人教A版 (2019)选择性必修 第一册第一章 空间向量与立体几何1.4 空间向量的应用当堂达标检测题

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知识点01：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点作为基点,那么空间中任意一点就可以用向量表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,是直线的方向向量,在直线上取,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数,使得，即
3、空间直线的向量表示式
如图②,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使①
或②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对，使得，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面内的充要条件是存在实数，，使.
知识点02：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 ，取直线 的方向向量 ，我们称为平面的法向量；过点且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 ．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取)
得结论：得到平面的一个法向量.
【即学即练1】（2023春·福建龙岩·高二校联考期中）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（ ）

A．B．C．D．
【答案】B
【详解】根据题意，设，则，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则有，令，可得，则.
故选：B．
知识点03：空间中直线、平面的平行
设直线,的方向向量分别为，，平面，的法向量分别为，，则
【即学即练2】（2023春·江苏宿迁·高二统考期中）已知平面α的一个法向量为，则AB所在直线l与平面α的位置关系为（ ）.
A．B．
C．D．l与α相交但不垂直
【答案】A
【详解】因为，所以，即，所以.
故选：A
知识点04：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为，直线的方向向量为，平面的法向量，平面的法向量为，则
【即学即练3】（2023春·高二课时练习）已知是直线l的一个方向向量，是平面α的一个法向量，若l⊥α，则a，b的值分别为________.
【答案】
【详解】∵l⊥α，则∥，
则，解得.
故答案为：.
题型01平面的法向量及其求法
【典例1】（2023春·江苏淮安·高二校考阶段练习）空间直角坐标系中，已知点，，，则平面的一个法向量可以是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】由题意可得：，
设平面的法向量为，则，
令，则，即.
对A：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，A错误；
对B：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，B错误；
对C：若，则，即与共线，
故是平面的法向量，C正确；
对D：若，由，可得：与不共线，
故不是平面的法向量，D错误；
故选：C.
【典例2】（2023秋·湖北荆州·高二沙市中学校考期末）已知正方体的棱长为 1， 以为原点， 为单位正交基底， 建立空间直角坐标系， 则平面的一个法向量是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】如图，，
则，，
设平面的法向量为，
则，即 ，
取，则，
∴平面的一个法向量为∶,
选项中的向量与不共线，D中向量符合题意，
故选︰D．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图的空间直角坐标系中，垂直于正方形所在平面，与平面的所成角为，为中点，则平面的单位法向量______．（用坐标表示）
【答案】
【详解】如图，连接BD，因平面，则是与平面所成的角，即，
在正方形中，，而，则有，
于是得，PB中点，，
设平面的一个法向量为，则，令，得，
与共线的单位向量为，
所以平面的单位法向量.
故答案为：
【变式1】（2023春·高二课时练习）已知平面内的两个向量，，则该平面的一个法向量为（ ）
A．(1，－1，1)B．(2，－1，1)
C．(－2，1，1)D．(－1，1，－1)
【答案】C
【详解】显然与不平行，设该平面的一个法向量为＝(x，y，z)，
则有，即，
令z＝1，得x＝－2，y＝1，所以＝(－2，1，1)，故A，B，D错误.
故选：C.
【变式2】（2023春·高二课时练习）已知四边形是直角梯形，，平面， ， ，求平面的一个法向量．
【答案】
【详解】以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A­xyz，
，
设平面SCD的一个法向量为，
则有，
是平面SCD的一个法向量．
题型02利用向量方法证明线线平行
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）已知在正四棱柱中，,，点为的中点，点F为的中点．
(1)求证：且；
(2)求证：．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）在正四棱柱中，可以建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
（1）由，，，
得且，
所以且．
（2），由于，显然，故．
【典例2】（2023·江苏·高二专题练习）已知长方体中，，，，点、在棱、上，且，，点、分别为、的中点．求证：直线直线．
【答案】证明见解析.
【详解】以点D为原点，分别以、与的方向为x、y与z轴的正方向，建立空间直角坐标系．
则、、、、、、、，
由题意知、、、，
∴，．
∴，又，不共线，
∴.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，已知空间几何体的底面是一个直角梯形，其中,,,，且底面，与底面成角．

(1)若，求该几何体的体积；
(2)若垂直于，证明：；
(3)在（2）的条件下，上是否存在点，使得，若存在，求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)证明见解析
(3)存在．
【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，则，，
，
，
此时；
（2），
，
；
（3）由，E点的竖坐标为，点的竖坐标为，
设，由，得，存在．

【变式1】（2023·江苏·高二专题练习）在正方体中，点在线段上，点在线段上，线段与直线和都垂直，求证：.
【答案】证明见解析
【详解】证明：以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，A1(1，0，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，0，1)，=(-1，1，0)，设=(a，b，c)，
则即取=(1，1，-1).
易知，
∴，
∴，
即PQ∥BD1.
题型03利用向量方法证明线面平行
【典例1】（2023春·四川成都·高二四川省成都市新都一中校联考期中）已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若直线与平面平行，则实数的值为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，
若直线与平面平行，则，即，即，解得.
故选：C．
【典例2】（2023·全国·高三专题练习）在长方体中，是的中点，，且平面，则实数的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】以为原点，分别以，，的方向为，，轴为正方向建立空间直角坐标系，如图所示：
设，，，
则，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，
设平面的法向量为，
所以，当时，，则，
因为平面，所以，
所以，解得，
故选：B
【典例3】（2023·全国·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，其中.平面，且，点在棱上，点为中点.若，证明：直线平面.
【答案】证明见解析
【详解】如图所示，以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
若，则，，
因为平面，平面，所以，
又因为，，平面，
所以平面
平面的其中一个法向量为，
所以，即，
又因为平面，
所以平面.
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图，在四面体中，平面，，，．是的中点，是的中点，点在线段上，且．证明：平面；
【答案】证明见解析
【详解】证明：因为BC⊥CD，AD⊥平面BCD，故以C为原点，CB为x轴，CD为y轴，
过点C作DA的平行线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ,， ，， ,，Q，
(,,0)，
∵平面BCD的法向量可取为，
则，又平面BCD，
∴PQ平面BCD．
【典例5】（2023·全国·高三专题练习）如图，在斜三棱柱 中，已知为正三角形，四边形是菱形，，分别是，的中点，平面⊥平面.
(1)求证：平面；
(2)若，在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)存在，.
【详解】（1）在斜三棱柱 中，连接，如图，
因四边形是菱形，则，又D，E分别是AC，的中点，有，因此，，
因△ABC为正三角形，则，又平面⊥平面，平面平面，平面，
于是得平面，又平面，从而得，
而，平面，
所以平面.
（2）连接，菱形中，，则是正三角形，而D是AC的中点，即有，
由(1)知，两两垂直，以D为原点，射线分别为x，y，z轴非负半轴建立空间直角坐标系，如图，
令，则，
，，
令是平面的一个法向量，则，令得，
假设在线段上存在点M，使得平面，则，令，
，因平面，则，，解得，
所以在线段上存在点M，使得平面，此时.
【变式1】（多选）（2023春·高二课时练习）在正方体中，为中点，若直线平面，则点的位置可能是（ ）
A．线段中点B．线段中点C．线段中点D．线段中点
【答案】ABD
【详解】
如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设的中点分别为，
不妨设棱长为2，则，
，设平面的法向量，则，
令，则，又，
则，
，
又平面，则都平行于平面，即若直线平面，
则点F的位置可能是线段中点，线段中点或线段中点.
故选：ABD.
【变式2】（2023秋·吉林辽源·高二校联考期末）设直线的方向向量为，平面的一个法向量为，．若直线平面，则实数的值为__________．
【答案】-4
【详解】若直线l//平面，则直线l的方向向量与平面的一个法向量垂直，
由此可得，解得.
故答案为：
【变式3】（2023春·高二课时练习）如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在上，且，，求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】因为矩形和矩形所在平面互相垂直，所以互相垂直．
不妨设的长分别为，以为正交基底，建立空间直角坐标系如图所示，
则， ， ， ，
所以.
因为，，
所以.
又平面的一个法向量是
由,得.
因为平面，
所以平面.
【变式4】（2023·江苏·高二专题练习）如图所示，在直三棱柱中，，，，.
(1)求证：；
(2)在上是否存在点，使得平面，若存在，确定点位置并说明理由，若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)在上存在点使得平面，且为的中点．
【详解】（1）因为，，，所以，
如图所示，在直三棱柱中，以为坐标原点，直线、、分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为，，
所以，，即.
（2）若存在点使平面，则，，
，，，，
因为平面，所以存在实数、，使成立，
则，解得，
故在上存在点使平面，此时点为中点.
题型04利用向量方法证明面面平行
【典例1】（2023秋·山东聊城·高二统考期末）已知，分别是平面的法向量，若，则（ ）
A．B．C．1D．7
【答案】B
【详解】因为，分别是平面的法向量，且，
所以，即，解得
故选：B
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，平面平面，四边形为正方形，是直角三角形，且，，，分别是线段，，的中点，求证：平面平面．
【答案】证明过程见详解
【详解】因为平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，
所以AB，AP，AD两两垂直，
以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(0，1，1)，G(1，2，0)．
所以，，，，
设是平面EFG的法向量，
则，，即，得，
令，则，，所以，
设是平面PBC的法向量，
由，，即，得，
令，则，，所以，
所以，所以平面EFG∥平面PBC．
【典例3】（2023·江苏·高二专题练习）已知正方体的棱长为2，，分别是,的中点，
求证：（1）平面；
（2）平面平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】证明：如图，建立空间直角坐标系D-xyz，
则D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1).
（1）设=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则⊥，⊥，
即得令z1=2，则y1=-1，
所以=(0，-1，2).因为·=-2+2=0，所以.
又因为FC1⊄平面ADE，所以FC1∥平面ADE.
（2）=(2，0，0).
设=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量.由⊥，⊥，
得
令z2=2，则y2=-1，所以=(0，-1，2).
因为=，所以平面ADE∥平面B1C1F.
【典例4】（2022·高二课时练习）如图，在正方体中，为底面的中心，是的中点．在棱上是否存在一点，使得平面平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】存在，为的中点.
【详解】当为的中点时，平面平面．
证明如下：设符合题意．连接，，．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，，
∴，，．
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，∴平面的一个法向量为．
若平面平面，则也是平面的一个法向量．
∵，
∴，∴，
又，
∴当为的中点时，平面平面．
【变式1】（2023·全国·高二专题练习）如图，正方体中，、分别为、的中点．
(1)用向量法证明平面平面；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，
则，，，，，，
故，，，，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
设平面的法向量，
则，即，令，则，
所以，即，
故平面平面；
【变式2】（2022·全国·高三专题练习）在正方体中，点，分别是正方形和正方形的中心．求证：
(1)平面；
(2)平面；
(3)平面平面．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【详解】（1）设正方体的边长为，建立如图所示空间直角坐标系，
，
，
，
所以，
由于，所以平面.
（2）设平面的法向量为，
则，故可设.
，
，平面，
所以平面.
（3），
设平面的法向量为，
则，故可设.
，
显然，平面与平面不重合，所以平面平面.
题型05 利用向量方法证明线线垂直
【典例1】（2023·四川雅安·统考模拟预测）已知下面给出的四个图都是各棱长均相等的直三棱柱，为一个顶点，，，分别是所在棱的中点．则满足直线的图形个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】令棱长均相等的直三棱柱为，令的中点为O，的中点为，，
连接，显然，而平面，则平面，而，
以点O为原点，向量的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图，
对于①，点A，D，F分别与点P，O，重合，点E为棱中点，则，
，有，因此，图①满足；
对于②，点A与点P重合，点D，E，F分别棱的中点，
有，，
，与不垂直，图②不满足；
对于③，点A，D，E分别与点P，，O重合，点F为棱的中点，
有，，
，与不垂直，图③不满足；
对于④，点A，F分别与点N，重合，点D，E分别棱的中点，
有，，
，因此，图④满足，
所以满足直线的图形个数是2.
故选：B
【典例2】（多选）（2023春·江苏盐城·高二盐城中学校考期中）点在正方体的侧面及其边界上运动，并保持，若正方体边长为，则的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【详解】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

则点、、，设点，
，，
因为，则，所以，，
所以，.
故选：BC.
【典例3】（2023秋·高二课时练习）如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，建立适当的空间直角坐标系，证明：．

【答案】证明见详解
【详解】证明：以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示：

因为正方体棱长为1，分别是的中点，
所以，
所以，
所以，
由，
所以，
即.
【典例4】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在直棱柱中，，，分别是，，的中点．求证：；
【答案】证明见解析
【详解】因为三棱柱是直三棱柱，
所以面，又面，故，
因为，所以，则两两垂直，
故以为原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，
故，所以，
所以，故.
【变式1】（2023·全国·高三专题练习）设直线的方向向量分别为，若，则实数等于（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【详解】因为，所以，
则，解得.
故选：B.
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图所示，在直三棱柱中，侧棱长为，点，分别在上，为的中点，若，则线段的长度为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】由于直三棱柱，且，所以以为坐标原点，分别以的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，
则．由，可得．
设，则
，，即，解得．
所以
故选：B
【变式3】（2023秋·河南郑州·高二统考期末）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且，其中，以为原点建立空间直角坐标系.
(1)写出点，的坐标；
(2)求证：.
【答案】(1)，
(2)证明见解析
【详解】（1）根据空间直角坐标系可得，.
（2）∵，，
∴，.
即，
∴，
故.
【变式4】（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为的正方体中，、分别是棱、上的动点，且.
(1)求证：；
【答案】(1)证明见解析
【详解】（1）证明：如图建立坐标系
设，则，，，
所以，，
所以，
所以；
题型06利用向量方法证明线面垂直
【典例1】（2023秋·北京石景山·高二统考期末）已知是直线的方向向量，是平面的法向量．若，则下列选项正确的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】若，则，
即，解得，且，即.
故选：C.
【典例2】（2023春·江苏南通·高二海门中学校考期中）正方体的棱长为1，点在线段上，且．点在平面上，且平面，则线段的长为________．
【答案】/
【详解】如图，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，
，则是靠近的线段的三等分点，，
，，
在平面上，设，则，
由AP⊥平面MBD1，得，解得，
所以，．
故答案为：．
【典例3】（2023春·高二课时练习）如图所示，正三棱柱的所有棱长都为2，为的中点．求证：平面.
【答案】证明见解析
【详解】如图所示，取BC的中点O，连接AO，因为△ABC为正三角形，
所以AO⊥BC，
因为在正三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，
平面ABC，则，
，平面BCC1B1，
所以AO⊥平面BCC1B1，
取B1C1的中点O1，以O为坐标原点，
以分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，
所以，
则，
可得，即AB1⊥BA1，AB1⊥BD，
BA1∩BD＝B，平面，
所以AB1⊥平面A1BD.
【典例4】（2023春·四川达州·高二校考阶段练习）在直四棱柱 中，四边形为平行四边形,为的中点，.

(1)求证: 面；
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析；
(2)三棱锥 的体积为.
【详解】（1）方法一：四边形为平行四边形，
，又，
，，又平面，
以为坐标原点，为轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，即，，
，平面，平面.
方法二：因为，，可得，
，
又 ， .
又是直四棱柱，
平面，平面，.
，平面，
平面，平面，
，
取中点，连接，
且，为平行四边形，，
= ，，
，，
又，，
又，平面，
平面；
（2）在中，，
所以，
在中，，
所以，
因为，，，
所以，
所以为直角三角形，其面积，
因为面，
所以三棱锥 的底面上的高为，
在中，，
所以，
所以.
所以三棱锥 的体积为.
【典例5】（2023春·广东汕尾·高二陆丰市龙山中学校考阶段练习）如图，在四棱锥中，
平面，正方形的边长为2，是的中点．
(1)求证：平面．
(2)若，线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析.
【详解】（1）
如图1，连结交于点.
因为是正方形，所以是的中点，
又是的中点，所以.
因为平面，平面，
所以平面.
（2）存在，理由如下：
因为平面，平面，所以．
因为为正方形，所以．
又，平面，平面，
所以平面．
以点为坐标原点，过点作的平行线为轴，分别以为轴，
建立空间直角坐标系，如图2，
则，，，，，，
所以.
令，
则,
所以，所以.
因为，，
设是平面的一个法向量，
则，所以，
取，则是平面的一个法向量.
因为平面，所以，
所以有，解得，所以.
因为，
所以.
【变式1】（2023秋·上海徐汇·高二南洋中学校考期末）已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则______．
【答案】
【详解】因为，
所以，
所以，解得，
所以.
故答案为：.
【变式2】（2023春·高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱，的中点，为面对角线上的一点，且,若平面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】解：以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则 ,
所以，
由,可得，
所以,
平面,
所以,
所以,
即，
解得，
当为线段上靠近的四等分点时，平面.
故选:.
【变式3】（2023·江苏·高二专题练习）如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点.请用空间向量知识解决下列问题：
(1)求证：；
(2)求证：平面.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）因为面面，面面，，面，
所以面，又面，所以，
又因为在正方形中，，所以两两垂直，
以D为原点，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
因为M为EC的中点，所以，
故，，
所以，故即.
（2）由（1）得，，，
所以，则即，
又，故即，
又，平面，
所以平面.
【变式4】（2023·全国·高二专题练习）如图所示，在长方体中，，，、分别、的中点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【详解】（1）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，易知平面的一个法向量为，
，则，
平面，故平面；
（2）设平面的法向量为，，，
由，得，取，可得，
所以，，故平面.
【变式5】（2023·四川绵阳·绵阳中学校考模拟预测）如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧面底面，，分别为，中点，．
(1)求证：平面；
(2)在棱上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)不存在，理由见解析
【详解】（1）连接AC，因为F为BD中点，底面ABCD是正方形，所以F为AC中点，
又E为PA中点，所以，
又平面PBC，平面PBC，
所以平面PBC．
（2）不存在．
假设存在，连接AC，BD，交于点F，EF为平面EDF和平面PAC的交线，
取的中点O，连接，则，
因为侧面底面ABCD，面底面，面，
所以面，又因为面，所以，
以O为原点，OA，OF，OP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．
则，，，，，，，
设，则，，
设平面EFD的一个法向量是，
∵，即，令，则，
∵因为平面EDF，∴，∴，，，
∵，共线，，，
∴，
∴，无解，
故在棱PC上不存在一点G，使平面EDF．
题型07利用向量方法证明面面垂直
【典例1】（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，分别为，的中点，四边形是边长为1的正方形，，．点在直线上，若平面平面，则线段的长为_________．
【答案】/
【详解】连接EO，因，则，而平面，且平面平面，
平面平面，于是得平面，又平面，平面，
即有，，而四边形BCDO是边长为1的正方形，
以O为原点，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立空间直角坐标系，如图，
因，，则，
则，
设，，，
设平面BMN的一个法向量，则，令，得，
设平面ABE的一个法向量，则，令，得，
因为平面平面ABE，则有，即，解得，
所以线段AN的长为．
故答案为：
【典例2】（2023春·高二课时练习）如图所示，是一个正三角形，平面，，且，是的中点．求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz，不妨设CA＝2，则CE＝2，BD＝1，
则，
所以，
设平面ECA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
设平面DEA的一个法向量是，
则，
取，则，即，
因为，所以，
所以平面DEA⊥平面ECA.
【典例3】（2023秋·新疆昌吉·高二校考期末）如图，在四棱锥中，底面，，，，，点为棱的中点．证明：
(1)平面；
(2)平面平面．
【答案】(1)证明过程见详解
(2)证明过程见详解
【详解】（1）因为PA⊥平面ABCD，且AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，
又因为AB⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，平面PAD，所以AB⊥平面PAD，
依题意，以点A为原点，以AB，AD，AP分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，
由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，则，
所以为平面PAD的一个法向量，
又，所以BE⊥AB，
又平面PAD，所以BE∥平面PAD．
（2）由（1）知平面PAD的法向量，，，
设平面PCD的一个法向量为，
则，即，令y＝1，可得z＝1，所以，
又，
所以，所以平面PAD⊥平面PCD．
【典例4】（2023春·高二课时练习）如图1，在边长为2的菱形中，于点，将沿折起到的位置，使，如图2．
(1)求证：平面；
(2)在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在 ，
【详解】（1）证明：，
，
又平面平面，
所以平面，
平面，
，
又平面平面，
平面；
（2）解：存在，理由如下：
平面，
∴ 以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系，

则，
假设在线段上存在一点，使得平面平面，
设，
则，
，
，
设平面的法向量，
由，
得，
令，
得．
设平面的法向量为，
，
故，
取，
得．
因为平面平面，
所以，
解得，
所以在线段上存在点，使得平面平面，且．
【变式1】（2023春·高二课时练习）在三棱柱中，平面，，，，为的中点，求证：平面平面.
【答案】证明见解析
【详解】由题意知直线AB，BC，B1B两两垂直，以点B为坐标原点，
分别以BA，BC，BB1所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(2，0，0)，A1(2，0，1)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，E(0，0，)，
故 ＝(0，0，1)， ＝(－2，2，0)， ＝(－2，2，1)， ，
设平面AA1C1C的法向量为＝(x，y，z)，
则，即
令x＝1，得y＝1，故＝(1，1，0)．
设平面AEC1的法向量为＝(a，b，c)，
则，即,
令c＝4，得a＝1，b＝－1.故＝(1，－1，4)．
因为＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，
所以.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C.
【变式2】（2023·全国·高三专题练习）如图，已知平面四边形中，为的中点，，，且．将此平面四边形沿折成直二面角，连接、，设中点为．
(1)证明：平面平面；
(2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析；
(2)这样的点F存在，为线段BD上靠近点D的一个四等分点
【详解】（1）易得，
所以直二面角的平面角为∠PDA＝90°，
因为平面平面，平面平面，平面，
所以PD平面ABCD，因为平面ABCD，所以PDBC，
又在平面四边形ABCP中，由已知数据可得，，且，
所以BDBC，而PDBD＝D，PD，BD平面PBD，
故BC平面PBD，
因为BC平面PBC，所以平面PBD平面PBC；
（2）假设线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，
则由（1）的分析易知，PDDA，PDDC，DCDA，则以D为原点建立空间直角坐标系如图所示．
所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，4，0)，P(0，0，2)，则PB的中点E(1，1，1)，
因为点F在线段BD上，所以，所以，
则，
又，设平面PBC的法向量为，
所以令则，所以，
因为EF平面PBC，所以，所以，解得，
所以线段BD上存在一点F，使得EF平面PBC，且为线段BD上靠近点D的一个四等分点
A夯实基础 B能力提升 C综合素养
A夯实基础
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）设是平面的一个法向量，是直线l的一个方向向量，则直线l与平面的位置关系是（ ）
A．平行或直线在平面内B．不能确定C．相交但不垂直D．垂直
【答案】A
【详解】因为，所以，
所以直线l与平面的位置关系是平行或直线在平面内.
故选：A.
2．（2023·全国·高三专题练习）设向量是直线l的方向向量，是平面α的法向量，则（ ）
A．B．或C．D．
【答案】B
【详解】，，，
则有，
又是直线l的方向向量，是平面α的法向量，所以或.
故选：B
3．（2023春·河南·高二临颍县第一高级中学校联考开学考试）已知点在平面内，平面，其中是平面的一个法向量，则下列各点在平面内的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】设是平面内的一点，则，
所以，即，选项满足．
故选：B
4．（2023秋·北京石景山·高二统考期末）如图，在三棱锥中，平面，，以A为原点建立空间直角坐标系，如图所示，为平面的一个法向量，则的坐标可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】依题意得，，则
设，则
，取则，所以
故选：D
5．（2023春·浙江杭州·高一杭师大附中校考期中）在正方体中，点P为线段上的动点，M，N分别为棱的中点，若平面，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】方法1：如图所示，建立空间直角坐标系，设正方体边长为2，
可得，，，，，，
设，，
可得,,，可得,,，可得,,，
,
设平面法向量为，，，可得，可得，令，可得，
由于平面，则，可得，
解得，即．
方法2：连接,交于点,则,连接,延长DP交B1D1于G,
由于平面，平面,且平面平面,
所以,
设正方体的棱长为1，则,故直角三角形中，,所以，所以,
由,所以四边形为平行四边形，所以根据,故
故选：A
6．（2023春·江苏连云港·高二校联考期中）已知直线，且l的方向向量为，平面的法向量为，则（ ）
A．1B．C．D．8
【答案】C
【详解】设直线的方向向量为，平面的法向量为，
由，可得，即，解得.
故选：C.
7．（2023·河北衡水·衡水市第二中学校考三模）在正方体中，M是线段（不含端点）上的动点，N为BC的中点，则（ ）
A．B．平面平面
C．平面D．平面
【答案】B
【详解】因为，，，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，故B正确；
以点D为原点，分别以DA，DC，所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，.
设，则，.设平面的法向量为，
则有可取，得.
又，
则，故A不正确；
因为，所以，故D不正确；
因为，所以，故C不正确．
故选：B．

8．（2023秋·湖南娄底·高二湖南省新化县第一中学校考期末）如图， 平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】
如图所示，以为坐标原点， 的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，
由题意可得 ,，
则,
所以，
设平面EFC的法向量为，
则，解得， 令，则，
所以平面EFC的一个法向量为.
因为平面EFC，则，
设，则，所以，
解得，所以，即.
故选：C
二、多选题
9．（2023秋·广东深圳·高二统考期末）已知直线的方向向量为，两个不重合的平面，的法向量分别为，，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】ACD
【详解】对于A：因为，为平面的法向量，所以为平面的一个法向量，所以.故A正确；
对于B：因为为平面的法向量，直线的方向向量为，且，所以或在面内.故B错误；
对于C：因为两个不重合的平面，的法向量分别为，，且，由垂直于同一直线的两平面平行可知：.故C正确；
对于D：因为，所以.
又因为两个不重合的平面，的法向量分别为，，
所以由面面垂直的判定定理可得：.故D正确.
故选：ACD
10．（2023·全国·高三专题练习）如图，矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，AD=DE=4，为线段上的动点，则（ ）
A．
B．若为线段的中点，则平面
C．点B到平面CEF的距离为
D．的最小值为48
【答案】ABC
【详解】因为是矩形，所以，
又因为矩形所在平面与正方形所在平面互相垂直，矩形所在平面与正方形相交于，
所以平面，而平面，
所以，而是正方形，所以，因此建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有，
因为，
所以有，因此选项A正确；
当为线段的中点时，，，，
设平面的法向量为，
于是有，
因为平面，
所以选项B正确；
，，
所以点B到平面CEF的距离为，因此选项C正确；
设，，
，
当时，有最小值47，因此本选项不正确，
故选：ABC
三、填空题
11．（2023春·高二课时练习）已知直线l的方向向量为，平面α的法向量为，若l⊥α，则实数λ的值为________．
【答案】/
【详解】因为l⊥α，所以与共线，
则存在实数m使得，且，
可得，解得，
故答案为：.
12．（2023春·内蒙古呼和浩特·高三统考阶段练习）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是______________ （填写正确的序号）
【答案】①③
【详解】设正方体的棱长为2，
对于①，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以，即，所以①正确，
对于②，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以②错误，
对于③，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以，即，所以③正确，
对于④，如图建立空间直角坐标系，则，
所以，所以，所以与不垂直，即与不垂直，所以④错误，
故答案为：①③
四、解答题
13．（2023·江苏·高二专题练习）如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PC上一点，且．
(1)求证：平面PBC；
(2)求证：平面BDE．
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
因为，所以，所以，
所以，，
所以，，即，，
又因为，平面PBC．
所以平面PBC．
（2）证明：由（1）可得，，．
设平面BDE的法向量为，
则，即令，得，，
则是平面BDE的一个法向量，
因为，所以，
因为平面BDE，所以平面BDE．
14．（2023·全国·高三专题练习）如图，在四棱锥中，底面，，，，点为棱的中点.证明：
(1)；
(2)平面；
(3)平面⊥平面.
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析；
(3)证明见解析.
【详解】（1）证明： 依题意，以点为原点建立空间直角坐标系(如图)，，可得.由为棱的中点，得.
(1)向量，故.
所以.
（2）取的中点，设为，连接， 分别是的中点，且，由题意知，，且，即四边形为平行四边形，即，面面，平面.
（3）底面，底面，，，，，面，，面，面， 平面⊥平面.
B能力提升
1．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，下列四个结论中，正确的是（ ）
A．平面
B．存在点，使平面
C．存在点，使
D．
【答案】D
【详解】当与重合时，又平面，则平面，故A错误；
设正方体的棱长为1，以点为坐标原点，以，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
设，又，∴，
，则，∴，
∵，，∴与不垂直，而平面，则与平面不垂直，故B错误；
，若，则，则，此方程无解，故不存在点，使，故C错误；
∵，，，∴，故D正确．
故选：D．
2．（2023春·高二课时练习）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中将底面为矩形，且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图，在阳马中，平面ABCD，底面ABCD是正方形，E，F分别为PD，PB的中点，点G在线段AP上，AC与BD交于点O，，若平面，则（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【详解】
以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系如图所示，
由题意可得，
则，
所以，
设平面的法向量为，
则，解得，令，则
所以平面的一个法向量为
因为平面，则
设，则，所以
解得，所以，即
故选:C.
3．（多选）（2023春·福建宁德·高二校联考期中）如图，在棱长为1的正方体中，M为边的中点，点P在底面ABCD内运动（包括边界），则下列说法正确的有（ ）

A．存在点，使得
B．过三点、、的正方体的截面面积为
C．四面体的内切球的表面积为
D．点在棱上，且，若，则满足条件的的轨迹是圆
【答案】BC
【详解】对于A，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，则，，，；
若，则，即，与题意矛盾，所以A错误；
对于B，取中点，连接，因为，
所以可得、、、四点共面，
所以过三点、、的正方体的截面为以为底的等腰梯形，
，
过点作，所以，
所以梯形的高为，
所以，，故B正确；

对于C，如下图知：四面体的体积为正方体体积减去四个三棱锥的体积，

可知四面体是棱长为的正四面体，
取的外心，连接，则平面，
则，则，所以，

所以四面体的高，
设四面体的侧面积为，其内切球的半径为，球心为，
，
即，，所以C正确；
对于D，，，∵，∴，
即，可得轨迹为圆：，
所以，圆心，，又，
所以，轨迹为圆：被四边形截得的4段圆弧，
所以D错误；
故选：BC.
4．（多选）（2023春·江西宜春·高二统考阶段练习）如图，在三棱柱中，侧棱底面，，，是棱的中点，是的延长线与的延长线的交点.若点在直线上，则下列结论错误的是( )
A．当为线段的中点时，平面
B．当为线段的三等分点时，平面
C．在线段的延长线上，存在一点，使得平面
D．不存在点，使与平面垂直
【答案】ABC
【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
易知，，，，，，，
所以，，，.
设平面的一个法向量为，
则，取，则，，
所以平面的一个法向量为.
假设平面，且，
则.
因为也是平面的法向量，
所以与共线，
所以成立，
但此方程关于无解，因此不存在点，使与平面垂直，所以选项ABC不正确，选项D正确.
故选：ABC.
C综合素养
1．（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在多面体中，，，都是边长为2的等边三角形，平面平面，平面平面．

(1)判断，，，四点是否共面，并说明理由；
(2)在中，试在边的中线上确定一点，使得平面．
【答案】(1)，，，四点共面，理由见解析
(2)为中点
【详解】（1）答案：四点共面.
证明：取的中点，连接，，取的中点，连接，
则在等边三角形中，，
又因为平面平面，所以平面，
同理，得平面，平面，
所以，，两两垂直，且，
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立的空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，
设，由，即，
解得，，，所以，所以，
又由，，所以，
所以，，共面，
因为为公共点，所以，，，四点共面.
（2）解：设，故，
若平面，则，即，解得，
所以为中点时，平面．

2．（2023春·广西·高二校联考期中）在棱长为2的正方体中，点P满足，其中，．

(1)当时，求三棱锥的体积；
(2)当时，直线BP与平面所成角的正切值的取值范围；
(3)当时，是否存在唯一个点P，使得平面ADP，若存在，求出P点的位置；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)不存在，理由见解析
【详解】（1）当时，，，此时线段，
由于， 平面 , 平面,所以平面,
故，
所以其体积为定值．
（2）当时，，即点P的轨迹为以A为圆心，2为半径的圆弧上，
设 相交于点
因为，，平面，所以平面，直线BP与平面所成角为，

如图，点的轨迹为半圆 ,其中为点轨迹与边的交点，当运动到点时，此时 ,当运动到时，此时,
，，，
．
（3）如图建立空间直角坐标系如图，，
当时，C，，P三点共线，即点线段，
设，由平面ADP得，，，
，
，化简得 ，解得或2．
，故不存在P点满足题意．

3．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，.
(1)求证：平面平面；
(2)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，且平面，是否存在点，使得平面平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【详解】（1）证明：在中，因，
所以，所以，又，
且，平面，所以平面，
又平面，
所以平面平面.
（2）假设存在点，使得平面平面.
取中点为，连接，则，
因为平面平面，
平面平面，
所以平面.
如图所示建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，则，
设是平面的法向量，则，取.
设，其中.
则
连接，因平面平面，平面平面，故取与同向的单位向量.
设是平面的法向量，
则，取.
由平面平面，知，有，解得.
故在侧棱上存在点，使得平面平面.
课程标准
学习目标
①理解与掌握直线的方向向量，平面的法向量.
②会用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系；会用平面法向量证明线面和面面垂直，并能用空间向量这一工具解决与平行、垂直有关的立体几问题.
通过本节的学习，掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念并会求出直线的方向向量与平面的法向量.
能根据所给的条件利用空间向量这一重要工具进行空间几何体的平行、垂直关系的证明明.
线线平行
⇔⇔()
线面平行
⇔⇔
面面平行
⇔⇔
线线垂直
⇔⇔
线面垂直
⇔⇔⇔
面面垂直
⇔⇔⇔