山东省青岛市市南区第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷

这是一份山东省青岛市市南区第七中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试卷，共30页。试卷主要包含了选择题下列每小题都给出标号为A，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．x2﹣2＝0C．x＝2x3﹣3D．
2．（3分）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.26
3．（3分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．﹣4C．4D．3
5．（3分）2021年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元．设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A．125（1﹣2x）＝125﹣19.2B．19.2（1+x）2＝125
C．125（1﹣x）2＝19.2D．125（1﹣x）2＝125﹣19.2
6．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，则下列等式中成立的是（ ）
A．AB2＝AC•CBB．CB2＝AC•AB
C．AC2＝CB•ABD．AC2＝2BC•AB
7．（3分）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（ ）
A．△DEFB．△DHFC．△GEHD．△GDH
8．（3分）如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中：①OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、填空题（每题3分，共6小题，满分18分）
9．（3分）若，则的值为 ．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝2，AE⊥BD于点E，则AE长 ．
11．（3分）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出 个小分支．
12．（3分）如图，在△ABC中，E在BC边上，BE：EC＝1：3，O是BD的中点，连接BO并延长交AC于D，则AD：AC＝ ．
13．（3分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
根据数据，估计袋中黑球有 个．
14．（3分）如图，A1，A2，A3，A4，…An，An+1是直线y＝x+2上的点，分别过点A1，A2，A3，A4，…An，An+1作x轴的垂线，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…Bn，Bn+1已知OB1＝B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1＝1，连接A1B2，B1A2和A2B3，B2A3，…AnBn+1依次相交于点P1，P2，P3，…PN，△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△ANBNPN的面积依次为S1，S2，S3，…SN，则Sn等于 ．
三.作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：矩形ABCD，
求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）x2﹣8x﹣9＝0．
（2）．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
18．（6分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）此游戏公平吗？请说明理由．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
20．（8分）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
22．（10分）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．
某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元．经市场调研发现，该套件平均每月的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：
（1）求y与x的关系式；
（2）物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？
（3）该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由．
23．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且，AE＝1，求DG的长．
24．（12分）已知：如图1，在四边形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，对角线AC的长为6cm，将△ABC沿射线CB方向以2cm/s的速度运动，经平移得到△EBF（如图2）；同时，点P从点E以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点C以1cm/s的速度向点D运动．过点P作PG⊥BC交BC于点G，连接PQ，交EF于点O，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当PQ平分∠EPG时，求t的值；
（2）连接AP、AQ，设△APQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使B、O、D三点共线？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
2023-2024学年山东省青岛七中九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题满分24分，共有8道小题，每小题3分）下列每小题都给出标号为A、第B、C、D的四个结论，其中只有一个是正确的。每小题选对得分；不选、选错或者选出的标号超过一个的不得分。
1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）
A．x+2y＝1B．x2﹣2＝0C．x＝2x3﹣3D．
【分析】根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
【解答】解：A．方程x+2y＝1是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．方程x2﹣2＝0是一元二次方程，故本选项符合题意；
C．方程x＝2x3﹣3是一元三次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D．方程是分式方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．
2．（3分）根据下面表格中的对应值判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是（ ）
A．x＜3.24B．3.24＜x＜3.25
C．3.25＜x＜3.26D．x＞3.26
【分析】根据表中数据得到x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，则x取2.24到2.25之间的某一个数时，使ax2+bx+c＝0，于是可判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
【解答】解：∵x＝3.24时，ax2+bx+c＝﹣0.02；x＝3.25时，ax2+bx+c＝0.01，
∴关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.24＜x＜3.25．
故选：B．
【点评】本题考查了估算一元二次方程的近似解：用列举法估算一元二次方程的近似解，具体方法是：给出一些未知数的值，计算方程两边结果，当两边结果愈接近时，说明未知数的值愈接近方程的根．
3．（3分）“宫商角徵羽”是中国古乐的五个基本音阶（相当于西乐的1，2，3，5，6），是采用“三分损益法”通过数学方法获得．现有一款“一起听古音”的音乐玩具，音乐小球从A处沿轨道进入小洞就可以发出相应的声音，且小球进入每个小洞的可能性大小相同．现有一个音乐小球从A处先后两次进入小洞，先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是（ ）
A．B．C．D．
【分析】画树状图，共有25种等可能的结果，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的结果有1种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：根据题意画图如下：
共有25种等可能的情况数，其中先发出“商”音，再发出“羽”音的有1种，
则先发出“商”音，再发出“羽”音的概率是．
故选：A．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
4．（3分）一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0的所有实数根的和等于（ ）
A．2B．﹣4C．4D．3
【分析】此题不能只利用两根之和公式进行简单的求和计算，还要考虑一下Δ与0的关系，判断方程是否有解．
【解答】解：方程x2﹣3x﹣1＝0中Δ＝（﹣3）2﹣4×（﹣1）＝13＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根，
根据两根之和公式求出两根之和为3．
方程x2﹣x+3＝0中Δ＝（﹣1）2﹣4×3＝﹣11＜0，所以该方程无解．
∴方程x2﹣3x﹣1＝0与x2﹣x+3＝0一共只有两个实数根，
即所有实数根的和3．
故选：D．
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系及根的判别式．
易错易混点：很多学生不考虑Δ与0的关系，而直接利用两根之和公式进行计算，求出3+1＝4．
5．（3分）2021年以来，某厂生产的电子产品处于高速增长上升期，该厂生产一件产品起初的成本为125元，经过两次技术改进，现生产一件这种产品的成本比起初下降了19.2元．设每次技术改进产品的成本下降率均为x，则下列方程正确的是（ ）
A．125（1﹣2x）＝125﹣19.2B．19.2（1+x）2＝125
C．125（1﹣x）2＝19.2D．125（1﹣x）2＝125﹣19.2
【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）＝125﹣19.2，把相应数值代入即可列出方程．
【解答】解：根据题意得：125（1﹣x）2＝125﹣19.2．
故选：D．
【点评】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，求平均变化率的方法，若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2＝b．
6．（3分）已知点C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，则下列等式中成立的是（ ）
A．AB2＝AC•CBB．CB2＝AC•AB
C．AC2＝CB•ABD．AC2＝2BC•AB
【分析】根据黄金分割的定义即把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（ ）叫做黄金比，从而得出答案．
【解答】解：∵C是线段AB的黄金分割点，且CB＞AC，
∴＝，
∴CB2＝AC•AB．
故选：B．
【点评】本题主要考查了黄金分割的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键，难度适中．
7．（3分）如图，在正方形网格中，以点O为位似中心，△ABC的位似图形可以是（ ）
A．△DEFB．△DHFC．△GEHD．△GDH
【分析】根据位似变换的概念判断即可．
【解答】解：∵△ABC与△GEH是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，
∴△ABC与△GEH是位似图形，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．
8．（3分）如图，点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使BD＝BF，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下五个结论中：①OH∥BF；②OG：GH＝2：1；③GH＝；④∠CHF＝2∠EBC；⑤CH2＝HE•HB．正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【分析】①只要证明OH是△DBF的中位线即可得出结论；
②③根据OH是△BFD的中位线，得出OH＝BF＝BD可得出结论；
④证明∠EBC＝∠EDH，由直角三角形的性质可得DH＝CH，则结论得证；
⑤证明△HEC∽△HCB，则HC：HB＝HE：HC，即HC2＝HE•HB，即可得到⑤正确．
【解答】解：①∵BD＝BF，BE平分∠DBC，
∴DH＝HF，BH⊥DF，
∵OD＝OB，
∴OH是△DBF的中位线，
∴OH∥BF；故①正确；
②③∵点O为正方形ABCD的中心，AD＝1，BD＝BF，
∴BD＝BF＝．
由三角形中位线定理知，OG＝BC＝，GH＝CF＝（﹣1），
∴OG：GH＝1：（﹣1），
故②错误，③正确；
④∵∠BCE＝∠BHD＝90°，∠BEC＝∠DEH，
∴∠EBC＝∠EDH，
∵OH是△DBF的中位线，CD⊥BF，
∴DH＝CH，
∴∠CDH＝∠DCH，
∴∠CHF＝∠DCH+∠CDH＝2∠EBC．
故④正确；
⑤∵∠ECH＝∠CBH，∠CHE＝CHB，
∴△HEC∽△HCB，
∴CH：HB＝HE：CH，即CH2＝HE•HB，
故⑤正确．
故选：D．
【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及正方形的性质．利用等腰直角三角形的性质结合角平分线的性质逐步解答．
二、填空题（每题3分，共6小题，满分18分）
9．（3分）若，则的值为 2 ．
【分析】利用比例的基本性质进行计算，即可解答．
【解答】解：∵，
∴5a＝3a+b，
∴5a﹣3a＝b，
∴2a＝b，
∴＝＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD＝60°，AB＝2，AE⊥BD于点E，则AE长 ．
【分析】根据矩形的性质得∠DAB＝90°，OA＝OD，则可判断△AOD为等边三角形，所以∠ADO＝60°，OA＝AD，接着计算出AD和AB，然后利用等面积法计算AE即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠DAB＝90°，OA＝AD，
∵∠AOD＝60°，
∴△AOD为等边三角形，
∴∠ADO＝60°，
∴∠ABD＝30°，
在Rt△ADB中，AD＝＝2，
∴BD＝4，
∴，
即，
解得AE＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了矩形的性质：平行四边形的性质矩形都具有，矩形的四个角都是直角；邻边垂直；矩形的对角线相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系．
11．（3分）一种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，每个支干长出 7 个小分支．
【分析】由题意设每个支干长出的小分支的数目是x个，每个小分支又长出x个分支，则又长出x2个分支，则共有x2+x+1个分支，即可列方程求得x的值．
【解答】解：设每个支干长出的小分支的数目是x个，
根据题意列方程得：x2+x+1＝57，
解得：x＝7或x＝﹣8（不合题意，应舍去）；
∴x＝7．
故答案为：7．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的应用，注意能够熟练运用因式分解法解方程．
12．（3分）如图，在△ABC中，E在BC边上，BE：EC＝1：3，O是BD的中点，连接BO并延长交AC于D，则AD：AC＝ 1：3 ．
【分析】（方法一）过点E作EF∥AC交AB于点F，EF交BD于点P，过点O作MN∥AC，MN交BC于点M，交AB于点N，由EF∥AC，利用平行线分线段成比例，可得出FE＝AC，BF＝BA，由MN∥AC，利用平行线分线段成比例，可得出NO＝AD，BN＝BA，由EF∥AC，MN∥AC，可得出EF∥MN，利用平行线分线段成比例，可得出NO＝FE，再代入NO＝AD及FE＝AC，即可求出AD：AC的值；
（方法二）过点D作DF∥BC，交AE于点F，由DF∥BE，利用平行线分线段成比例，可得出DF＝BE，结合BE：EC＝1：3，可得出DF：CE＝1：3，再由DF∥CE，利用平行线分线段成比例，即可求出AD：AC的值．
【解答】解：（方法一）过点E作EF∥AC交AB于点F，EF交BD于点P，过点O作MN∥AC，MN交BC于点M，交AB于点N，如图1所示．
∵EF∥AC，
∴＝＝＝＝，
∴FE＝AC，BF＝BA；
∵MN∥AC，
∴＝＝＝，
∴NO＝AD，BN＝BA；
∵EF∥AC，MN∥AC，
∴EF∥MN，
∴＝＝＝＝，
∴NO＝FE，
∴AD＝×AC，
∴AD＝AC，
∴AD：AC＝1：3．
（方法二）过点D作DF∥BC，交AE于点F，如图2所示．
∵DF∥BE，
∴＝＝1，
∴DF＝BE，
∵BE：EC＝1：3，
∴DF：CE＝1：3．
∵DF∥CE，
∴＝＝，
即AD：AC＝1：3．
故答案为：1：3．
【点评】本题考查了平行线分线段成比例，牢记“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例”是解题的关键．
13．（3分）在一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共20只，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，实验数据如表：
根据数据，估计袋中黑球有 8 个．
【分析】根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6．然后列式计算即可．
【解答】解：当n很大时，摸到白球的概率约是0.6，
∴袋中黑球有20﹣20×0.6＝8（个）；
故答案为：8．
【点评】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
14．（3分）如图，A1，A2，A3，A4，…An，An+1是直线y＝x+2上的点，分别过点A1，A2，A3，A4，…An，An+1作x轴的垂线，垂足分别为B1，B2，B3，B4，…Bn，Bn+1已知OB1＝B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1＝1，连接A1B2，B1A2和A2B3，B2A3，…AnBn+1依次相交于点P1，P2，P3，…PN，△A1B1P1，△A2B2P2，△A3B3P3，…，△ANBNPN的面积依次为S1，S2，S3，…SN，则Sn等于 ．
【分析】因为OB1＝B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1＝1，把x＝1代入直线解析式中得出A1、A2、A3、…、An、An+1的纵坐标，从而得出底边的长，再根据相似三角形的高比等于它们的相似比得出高，从而求出三角形的面积，找出高和底边的变化规律．
【解答】解：∵OB1＝B1B2＝B2B3＝B3B4＝…＝BnBn+1＝1，
∴根据题意得，A1（1，2.5）、A2（2，3）、A3（3，3.5）、…、An（n，n+2）
∵A1B1∥A2B2
∴△A1B1P1∽△B2A2P1，
∴＝＝，
∴△A1B1P1与△A2B2P1据题意对应高之比之比为
∵B1B2＝1
∴A1B1边上的高为
∴S△A1B1P1＝＝
同理可得，A2B2边上的高为，A3B3边上的高为，
S△A2B2P2＝＝，
S△A3B3C3＝＝，
∴Sn＝•＝，
故答案为．
【点评】本题考查了图象上点的坐标与距离的关系，相似三角形的性质和判定，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，学会利用规律解决问题．
三.作图题（本题满分4分）用圆直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹.
15．（4分）已知：矩形ABCD，
求作：菱形AECF，使点E，F分别在边BC，AD上．
【分析】连接AC，作AC的垂直平分线交BC于E，交AD于F，通过证明AE＝AF可证明四边形AECF为菱形．
【解答】解：如图，四边形AECF为所作．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
四、解答题（本大题满分74分，共有9道小题）
16．（8分）（1）x2﹣8x﹣9＝0．
（2）．
【分析】（1）先把方程转化为x﹣9＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；
（2）先把方程的二次项系数化为整系数，然后利用配方法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣8x﹣9＝0，
（x﹣9）（x+1）＝0，
x﹣9＝0或x+1＝0，
所以x1＝9，x2＝﹣1；
（2）方程化为x2﹣12x﹣14＝0，
x2﹣12x＝14，
x2﹣12x+36＝50，
（x﹣6）2＝50，
x﹣6＝±5，
所以x1＝6+5，x2＝6﹣5．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法．
17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，求k的值及另一个根．
【分析】由于一根为2，把x＝2代入方程即可求得k的值．然后根据两根之积即可求得另一根．
【解答】解：∵方程x2﹣（k+1）x﹣6＝0的一个根为2，
∴22﹣2（k+1）﹣6＝0，
解得k＝﹣2，
设另一根为x，
∵2x＝﹣6，
∴x＝﹣3，
∴k＝﹣2，另一根为﹣3．
【点评】考查了一元二次方程的解的知识，解题时可利用根与系数的关系使问题简化，难度不大．
18．（6分）为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字（若指针指在分界线上则重转），再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
（2）此游戏公平吗？请说明理由．
【分析】（1）画树状图即可；
（2）共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，求出小雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论．
【解答】解：（1）画树状图如下：
共有9种等可能的结果；
（2）此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，
∴小雪参赛的概率为，小英参赛的概率为，
∴此游戏公平．
【点评】本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
19．（6分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB＝4，AD＝，AE＝3，求AF的长．
【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，AD∥BC，再根据平行线的性质得出∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，然后根据∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，得出∠AFD＝∠C，从而得出△ADF∽△DEC；
（2）根据已知和勾股定理得出DE＝，再根据△ADF∽△DEC，得出＝，即可求出AF的长．
【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴∠B+∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC，
∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C，
∴△ADF∽△DEC；
（2）∵AE⊥BC，AD＝3，AE＝3，
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6，
由（1）知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
20．（8分）如图，一块长5米宽4米的地毯为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．
（1）求配色条纹的宽度；
（2）如果地毯配色条纹部分每平方米造价200元，其余部分每平方米造价100元，求地毯的总造价．
【分析】（1）设条纹的宽度为x米，根据等量关系：配色条纹所占面积＝整个地毯面积的 ，列出方程求解即可；
（2）根据总价＝单价×数量，可分别求出地毯配色条纹和其余部分的钱数，再相加即可求解．
【解答】解：（1）设条纹的宽度为x米．依题意得
2x×5+2x×4﹣4x2＝×5×4，
解得：x1＝（不符合，舍去），x2＝．
答：配色条纹宽度为 米．
（2）条纹造价：×5×4×200＝850（元）
其余部分造价：（1﹣）×4×5×100＝1575（元）
∴总造价为：850+1575＝2425（元）
答：地毯的总造价是2425元．
【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程．
21．（8分）已知：如图，在四边形ABCD中，AB⊥AC，DC⊥AC，∠B＝∠D，点E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）当AB与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是正方形？请证明．
【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质解答即可；
（2）根据正方形的判定解答即可．
【解答】证明：（1）∵AB⊥AC，DC⊥AC，
∴∠BAC＝∠ACD＝90°，
∵∠B＝∠D，AC＝CA，
∴△ABC≌△CDA（AAS），
∴AB＝CD，AD＝BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，，
∴BE＝DF，
在△ABE与△CDF中，
，
∴△ABE≌△CDF（SAS）；
（2）当AB＝AC时，四边形AECF是正方形，
理由：∵AB＝CD，AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∵点E，F分别是BC，AD的中点，
∴，，
∴EC＝AF，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵∠BAC＝90°，点E是BC的中点，
∴，
∴平行四边形AECF是菱形，
∵AB＝AC，点E是BC的中点，
∴AE⊥BC，
即∠AEC＝90°，
∴菱形AECF是正方形．
【点评】此题考查正方形的判定，关键是根据全等三角形的判定和性质以及正方形的判定解答．
22．（10分）第19届亚运会已于2023年9月23日至10月8日在杭州举行，其吉祥物“江南忆”为一组机器人，这组机器人分别命名为“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”．而由它们组成的“江南忆”毛绒玩具套件，已成为杭州店销人气款．
某商场经销这种玩具套件，每套成本为55元．经市场调研发现，该套件平均每月的销售量y（件）与销售单价x（元）满足一次函数关系，其中部分对应值如下表所示：
（1）求y与x的关系式；
（2）物价部门规定该种玩具套件的销售单价不能超过95元，该商场要想使这种商品的销售利润平均每月达到6300元，套件的销售单价应定为多少元？
（3）该套件平均每月的销售利润可能是6500元吗？请说阴理由．
【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法可求出y与x的关系式即可；
（2）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，解方程即可；
（3）利用总利润＝每件的销售利润×月销售量，列出一元二次方程，由根的判别式Δ＝﹣100＜0，可得出原方程没有实数根，即该商品平均每月的销售利润不可能是6500元．
【解答】解：（1）设y与x的关系式为y＝kx+b（k≠0），
则，
解得：，
∴y与x关系式为：y＝﹣4x+540；
（2）由题意得：（x﹣55）（﹣4x+540）＝6300，
整理得：x2﹣190x+9000＝0，
解得：x1＝90，x2＝100（不合题意，舍去），
答：套件的销售单价应定为90元；
（3）该套件平均每月的销售利润不可能是6500元，理由如下：
由题意得：（x﹣55）（﹣4x+540）＝6500，
整理得：x2﹣190x+9050＝0，
∵Δ＝（﹣190）2﹣4×1×9050＝﹣100＜0，
∴原方程没有实数根，
∴该套件平均每月的销售利润不可能是6500元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用、一次函数的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）利用待定系数法，求出y与x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（3）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”．
23．（10分）如图1，正方形ABCD和正方形AEFG，连接DG．
（1）[发现]：当正方形AEFG绕点A旋转，如图2，线段DG与BE之间有怎样的关系？请说明理由；
（2）[探究]：如图3，若四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，且AD＝2AB，AG＝2AE，猜想DG与BE的关系，并说明理由；
（3）[应用]：在（2）情况下，连接GE（点E在AB上方），若GE∥AB，且，AE＝1，求DG的长．
【分析】（1）先判断出△ABE≌△ADG，进而得出BE＝DG，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（2）先利用两边对应成比例夹角相等判断出△ABE∽△ADG，得出DG＝2BE，∠ABE＝∠ADG，再利用等角的余角相等即可得出结论；
（3）先求出BE，进而得出BE＝AB，即可得出四边形ABEG是平行四边形，进而得出∠AEB＝90°，求出BE的长，借助（2）得出的相似，即可得出结论．
【解答】解：（1）DG＝BE，DG⊥BE，理由如下：
∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，
∴AE＝AG，AB＝AD，∠BAD＝∠EAG＝90°，
∴∠BAE＝∠DAG，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴BE＝DG；
如图2，延长BE交AD于Q，交DG于H，
∵△ABE≌△DAG，
∴∠ABE＝∠ADG，
∵∠AQB+∠ABE＝90°，
∴∠AQB+∠ADG＝90°，
∵∠AQB＝∠DQH，
∴∠DQH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
∴DG＝BE，DG⊥BE；
（2）DG＝2BE，BE⊥DG，理由如下：
如图3，延长BE交AD于K，交DG于H，
∵四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，
∴∠BAD＝∠EAG，
∴∠BAE＝∠DAG，
∵AD＝2AB，AG＝2AE，
∴＝＝，
∴△ABE∽△ADG，
∴＝＝，∠ABE＝∠ADG，
∴DG＝2BE，
∵∠AKB+∠ABE＝90°，
∴∠AKB+∠ADG＝90°，
∵∠AKB＝∠DKH，
∴∠DKH+∠ADG＝90°，
∴∠DHB＝90°，
∴BE⊥DG，
∴DG＝2BE，BE⊥DG；
（3）如图4，设EG与AD的交点为M，
∵EG∥AB，
∴∠DME＝∠DAB＝90°，
在Rt△AEG中，AE＝1，
∴AG＝2AE＝2，
根据勾股定理得：EG＝＝，
∵AB＝，
∴EG＝AB，
∵EG∥AB，
∴四边形ABEG是平行四边形，
∴AG∥BE，
∵AG∥EF，
∴点B，E，F在同一条直线上，如图5，
∴∠AEB＝90°，
在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝＝＝2，
由（2）知，△ABE∽△ADG，
∴＝＝，
∴＝，
∴DG＝4．
【点评】此题是四边形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，旋转的性质以及勾股定理等知识；熟练掌握正方形得性质和矩形的性质，证明△ABE≌△ADG和△ABE∽△ADG是解本题的关键，属于中考常考题型．
24．（12分）已知：如图1，在四边形ABCD中，AB＝10cm，AD＝8cm，对角线AC的长为6cm，将△ABC沿射线CB方向以2cm/s的速度运动，经平移得到△EBF（如图2）；同时，点P从点E以2cm/s的速度向点B运动，点Q从点C以1cm/s的速度向点D运动．过点P作PG⊥BC交BC于点G，连接PQ，交EF于点O，设运动时间为t（s）（0＜t＜5）．解答下列问题：
（1）当PQ平分∠EPG时，求t的值；
（2）连接AP、AQ，设△APQ的面积为S（cm2），求S与t的函数关系式；
（3）是否存在某一时刻，使B、O、D三点共线？若存在，请求出t值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作QX⊥BE于X，作QV∥BC交PG于H，交BE于V，当PQ平分∠EPG时，QH＝QX，由此构建方程求解；
（2）如图1中，连接AQ，作AM⊥CD于M，交BE于N，根据S＝S四边形PQDE﹣S△APE﹣S△ADQ，求解即可；
（3）由BE∥DT，推出＝＝，可得结论．
【解答】解：（1）如图2，作QX⊥BE于X，作QV∥BC交PG于H，交BE于V，可得四边形BCQV是平行四边形，QH⊥PG，过点A作AM⊥CD于点M，MA的延长线交BE的延长线于点N，
∵CD∥BE，
∴MN⊥BE，
在Rt△ACD中，S△ACD＝CD•AM＝AC•AD，
∴AM＝＝＝，
在Rt△AEN中，AN＝AE•sin∠AEN＝2t•sinB＝2t×＝t，
∴QX＝NM＝，VH＝PV•cs∠PVH＝PV•csB＝（PB﹣BV）×＝（10﹣3t），
∴QH＝VQ﹣VH＝BC﹣VH＝8+2t﹣（10﹣3t）＝t，
当PQ平分∠EPG时，QH＝QX，
∴t＝，
∴t＝，
∴满足条件的t的值为．
（2）如图1中，连接AQ，作AM⊥CD于M，交BE的延长线于N，
∵S梯形PQDE＝（PE+DQ）•MN＝（2t+10﹣t）×，S△APE＝PE•AN＝×2t×，S△ADQ＝DQ•AM＝（10﹣t）×，
∴S＝S四边形PQDE﹣S△APE﹣S△ADQ＝（10+t）•（+t）﹣×2t×t﹣（﹣t+24）＝﹣t2+t（0＜t＜5）；
（3）t的值为3时，B、O、D三点共线，理由：
如图3，连接BD，延长EF交DC的延长线于点T．
在Rt△CFT在中，CT＝CF＝t，
∵CQ＝t，PE＝2t，
∴QT＝t，
∵BE∥DT，
∴＝＝，
∴＝，
∴t＝3，
∴t的值为3时，B、O、D三点共线．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质和判定，解直角三角形，平行线分线段成比例定理，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
销售单价x（元）
60
66
70
72
86
月销售量y（件）
300
276
260
252
196
x
3.24
3.25
3.26
ax2+bx+c
﹣0.02
0.01
0.03
摸球的次数n
100
150
200
500
800
1000
摸到白球的次数m
58
96
116
295
484
601
摸到白球的频率
0.58
0.64
0.58
0.59
0.605
0.601
销售单价x（元）
60
66
70
72
86
月销售量y（件）
300
276
260
252
196