2023-2024学年河北省石家庄二十七中高二上学期开学考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年河北省石家庄二十七中高二上学期开学考数学试题含答案，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若复数，则复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据复数的运算法则，化简得复数，结合复数的概念，即可求解.
【详解】由复数，所以复数的虚部为.
故选：D.
2．的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】.
故选：A
3．“，”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先计算出，为真命题的充要条件，从而得到答案.
【详解】，，只需在上的最大值小于等于，
其中，故，解得，
因为，但，
所以是“，”为真命题的一个充分不必要条件，C正确；
其他三个选项均不是充分不必要条件.
故选：D
4．已知，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用乘1法即得.
【详解】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.
故选：A.
5．已知，那么的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先由指数式化对数式可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质可求得的值.
【详解】因为，则，，
所以，.
故选：A.
6．如图，在中，，P是BN上一点，若，则实数t的值为（ ）

A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题意设，由向量的线性运算可得，再根据已知列等式计算即可求出.
【详解】由题意，是上一点，设，
则，
又，所以，
所以，
所以，解得.
故选：C
7．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数性质运算求解即可
【详解】因为函数开口向上，对称轴为，
若函数在区间上是增函数，
则，所以，故实数的取值范围是；
故选：A．
8．中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世．如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为和，在A处测得楼顶部M的仰角为，则鹳雀楼的高度约为（ ）

A．74mB．60mC．52mD．91m
【答案】A
【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，从而得到的长度.
【详解】在中，，
，，
在中，，
由，，
在中，.
故选：A
二、多选题
9．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，下列说法正确的是（ ）
A．平均数是3B．平均数是8
C．方差是11D．方差是36
【答案】BD
【详解】代入平均数和方差公式，即可求解.
【分析】，，，…，的平均数为，方差为，则，，
所以数据，，…，的平均数为，
方差为.
故选：BD.
10．已知向量，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，在上的投影向量的坐标为
C．若，则
D．存在，使得
【答案】AB
【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合投影向量的定义、平面向量垂直的性质逐一判断即可.
【详解】，因此选项A正确；
当时，，，
因为 ，
所以在上的投影向量的坐标为，因此选项B正确；
因为，
所以有，因此选项C不正确；
，该方程无实根，
因此选项D不正确，
故选：AB
11．如图，在正方体中，为的中点（ ）

A．平面
B．
C．若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
【答案】ABC
【分析】利用线线平行可判定A项，利用线面垂直可判定B项，利用等体积法转化可判定C项，利用线面角的定义结合C项结论可判定D项.
【详解】
对于A项，连接BD交AC于O点，连接OE，易知OE为的中位线，
即，∵面，面，∴平面，故A正确；
对于B项，连接，由正方体的性质易知，
又面，∴面，
而面，即，故B正确；
对于C项，由正方体的性质知：点到平面的距离等于点D到平面的距离，设该距离为，若正方体棱长为1，则，
，故C正确；
对于D项，假设D点在面ACE的投影为M，连接AM，则AD与面ACE的夹角为，
由C选项结论可知若正方体棱长为1，则有，故D错误.
故选：ABC
12．函数的部分图象如图所示，下列结论中正确的是（ ）

A．函数的周期为
B．直线是函数图象的一条对称轴
C．函数的单调递增区间为
D．函数是偶函数
【答案】ACD
【分析】由图计算周期，判断选项A，从而得，代入最小值计算出值，得函数的解析式，代入计算判断选项B，利用整体法计算函数的单调递增区间，判断选项C，写出函数的解析式并化简，判断选项D.
【详解】由图可知，，解得，故A正确；
所以，又因为，所以，
得，因为，所以，
所以，将代入解析式可得，
所以不是函数图象的对称轴，故B错误；
由整体法可得，，
得，
所以函数的单调递增区间为，故C正确；
，
所以函数是偶函数，故D正确.
故选：ACD
三、填空题
13．，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，下列命题中正确的个数是 .
①若，，则； ②若，，则；
③若，，则； ④若，，，则.
【答案】2
【分析】由面面平行的性质可得①正确；
若，，则 平行或异面，②错误；
由面面垂直的性质定理可知③正确；
根据线面垂直判定定理可知④错误.
【详解】由面面平行的性质可得①正确；
若，，则 平行或异面，②错误；
由面面垂直的性质定理可知③正确；
若，，，因为不一定在平面内，
所以不一定垂直，故④错误；
故答案为：2.
14．若函数f(x)＝lg（x2﹣mx+1）的定义域为R，则实数m的取值范围是 ．
【答案】(-2,2)
【分析】根据定义域为R得到在R上恒成立，然后列不等式求解即可.
【详解】由题意得在R上恒成立，所以，解得.
故答案为：.
15．设函数 ．
【答案】
【分析】利用分段函数的解析式求出和再相加可得结果.
【详解】，
，
，
.
故答案为：.
16．已知，为锐角，且，，则的值为 ．
【答案】
【分析】根据同角三角形函数关系及角的范围得到和，利用凑角法及余弦差角公式进行计算.
【详解】∵，，
∴．
由，得．
又，
∴．
∴
故答案为：
四、解答题
17．已知命题为假命题.
(1)求实数的取值集合；
(2)设集合，若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值集合.
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）根据一元二次方程无解，即可由判别式求解，
（2）根据集合的包含关系，即可分类讨论求解.
【详解】（1）当时，原式为，此时存在使得，故不符合题意，舍去；
当时，要使为假命题，此该一元二次方程无实数根，所以
故；
（2）由题意可知是A的真子集；
当时，；
当时，
所以的取值范围是或，
18．已知向量，满足，且，.
(1)求与的夹角；
(2)求.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量数量积求与的夹角；
（2）利用向量数量积求向量的模.
【详解】（1），，与的夹角为，
，
，由，得.
（2）.
19．某高校承办了杭州亚运会志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.

(1)求a，b的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的60%分位数（分位数精确到0.1）；
(3)在第四，第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）由每个小矩形面积代表频率，根据所有频率之和为1可得，；
（2）直接第60百分位数即可；
（3）先分层抽样求出列举法求出抽取的第四、第五两组志愿者人数，再利用列举法求出古典概型的概率即可．
【详解】（1）因为第三、四、五组的频率之和为0.7，
所以，解得，
所以前两组的频率之和为，即，
所以；
（2）前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，
所以第60百分位数在第三组，且为；
（3）第四、第五两组志愿者分别有20人，5人，
故按照分层抽样抽得的第四组志愿者人数为4，分别设为，，，，第五组志愿者人数为1，设为，
这5人中选出2人，所有情况有，
共有10种情况，
其中选出的两人来自不同组的有共4种情况，
故选出的两人来自不同组的概率为．
20．在中，的对边分别为，且．
(1)求的大小；
(2)已知，求的面积的最大值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用同角三角函数的关系将已知等式统一成正弦的形式，再利用正弦定理统一成边的形式，然后利用余弦定理可求得结果，
（2）利用基本不等式可求得，然后利用三角形的面积公式可求得其最大值.
【详解】（1）因为，
所以
即，
所以由正弦定理得，
所以由余弦定理得，
因为，所以，
（2）因为，，所以，
即，当且仅当时取等号，
所以，当且仅当时取等号，
所以的面积的最大值为.
21．如图，已知四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，是的中点．

(1)证明：；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形的性质可得，结合，推出平面，得到，证明平面，即可证明．
（2）利用，转化求解即可．
【详解】（1）证明：因为底面是边长为2的正方形，，所以，
因为是的中点，所以,
因为平面，平面，所以，
因为四边形为正方形，所以，
因为，平面，所以平面，
因为平面，所以，
因为，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
（2）设点到平面的距离为，
因为平面，平面，所以，
因为，所以为等腰直角三角形，
因为是的中点，所以，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以，
因为是的中点，平面，所以点到平面的距离为，
因为，所以，
所以，解得，
所以点到平面的距离为.
22．已知，函数．
(1)求图象的对称中心坐标及其在内的单调递增区间；
(2)若函数，计算的值．
【答案】(1),Z ，;
(2)
【分析】（1）利用向量的数量积运算以及三角恒等变形求得函数解析式，利用正弦函数的性质求得对称中心以及单调递增区间；
（2）利用函数的周期性求解.
【详解】（1）由已知得
令Z ，解得Z ，
所以图象的对称中心坐标为,Z ，
令Z ,解得，Z ，
所以在内的单调递增区间为.
（2），该函数周期为，
所以，，，，，
因为函数周期为，且，
所以
，
而
，
所以.