湖南省长沙市浏阳市2023-—2024学年上学期 八年级数学期中质量监测试题

这是一份湖南省长沙市浏阳市2023-—2024学年上学期 八年级数学期中质量监测试题，共22页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
2．（3分）小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为4cm和7cm，小红手上有四根木棒，长度如下：2cm，3cm，8cm，12cm，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形，小明应选长为（ ）的木棒．
A．2 cmB．3cmC．8cmD．12cm
3．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学依据是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
4．（3分）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（3分）在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ ）
A．线段ACB．线段BDC．线段DCD．线段DE
6．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．HL
7．（3分）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
8．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180°B．210°C．240°D．270°
9．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54°B．56°C．60°D．66°
10．（3分）在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（﹣4，1）关于x轴对称的点的坐标是 ．
12．（3分）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 cm．
13．（3分）如图，已知∠A＝27°，∠CBD＝82°，则∠C＝ ．
14．（3分）如图所示，已知点B、C、F、E，∠1＝∠2，AF＝CD，要使△ABF≌△DEC那么可以补充哪一个条件 ．（只填一个即可）
15．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 ．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）8﹣|﹣5|+（﹣4）×（﹣3）；
（2）．
18．（6分）先化简，再求值：2（a2﹣2a+3）﹣3（a2+2a﹣1），其中a＝2．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）请面出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
20．（8分）如图，∠1＝∠2，AB＝AE，AC＝AD．求证：BC＝ED．
21．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若CD＝3，求BD的长．
23．（9分）如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于点M，CN⊥PB于点N，D，E分别是边PA和 PB上的点，且CD＝CE．求证：
（1）△CMD≌△CNE；
（2）∠APB+∠DCE＝180°．
24．（10分）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．
25．（10分）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
2023-2024学年湖南省长沙市浏阳市八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中涂填涂符合题意的选项。本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术，下列剪纸作品中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：观察图形可知，选项D是轴对称图形，A，B，C选项不是轴对称图形．
故选：D．
2．（3分）小明和小红两位小朋友在做拼三角形的游戏，小明手上有两根木棒长分别为4cm和7cm，小红手上有四根木棒，长度如下：2cm，3cm，8cm，12cm，小明从小红手中选一根要能拼成一个三角形，小明应选长为（ ）的木棒．
A．2 cmB．3cmC．8cmD．12cm
【解答】解：设选择的木棒长为x，
由题意得7﹣4＜x＜4+7，即3＜x＜11，
∴选择木棒长度为8cm．
故选：C．
3．（3分）如图，人字梯中间一般会设计一“拉杆”，以增加使用梯子时的安全性，这样设计蕴含的数学依据是（ ）
A．两直线平行，内错角相等
B．垂线段最短
C．两点之间，线段最短
D．三角形具有稳定性
【解答】解：由题意知，这样设计蕴含的数学依据是三角形具有稳定性，
故选：D．
4．（3分）如图，∠1＝40°，则∠C的度数为（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：由题意可知：∠BAC＝∠1＝40°，
∴∠C＝90°﹣∠BAC＝50°，
故选：C．
5．（3分）在如图所示的尺规作图中，与AD相等的线段是（ ）
A．线段ACB．线段BDC．线段DCD．线段DE
【解答】解：由作图可知，DE垂直平分线段AB，
∴DA＝DB，
故选：B．
6．（3分）如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线OC，作法用到的三角形全等的判定方法是（ ）
A．SASB．SSSC．ASAD．HL
【解答】解：由图可知，CM＝CN，又OM＝ON，OC为公共边
∴△COM≌△CON（SSS）
∴∠AOC＝∠BOC
即OC即是∠AOB的平分线．
故选：B．
7．（3分）下列多边形中，对角线是5条的多边形是（ ）
A．四边形B．五边形C．六边形D．七边形
【解答】解：由题意得，＝5，
解得：n＝5，（负值舍去），
故选：B．
8．（3分）如图，在五边形ABCDE中，AB∥ED，∠1，∠2，∠3分别是∠ABC，∠BCD，∠CDE的外角，则∠1+∠2+∠3的度数为（ ）
A．180°B．210°C．240°D．270°
【解答】解：反向延长AB，DC，
∵AB∥ED，
∴∠4+∠5＝180°，
根据多边形的外角和定理可得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5＝360°，
∴∠1+∠2+∠3＝360°﹣180°＝180°．
故选：A．
9．（3分）如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（ ）
A．54°B．56°C．60°D．66°
【解答】解：
∵△ABC≌△DEF，
∴∠F＝∠C＝∠1，
∵∠A＝54°，∠B＝60°，
∴∠1＝∠C＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣54°﹣60°＝66°，
故选：D．
10．（3分）在如图的三角形纸片中，AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝5cm，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在AB上的点E处，折痕为BD，则△AED的周长为（ ）
A．5cmB．6cmC．7cmD．8cm
【解答】解：由折叠的性质得：BE＝BC＝6cm，DE＝DC，
∴AE＝AB﹣BE＝AB﹣BC＝8﹣6＝2（cm），
∴△AED的周长＝AD+DE+AE＝AD+CD+AE＝AC+AE＝5+2＝7（cm），
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）点P（﹣4，1）关于x轴对称的点的坐标是 （﹣4，﹣1） ．
【解答】解：点P（﹣4，1）关于x轴对称的点的坐标为（﹣4，﹣1）．
故答案为（﹣4，﹣1）．
12．（3分）用一根长12cm的铁丝围成一个等边三角形，那么这个等边三角形的边长为 4 cm．
【解答】解：12÷3＝4（cm）．
答：这个等边三角形的边长为4cm．
故答案为：4．
13．（3分）如图，已知∠A＝27°，∠CBD＝82°，则∠C＝ 55° ．
【解答】解：∵∠CBD是△ABC的外角，∠A＝27°，∠CBD＝82°，
∴∠C＝∠CBD﹣∠A＝55°．
故答案为：55°．
14．（3分）如图所示，已知点B、C、F、E，∠1＝∠2，AF＝CD，要使△ABF≌△DEC那么可以补充哪一个条件 ∠B＝∠E ．（只填一个即可）
【解答】解：∠B＝∠E，
理由是：∵在△ABF和△DEC中
，
∴△ABF≌△DEC（AAS），
故答案为：∠B＝∠E．
15．（3分）如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC＝4，DE＝2，则△BCD的面积是 4 ．
【解答】解：∵CD平分∠ACB，DE⊥AC，DF⊥BC，
∴DF＝DE＝2，
∴S△BCD＝•BC×DF＝×4×2＝4
故答案为：4．
16．（3分）如图所示，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，EF垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点G，点P为直线EF上一动点，则△ABP周长的最小值是 7 ．
【解答】解：连接PC，如图，
∵EF垂直平分BC，
∴B、C关于EF对称，
∴PB＝PC，
∴AP+BP＝AP+CP≥AC，
当P和D重合时，AP+BP＝AC的值最小，
∴△ABP周长的最小值是AC+AB＝4+3＝7．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）计算：
（1）8﹣|﹣5|+（﹣4）×（﹣3）；
（2）．
【解答】解：（1）8﹣|﹣5|+（﹣4）×（﹣3）
＝8﹣5+12
＝15；
（2）
＝﹣1﹣××（﹣）
＝﹣1+1
＝0．
18．（6分）先化简，再求值：2（a2﹣2a+3）﹣3（a2+2a﹣1），其中a＝2．
【解答】解：2（a2﹣2a+3）﹣3（a2+2a﹣1）
＝2a2﹣4a+6﹣3a2﹣6a+3
＝（2﹣3）a2﹣（4+6）a+（6+3）
＝﹣a2﹣10a+9，
当a＝2时，
原式＝﹣22+10×2+9＝﹣4﹣20+9＝﹣15．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣4，4），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）请面出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（2）直接写出A1，B1，C1三点的坐标；
（3）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）由（1）得A1（4，4），B1（2，0），C1（1，2）；
（3）△ABC的面积为3×4﹣﹣﹣＝4．
20．（8分）如图，∠1＝∠2，AB＝AE，AC＝AD．求证：BC＝ED．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠EAC＝∠2+∠EAC，
即∠BAC＝∠EAD，
在△ABC和△AED中，
，
∴△ABC≌△AED（SAS），
∴BC＝ED．
21．（8分）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E．
（1）求证：∠C＝∠CDE．
（2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵DE∥AB，
∴∠CED＝∠B，
∴∠C＝∠CDE；
（2）△DEC是等边三角形，
理由：∵DE∥AB，
∴∠DEC＝∠A＝60°，
由（1），△DEC是等腰三角形，
∴△DEC是等边三角形．
22．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，垂足为点E，DE交BC于点D，连接AD．
（1）求证：AD平分∠CAB；
（2）若CD＝3，求BD的长．
【解答】（1）证明：∵DE是AB的垂直平分线，
∴DB＝DA，
∴∠DAB＝∠DBA＝30°．
∵∠C＝90°，∠B＝30°，
∴∠CAD＝∠BAD＝30°，
∴AD平分∠CAB．
（2）解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，
∴DC＝DE．
∵DC＝DE，CD＝3，
∴DE＝3．
∵∠B＝30°，DE⊥AB，
∴BD＝2DE＝6．
23．（9分）如图，PC平分∠APB，CM⊥PA于点M，CN⊥PB于点N，D，E分别是边PA和 PB上的点，且CD＝CE．求证：
（1）△CMD≌△CNE；
（2）∠APB+∠DCE＝180°．
【解答】证明：（1）∵PC平分∠APB，CM⊥PA于M，CN⊥PB于N，
∴CM＝CN，
在Rt△DCM与Rt△ECN中，
，
∴Rt△CMD≌Rt△CNE（HL）；
（2）由（1）知：Rt△DCM≌Rt△ECN（HL），
∴∠DCM＝∠ECN，
∴∠MCN＝∠MCD+∠DCN＝∠ECN+∠DCN＝∠DCE，
∵∠PMC+∠PNC+∠APB+∠MCN＝90°+90°+∠APB+∠MCN＝360°，
∴∠APB+∠MCN＝180°，
∴∠APB+∠DCE＝180°．
24．（10分）规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．
从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”；
（2）如图2，在△ABC中，CD为∠ACB的平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的“等角分割线”；
（3）在△ABC中，若∠A＝50°，CD是△ABC的“等角分割线”，请求出所有可能的∠ACB的度数．
【解答】（1）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠ACB＝∠ADC＝∠BDC＝90°，∠A+∠B＝∠A+∠ACD＝∠B+∠BCD＝∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠A＝∠BCD，∠B＝∠ACD，
∴△ABC与△ACD；△ABC与△BCD；△ACD与△BCD是“等角三角形”．（任意写出两对“等角三角形”即可）
（2）证明：在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°，
∵CD为角平分线，
∴，
∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，
∴CD＝AD，
∴△ACD是等腰三角形，
∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，
∴∠BDC＝∠ACB，
∴△BCD与△ABC是“等角三角形”，
∴CD为△ABC的等角分割线；
（3）解：由题意，分以下四种情况：
①当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝∠BDC＝50°+50°＝100°；
②当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝65°，∠BCD＝∠A＝50°，
∴∠ACB＝65°+50°＝115°；
③当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，，
∴；
④当△BCD是等腰三角形，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，
设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，
∴∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，
由三角形的外角性质得：∠A+∠ACD＝∠BDC，即50°+180°﹣2x＝x，
解得，
∴；
综上，∠ACB的度数为100°或115°或或．
25．（10分）在等边△ABC中，点D是边BC上一点．作射线AD，点B关于射线AD的对称点为点E．连接CE并延长，交射线AD于点F．
（1）如图①，连接AE，
①AE与AC的数量关系是 AE＝AC ；
②设∠BAF＝a，用a表示∠BCF的大小；
（2）如图②，用等式表示线段AF，CF，EF之间的数量关系，并证明．
【解答】解：（1）①∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴AE＝AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC，
∴AE＝AC．
故答案为：AE＝AC．
②解：∵∠BAF＝∠EAF＝α，△ABC是等边三角形，
∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，
∴∠EAC＝60°﹣2α，AE＝AC，
∴∠ACE＝[180°﹣（60°﹣2α）]＝60°+α，
∴∠BCF＝∠ACE﹣∠ACB＝60°+α﹣60°＝α．
（2）结论：AF＝EF+CF．
证明：如图，作∠FCG＝60°交AD于点G，连接BF．
∵∠BAF＝∠BCF＝α，∠ADB＝∠CDF，
∴∠ABC＝∠AFC＝60°，
∴△FCG是等边三角形，
∴GF＝FC，
∵△ABC是等边三角形，
∴BC＝AC，∠ACB＝60°，
∴∠ACG＝∠BCF＝α，
在△ACG和△BCF中，
，
∴△ACG≌△BCF（SAS）．
∴AG＝BF，
∵点B关于射线AD的对称点为E，
∴BF＝EF，
∴AF﹣AG＝GF，
∴AF＝EF+CF．