所属成套资源：人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义 （2份打包，原卷版+含解析）
- 人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第07讲 拓展一：异面直线所成角（2份打包，原卷版+含解析） 试卷 0 次下载
- 人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第08讲 拓展二：直线与平面所成角的传统法与向量法（2份打包，原卷版+含解析） 试卷 0 次下载
- 人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第10讲 拓展四：空间中距离问题（2份打包，原卷版+含解析） 试卷 0 次下载
- 人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第12讲 第一章 空间向量与立体几何 测评卷（基础卷）（2份打包，原卷版+含解析） 试卷 0 次下载
- 人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第13讲 第一章 空间向量与立体几何 测评卷（提高卷）（2份打包，原卷版+含解析） 试卷 1 次下载
人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法（2份打包，原卷版+含解析）
展开
这是一份人教A版高中数学(选择性必修第一册)同步讲义第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法（2份打包，原卷版+含解析），文件包含人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第09讲拓展三二面角的传统法与向量法原卷版doc、人教A版高中数学选择性必修第一册同步讲义第09讲拓展三二面角的传统法与向量法含解析doc等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
第09讲 拓展三：二面角的传统法与向量法(含探索性问题）一、知识点归纳1、定义法在二面角的棱上任取一点（通常都是取特殊点，如中点，端点），过该点在两个半平面内作二面角棱的垂线，两垂线所成的角就是二面角的平面角.2、三垂线法三垂线定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：在平面内的一条直线如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直.具体操作步骤（如图在三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中）求二面角 SKIPIF 1 < 0 ：①第一垂：过点 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 引垂线 SKIPIF 1 < 0 （一般是找+证，证明 SKIPIF 1 < 0 ）②第二垂：在平面 SKIPIF 1 < 0 中，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ,垂足为 SKIPIF 1 < 0 ③第三垂：连接 SKIPIF 1 < 0 （解答题需证明 SKIPIF 1 < 0 ）3、射影面积法（ SKIPIF 1 < 0 ）凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（ SKIPIF 1 < 0 ）求出二面角的大小.4、用向量运算求平面与平面的夹角如图，若 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角， SKIPIF 1 < 0 .若 SKIPIF 1 < 0 分别为面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的法向量① SKIPIF 1 < 0 ② SKIPIF 1 < 0 根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；若二面角为锐二面角（取正），则 SKIPIF 1 < 0 ；若二面角为钝二面角（取负），则 SKIPIF 1 < 0 ；题型01利用定义法求二面角（定值）【典例1】（2023·全国·高一专题练习）假设 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 所在平面外一点，而 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是边长为2的正三角形， SKIPIF 1 < 0 ，那么二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】D【详解】取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都是边长为2的正三角形，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .故选：D.【典例2】（2023·全国·高一专题练习）如图，已知正方体 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值的大小．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 ；(2) SKIPIF 1 < 0 ．【详解】（1）连接 SKIPIF 1 < 0 ，交 SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，设 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ,其中点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 二面角 SKIPIF 1 < 0 的正切值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高一专题练习）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小是（ ）A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 【答案】C【详解】 因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小是 SKIPIF 1 < 0 ．故选：C．【变式2】（2023·高一单元测试）如图，在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角，由于三角形 SKIPIF 1 < 0 是等边三角形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以异面直线 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所成的角的大小为 SKIPIF 1 < 0 .（2）在正方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，根据正方体的性质可知 SKIPIF 1 < 0 ，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 .题型02利用三垂线法求二面角（定值） 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）如图，三棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，已知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .则二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值为_____.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】取BC的中点D，连结PD，AD，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面ABC， SKIPIF 1 < 0 平面ABC，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 平面PAD， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面PAD，因为 SKIPIF 1 < 0 平面PAD，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即二面角 SKIPIF 1 < 0 的正弦值是 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023·高一课时练习）已知正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1．(1)求异面直线 SKIPIF 1 < 0 与AC所成角的大小；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）连 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即异面直线 SKIPIF 1 < 0 与AC所成角的大小为 SKIPIF 1 < 0 .（2）设 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 交于 SKIPIF 1 < 0 ，连 SKIPIF 1 < 0 ，因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 就是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角.因为正方体 SKIPIF 1 < 0 的棱长为1，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知如图边长为 SKIPIF 1 < 0 的正方形 SKIPIF 1 < 0 外有一点 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小的正切值______．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 四边形 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角，由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得： SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023·上海·模拟预测）直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若四棱柱体积为36，求二面角 SKIPIF 1 < 0 大小的正切值【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 （2）四棱柱体积 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 点作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 （三垂线定理），故 SKIPIF 1 < 0 即为二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 题型03利用面积投影法求二面角（定值）【典例1】（2023·全国·高二假期作业）如图 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 所在平面垂直，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为_______.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】过 A作 SKIPIF 1 < 0 的延长线于E， 连结 DE，∵平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ∴ E点即为点A在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影， 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 由余弦定理可得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， 又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，设二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .而二面角 SKIPIF 1 < 0 与 SKIPIF 1 < 0 互补，∴二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知长方体 SKIPIF 1 < 0 的底面 SKIPIF 1 < 0 是边长为1的正方形，侧棱 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作平面 SKIPIF 1 < 0 分别交棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 于 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则四边形 SKIPIF 1 < 0 面积的最小值为________.【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】法一：根据题意作图，如图①所示，过点F作FH⊥BD1交BD1于H，设FH＝h.由题意得BD1＝2.因为长方体对面平行，所以截面BFD1E为平行四边形，则 SKIPIF 1 < 0 ，当h取最小值时四边形BFD1E的面积最小.易知h的最小值为直线CC1与直线BD1间的距离.易知当F为CC1的中点时，h取得最小值，hmin＝ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .故四边形BFD1E面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .法二(射影面积法)：设平面BFD1E与底面ABCD的交线为l. 如图②，过D1作D1H⊥l交l于H.连接DH，则∠D1HD为二面角D1lD的平面角，设为θ.根据射影面积公式 SKIPIF 1 < 0 ,得 SKIPIF 1 < 0 ,则当cos θ最大时， SKIPIF 1 < 0 最小.当cos θ最大时，分析易知DH最长.又DH最长为DB＝ SKIPIF 1 < 0 ，所以cos θ最大值为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形BFD1E面积的最小值为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 【变式1】（2023秋·高二课时练习） SKIPIF 1 < 0 的边 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 内的射影是 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 的面积为S，它和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的一个二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 为锐角），则 SKIPIF 1 < 0 的面积是__________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】如图所示，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为A在 SKIPIF 1 < 0 内的射影是 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 即为平面ABC和平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故答案为： SKIPIF 1 < 0 . 【变式2】（2023·全国·高一专题练习）直角三角形 SKIPIF 1 < 0 的斜边在平面 SKIPIF 1 < 0 内，两条直角边分别与平面 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 角，则这个直角三角形所在的平面与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值为________．【答案】 SKIPIF 1 < 0 【详解】过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，不妨设 SKIPIF 1 < 0 分别与平面 SKIPIF 1 < 0 成 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 角，则 SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 ，垂足为 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即所求二面角的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的面积可得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 的面积可得 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，故所求锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 .题型04利用向量法求二面角（定值）【典例1】（2023秋·安徽蚌埠·高二统考期末）如图，已知四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ，二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点. (1)求证： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为直角梯形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以四边形 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 中点 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 知： SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知： SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，在平面 SKIPIF 1 < 0 内过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 两两互相垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 方向分别为 SKIPIF 1 < 0 轴正方向，建立空间直角坐标系， 则 SKIPIF 1 < 0 ，从而 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由题意知，二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐二面角，所以二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .【典例2】（2023春·江苏连云港·高二统考期中）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 与底面所成的角为45°，底面 SKIPIF 1 < 0 为直角梯形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． (1)求直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）解：因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 与底面所成的角为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所在直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直线 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．（2）解：根据题意，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的锐二面角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ． 【典例3】（2023春·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在正四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 向平面 SKIPIF 1 < 0 作垂线，垂足为 SKIPIF 1 < 0 . (1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，求二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点，又由（1）知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 的方向量为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 .设二面角 SKIPIF 1 < 0 的平面角为 SKIPIF 1 < 0 ，由图可知二面角 SKIPIF 1 < 0 为锐角，所以 SKIPIF 1 < 0 . 【变式1】（2023·海南海口·海南华侨中学校考一模）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是矩形， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为线段 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的中点，连接 SKIPIF 1 < 0 ，延长 SKIPIF 1 < 0 并与 SKIPIF 1 < 0 的延长线交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 . (1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 (2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角的正弦值.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 .【详解】（1）∵ SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，∴ME为 SKIPIF 1 < 0 的中位线，∴ SKIPIF 1 < 0 .又∵ SKIPIF 1 < 0 平面PFD， SKIPIF 1 < 0 平面PFD，∴ SKIPIF 1 < 0 平面PFD.（2）以A为坐标原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵x轴⊥平面PEA，∴设平面PEA的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，平面PEF的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴平面APE与平面PEF所成角的正弦值为 SKIPIF 1 < 0 . 【变式2】（2023春·四川宜宾·高二四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点. (1)求三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值.【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）因为四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形，所以 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点，所以 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ，四边形 SKIPIF 1 < 0 是菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴三棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积为 SKIPIF 1 < 0 .（2）取棱 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则有 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 . SKIPIF 1 < 0 两两垂直，故以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 的方向为 SKIPIF 1 < 0 轴的正方向，建立空间直角坐标系.因 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 . 因 SKIPIF 1 < 0 是棱 SKIPIF 1 < 0 上的中点，则 SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 .故平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .题型05利用向量法求二面角（最值或范围）【典例1】（江苏省徐州市2022-2023学年高二下学期期末数学试题）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别在棱 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 上． (1)当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时，求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角余弦值的最大值．【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 ．【详解】（1）因为底面 SKIPIF 1 < 0 为正方形，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底建立空间坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ． 当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．（2）当 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 中点时， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 是平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量．设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ．令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最大值 SKIPIF 1 < 0 ．所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角余弦值的最大值为 SKIPIF 1 < 0 ．【典例2】（2023春·江苏扬州·高二统考期中）如图，在三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，底面是边长为2的等边三角形， SKIPIF 1 < 0 分别是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内的射影为 SKIPIF 1 < 0 . (1)求证： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若点 SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 的中点，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离；(3)若点 SKIPIF 1 < 0 为线段 SKIPIF 1 < 0 上的动点（不包括端点），求锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 (3) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）法一：连结 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，由题设知四边形 SKIPIF 1 < 0 为菱形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .法二：由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 为等边三角形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 中点， SKIPIF 1 < 0 ，则以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点， SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .法三：（同法二建系）设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 不妨取 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 （2）由（1）坐标法得 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 （或 SKIPIF 1 < 0 ） SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 点到F到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离= SKIPIF 1 < 0 （3） SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；由（1）知： SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 （或者由（1）中待定系数法求出法向量）；设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，即锐二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值的取值范围为 SKIPIF 1 < 0 .【典例3】（2023春·江苏淮安·高二金湖中学校联考阶段练习）如图①所示，长方形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是边 SKIPIF 1 < 0 的中点，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得到图②的四棱锥 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积的最大值；(2)设 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，求平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值．【答案】(1) SKIPIF 1 < 0 (2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）取 SKIPIF 1 < 0 的中点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 点到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离最大，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积取得最大值，此时 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，底面 SKIPIF 1 < 0 为梯形， SKIPIF 1 < 0 ，则四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积最大值为 SKIPIF 1 < 0 .（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的平面角，即 SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，分别以DA，DC，DZ所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，由题意得 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面PAM的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设两平面夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 的对称轴为 SKIPIF 1 < 0 ，所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 有最小值 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 和平面 SKIPIF 1 < 0 夹角余弦值的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ．【变式1】（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨市第六中学校校考三模）已知直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点，D为棱 SKIPIF 1 < 0 上的动点. SKIPIF 1 < 0 . (1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)求平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角正弦值的最小值及此时点 SKIPIF 1 < 0 的位置.【答案】(1)证明见解析(2)最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 为靠近 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的四等分点【详解】（1）因为三棱柱 SKIPIF 1 < 0 是直三棱柱，所以 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以 SKIPIF 1 < 0 为原点，分别以 SKIPIF 1 < 0 所在直线为 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .（2）设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面DEF所成的二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时 SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 与平面DEF所成的二面角正弦值的最小值为 SKIPIF 1 < 0 ，此时点 SKIPIF 1 < 0 为靠近 SKIPIF 1 < 0 的 SKIPIF 1 < 0 的四等分点.【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中，底面 SKIPIF 1 < 0 是平行四边形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 是线段 SKIPIF 1 < 0 的中点，点 SKIPIF 1 < 0 在线段 SKIPIF 1 < 0 上且满足 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 面 SKIPIF 1 < 0 (1)当 SKIPIF 1 < 0 时，证明： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)当 SKIPIF 1 < 0 为何值时，平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 所成的二面角的正弦值最小？【答案】(1)证明见详解(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）设 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 // SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 //平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）连接 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得： SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 面ABCD，如图，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点建立空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设点 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，设平面BFE的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可得：平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量 SKIPIF 1 < 0 ，设平面BFE与平面PBD所成的二面角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，由题意可知： SKIPIF 1 < 0 ，则有：当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ；当 SKIPIF 1 < 0 时，则 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，关于 SKIPIF 1 < 0 的二次函数 SKIPIF 1 < 0 开口向上，对称轴 SKIPIF 1 < 0 ，当 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ；综上所述： SKIPIF 1 < 0 .所以当 SKIPIF 1 < 0 时， SKIPIF 1 < 0 取到最大值 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 取到最小值 SKIPIF 1 < 0 .即当 SKIPIF 1 < 0 时，平面BFE与平面PBD所成的二面角的正弦值最小.题型06已知二面角求参数【典例1】（2022秋·山西运城·高二山西省运城中学校校联考期中）在直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，沿直线 SKIPIF 1 < 0 把直角坐标系折成 SKIPIF 1 < 0 的二面角，则 SKIPIF 1 < 0 的长度为___________.【答案】8【详解】如图，分别作 SKIPIF 1 < 0 垂直于直线 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，则由等腰直角三角形的性质可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .若沿直线 SKIPIF 1 < 0 把直角坐标系折成 SKIPIF 1 < 0 的二面角，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 因为二面角的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，代入上式可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的长度为 SKIPIF 1 < 0 .故答案为：8.【典例2】（2023·安徽滁州·校考模拟预测）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是边长为2的菱形， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 .(1)证明：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，且二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，求四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的体积.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）由题意，证明如下：在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点，∴ SKIPIF 1 < 0 .在四棱锥 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，∴平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .（2）由题意及（1）得，连接 SKIPIF 1 < 0 .在 SKIPIF 1 < 0 中，三角形为等边三角形，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 两两垂直，建立空间直角坐标系如下图所示：设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 .平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，∵二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2022·高二课时练习）如图，在长方体 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，点 SKIPIF 1 < 0 在棱 SKIPIF 1 < 0 上．若二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 的坐标为______，点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 ___【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 【详解】设 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．由题可知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．易知平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，∴ SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，又二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．故答案为： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 【变式2】（2023·黑龙江大庆·大庆实验中学校考模拟预测）如图，四棱锥 SKIPIF 1 < 0 的底面是矩形， SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点.(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)若二面角 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 ，求点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1） SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 .（2） SKIPIF 1 < 0 底面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，故以 SKIPIF 1 < 0 为正交基底，建立空间直角坐标系，设 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得： SKIPIF 1 < 0 ，故取 SKIPIF 1 < 0 ，取平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，故点 SKIPIF 1 < 0 到平面 SKIPIF 1 < 0 的距离 SKIPIF 1 < 0 .题型07二面角中的探索性问题【典例1】（2023秋·湖南郴州·高二统考期末）如图2，在 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折，使点D到达点P位置（如图3），且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．(1)求证：平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ；(2)设Q是线段 SKIPIF 1 < 0 上一点，满足 SKIPIF 1 < 0 ，试问：是否存在一个实数 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)存在， SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）在 SKIPIF 1 < 0 中，由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，过点 SKIPIF 1 < 0 作 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，如图所示，又平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ．（2）由题知 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 设 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量，由 SKIPIF 1 < 0 ， 令 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，又易得平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，故存在实数 SKIPIF 1 < 0 使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ．【典例2】（2023春·云南昆明·高二昆明一中校考期中）如图1，在平面四边形 SKIPIF 1 < 0 中， SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，将 SKIPIF 1 < 0 沿 SKIPIF 1 < 0 翻折到 SKIPIF 1 < 0 的位置，使得平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ，如图2所示.(1)设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线为 SKIPIF 1 < 0 ，求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)在线段 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 （点 SKIPIF 1 < 0 不与端点重合），使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)存在，理由见解析.【详解】（1）证明:延长 SKIPIF 1 < 0 相交于点 SKIPIF 1 < 0 ，连接 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 为平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的交线 SKIPIF 1 < 0 ，由平面 SKIPIF 1 < 0 ⊥平面 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 ∥ SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，（2）由（1）知： SKIPIF 1 < 0 ，以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，以 SKIPIF 1 < 0 所在的直线分别为 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴、 SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系，如图所示，可得 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 （其中 SKIPIF 1 < 0 ），则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，设平面QBD的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， 令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又由 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 则 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点 SKIPIF 1 < 0 为 SKIPIF 1 < 0 的中点时，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 .【变式1】（2023·全国·校联考模拟预测）在直四棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，四边形 SKIPIF 1 < 0 为平行四边形，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .(1)求证： SKIPIF 1 < 0 ；(2)若 SKIPIF 1 < 0 ，探索在棱 SKIPIF 1 < 0 上是否存在一点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ？若存在，求出 SKIPIF 1 < 0 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2) SKIPIF 1 < 0 【详解】（1）证明：由题意知 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .过 SKIPIF 1 < 0 在平面 SKIPIF 1 < 0 内作直线 SKIPIF 1 < 0 交 SKIPIF 1 < 0 于点 SKIPIF 1 < 0 ，因为平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .因为 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）由（1）知 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故以 SKIPIF 1 < 0 为坐标原点，直线 SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴， SKIPIF 1 < 0 轴建立空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 （负根舍），所以在棱 SKIPIF 1 < 0 存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得二面角 SKIPIF 1 < 0 的大小为 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 .【变式2】（2023秋·云南昆明·高二统考期末）如图，在直三棱柱 SKIPIF 1 < 0 中，侧面 SKIPIF 1 < 0 为正方形， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分别为 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 的中点， SKIPIF 1 < 0 为棱 SKIPIF 1 < 0 上的点.(1)证明： SKIPIF 1 < 0 ；(2)是否存在点 SKIPIF 1 < 0 ，使得平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 夹角的余弦值为 SKIPIF 1 < 0 ？如果不存在，请说明理由；如果存在，求线段 SKIPIF 1 < 0 的长.【答案】(1)证明见解析(2)存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件【详解】（1）证明：由题意， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 两两垂直，以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 SKIPIF 1 < 0 ，设 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .（2）由题意， SKIPIF 1 < 0 平面 SKIPIF 1 < 0 ，所以平面 SKIPIF 1 < 0 的一个法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，因为 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 的法向量为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，设平面 SKIPIF 1 < 0 与平面 SKIPIF 1 < 0 的夹角为 SKIPIF 1 < 0 ，则 SKIPIF 1 < 0 ，整理得， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以存在点 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 满足条件.
