝OB2﹣OF2＝（）2﹣OF2，
在Rt△CBF中，BF2＝BC2﹣CF2＝152﹣（﹣OF）2，
∴（）2﹣OF2＝152﹣（﹣OF）2，
解得OF＝，
∴AE＝2OF＝7．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了菱形的性质．
22．（12分）图1是张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．图2是发球机从中线OB的端点O的正上方0.3m处的A点发球，球呈抛物线在OB正上方飞行，当飞行的水平距离为1m时，达到最高点M，其高度为0.4m．以O为原点，OB，OA所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系．
（1）求图2中抛物线的表达式．
（2）记图2中的落球点为点E，则OE的长为多少？
（3）图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状保持不变，但反弹后的最高高度变为0.2m．若最后球也落在点E，则OD的长为多少？
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）令y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.4＝0，即可求解；
（3）由c﹣＝﹣0.3m﹣＝0.2，即可求解．
【解答】解：（1）建立如图2、3所示的直角坐标系，
则点A、M的坐标分别为（0.0.3）、（1，0.4），
设抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）2+0.4，
将点A的坐标代入上式得：0.3＝a（0﹣1）2+0.4，
解得：a＝﹣0.1，
则抛物线的表达式为：y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.4；
（2）令y＝﹣0.1（x﹣1）2+0.4＝0，
解得：x＝﹣1（舍去）或3（m），
即OE＝3m；
（3）设点D（m，0），则点E（3，0），
设抛物线的表达式为：y＝﹣0.1（x﹣m）（x﹣3）＝﹣0.1x2+（0.3+0.1m）x﹣0.3m，
则c﹣＝﹣0.3m﹣＝0.2，
解得：m＝3﹣2（m）（不合题意的值已舍去），
即OD长为（3﹣2）m．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义．
23．（14分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O外，BC平分∠ABD交⊙O于点C，CD⊥BD于点D，连结OD交BC于点E．
（1）求证：△ABC∽△CBD．
（2）若AB＝4，∠ABD＝60°，求BD的长．
（3）当△BOE是直角三角形时，求的值．
【分析】（1）用“两角对应相等两三角形相似”证明相似．
（2）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，求出BC，再利用（1）得出的相似，得比例线段，求出BD．
（3）△BOE是直角三角形分两种可能，①∠BOE＝90°，②∠BEO＝90°．
【解答】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°
∵CD⊥BD于点D，
∴∠CDB＝90°，
∴∠ACB＝∠CDB，
∵∠ABC＝∠CBD，
∴△ABC∽△CBD．
（2）△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，BC＝2．
∵△ABC∽△CBD．
∴，
∴，
∴BD＝3．
所以BD的长是3．
（3）
解：①当∠EOB＝90°时，过点O作OM⊥BD于点M，连接OC，
∵∠EOB＝90°，
∴∠BOD＝∠BMO，
∵∠OBM＝∠DBO，
∴△OMB∽△DOB，
∴，
∴OB2＝BD•BM．
∵OC＝OB，
∠OCB＝∠OBC，
∠OBC＝∠CBD，
∴∠OCB＝∠CBD，
∴OC∥BD，
∴∠COM＝∠OMD＝90°
∵∠CDB＝90°．
∴四边形OCDM是矩形．
∴OC＝DM．
∴DM＝OB．
∴OB2＝BM（BM+OB），
∴．BM＝OB（负值舍去），
∴，
∵OC∥BD，
∴△COE∽△BDE，
∴，
∵，
∴＝．
②
当∠OEB＝90°时，连接OC，
∵∠OEB＝90°，OB＝OC，
∴CE＝BE，
∴CD＝BD，
∵∠BDC＝90°，
∴∠CBD＝∠BCD＝45°，
∴∠OBC＝∠CBD＝45°
∵∠OEB∠BED＝90°，
∴∠EOB＝∠BDE＝45°，
∴OB＝DB，
∴OE＝DE，
∴＝1．
所以的值为：或1．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定，关键是辅助线的连接．x
…
0
1
2
3
…
y
…
6
0
﹣2
0
…
x
…
0
1
2
3
…
y
…
6
0
﹣2
0
…