2023-2024学年陕西省渭南市尚德中学高二上学期第一次质量检测数学试题含答案

这是一份2023-2024学年陕西省渭南市尚德中学高二上学期第一次质量检测数学试题含答案，共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题，证明题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．若直线过点（1，2），（4，2＋），则此直线的倾斜角是（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【答案】A
【分析】求出直线的斜率，由斜率得倾斜角．
【详解】由题意直线斜率为，所以倾斜角为．
故选：A．
2．经过点，斜率是3的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由直线的点斜式方程求解即可.
【详解】因为直线斜率是3，且经过点，
所以，化简可得：.
故选：C.
3．以为端点的线段的垂直平分线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据两直线垂直的斜率关系以及点斜式方程求解即可.
【详解】的中点为，
，所以中垂线的斜率为,
由点斜式可得整理得，
故选:A.
4．已知直线与平行，则a的值为（ ）
A．1B．﹣2C．D．1或﹣2
【答案】A
【分析】根据题意可得，解之即可得解.
【详解】解：因为直线与平行，
所以，解得.
故选：A.
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．相交或相切
【答案】A
【分析】由直线恒过定点，且定点在圆内，从而即可判断直线与圆相交.
【详解】解：因为直线恒过定点，而，
所以定点在圆内，
所以直线与圆相交，
故选：A.
6．椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（ ）
A．2B．4C．D．
【答案】C
【分析】由焦点坐标得到，求解即可.
【详解】根据焦点坐标可知，椭圆焦点在y轴上，所以有，解得．
故选：C.
7．圆与圆的公共弦长等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】联立圆的方程求出公共弦的端点坐标，用两点距离公式即可求出公共弦长.
【详解】解：联立，解得或，
故公共弦长等于.
故选：D.
8．若点P(x, y)在以A(－3,1)，B(－1,0)，C(－2,0)为顶点的△ABC的内部运动(不包含边界)，则的取值范围是
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】试题分析：根据已知的条件可知，点A,B，C围成的三角形ABC，其内动点P（x,y），那么所求的为动点P与定点M（1,2）两点的斜率的取值范围，则根据已知中的三点A，B,C的坐标，分别求解,则利用倾斜角与斜率的关系，结合正切函数图象可得，的取值范围是，选D.
【解析】本试题主要是考查了线性规划的最优解问题的应用．
点评：解决该试题是高考中的一个常考点，同时一般要结合数形结合的思想来完成，因此关键的一步就是要准确作图，找到平面区域，然后结合表达式的表示的几何意义：斜率的含义来得到．
二、多选题
9．已知圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，则下列说法中正确的是（ ）
A．圆M的圆心为(4，﹣3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
【答案】ABD
【分析】利用配方法求出圆的圆心与半径，判断选项的正确性；令圆的方程的和，求出圆被轴和轴截得的弦长，判断选项的正确性.
【详解】对于选项，
圆M的一般方程为x2+y2﹣8x+6y=0，
则圆的标准方程为(x﹣4)2+(y+3)2=25.
所以圆的圆心坐标(4，﹣3)，半径为5.
所以选项正确，选项不正确；
对于选项,令(x﹣4)2+(y+3)2=25中的，
得或，
所以圆M被x轴截得的弦长为8，所以选项正确；
对于选项,令(x﹣4)2+(y+3)2=25中的，
得或，
所以圆M被轴截得的弦长为6，所以选项正确.
故选：ABD.
【点睛】本题考查圆的方程和弦长的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
10．已知F，A分别为椭圆C的一个焦点和顶点，若椭圆的长轴长是8，（O是坐标原点），则C的标准方程可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】由椭圆的性质列式求解，
【详解】由题意得，得，，则为短轴顶点，
在直角三角形中，，故，则，
当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为，
当椭圆的焦点在轴时，椭圆方程为，
故选：AB
11．已知圆和圆的交点为A，B，则（ ）
A．两圆的圆心距
B．直线AB的方程为
C．圆上存在两点P和Q使得
D．圆上的点到直线AB的最大距离为
【答案】BD
【分析】求出两圆圆心距，可判断A选项；将两圆方程作差即得公共弦AB的方程，可判断B选项；求出，可判断C选项；求出圆上的点到直线的最大距离，可判断D选项.
【详解】对于A，圆的标准方程为，圆心为，半径为，
圆的标准方程为，圆心为，半径为，
所以，，A不正确；
对于B，将两圆方程作差可得，
即得公共弦AB的方程为，故B正确；
对于C选项，圆心到直线的距离为，所以，
对于圆上的任意两点、，，C不正确；
对于D选项，圆心到直线的距离的最大值为，D正确.
故选：BD.
12．方程有实数解，则实数m的可能取值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】ABC
【分析】根据直线与圆相切，即可数形结合求解的范围求解.
【详解】设，，
故有实数根即为两个函数的图象有交点，
在同一直角坐标系中，画出的图象，如图：
则为直线的纵截距，
当直线与半圆相切时，可得，
当直线经过半圆的右端点时，可得，
所以，
故选：ABC
三、填空题
13．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx-2y-5＝0相交于同一点，则m的值为 ．
【答案】9
【解析】联立，解得交点，代入即可得答案．
【详解】联立，解得，．
把代入可得：．
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了两条直线的交点、点在直线上，考查计算能力，属于基础题．
14．若点到直线的距离为4，则k的值等于 ．
【答案】或8
【分析】利用点线距离公式列方程求参数即可.
【详解】由题设，则或.
故答案为：或8
15．在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为 ．
【答案】
【详解】试题分析：因为直线恒过定点，所以圆心到直线的最大距离为，所以半径最大时的半径，所以半径最大的圆的标准方程为．
【解析】1、圆的方程；2、直线与圆的位置关系．
【方法点睛】解决直线与圆的问题时，一方面，注意运用解析几何的基本思想方法（即几何问题代数化），把它转化为代数问题，通过代数的计算，使问题得到解决；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决，即注意圆的几何性质的运用．
16．已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点在椭圆上，若，则的面积为 ．
【答案】3
【分析】根据已知可得，，.根据椭圆的定义有，根据有.即可求出，进而求出三角形的面积.
【详解】
由已知可得，，，所以，.
因为点在椭圆上，由椭圆的定义可得，，
所以.
又，所以为直角三角形，则，
所以，所以.
故答案为：3.
四、解答题
17．根据下列各条件写出直线的方程，并化成一般式．
(1)斜率是，经过点；
(2)法向量，经过点；
(3)经过点，平行于x轴；
(4)在x轴和y轴上的截距分别是，；
(5)经过两点．
【答案】(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5).
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）分别应用点斜式、点法式、斜截式、截距式、两点式写出对应方程即可.
【详解】（1）由点斜式方程，得，即．
（2）由点法式方程，得，即．
（3）由斜截式方程，得，即．
（4）由截距式方程，得，即．
（5）由两点式方程，得，即．
18．已知直线：；：．
(1)若，求的值；
(2)若，且它们的距离为，求， 的值．
【答案】(1)；
(2)；或
【分析】（1）求出直线的斜率，根据直线垂直的关系，得到关于的方程，求出的值即可；
（2）根据直线平行，求出的值，根据点到直线的距离求出的值即可．
【详解】（1）直线：，斜率是，
直线：，斜率是：，
若，则，
解得；
（2）若，则，解得
直线：，直线：，
在直线上取点，
则到的距离是：，
解得：或．
19．已知圆过点，，且圆心在上.
(1)求圆的标准方程；
(2)若直线与圆交于、两点，求线段的长度．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）首先求出线段的中垂线方程，即可求出圆心坐标与半径，从而得到圆的方程；
（2）求出圆心到直线的距离，再利用垂径定理、勾股定理计算可得.
【详解】（1）因为圆过点，，所以线段的中垂线方程为，则圆心在直线上，
又圆心在上，所以，解得，所以圆心，
又，所以圆的标准方程为.
（2）圆心到直线的距离，
所以.

20．求两焦点分别为，，且经过点的椭圆标准方程.
【答案】
【分析】设椭圆方程，利用已知条件，列出方程求解即可.
【详解】由焦点坐标可知，为轴椭圆，
设所求椭圆的标准方程为
两焦点分别为，，
又椭圆过点，，又
，，
所以椭圆的标准方程为.
五、证明题
21．已知直线方程为，其中.
（1）求证：直线恒过定点；
（2）若直线分别与轴､轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时的直线方程.
【答案】（1）证明见解析；（2）面积最小值为4，此时的直线方程.
【解析】（1）直线的方程为化为：，令，解出即可得出结果；
（2）设出直线的点斜式方程，求出直线与坐标轴的交点，将三角形面积公式和基本不等式相结合即可得出结果.
【详解】（1）证明：直线的方程为，其中，
化为，
令，解得，
则直线经过定点.
（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
因此可设直线的方程为，
可得与轴、轴的负半轴交于，两点，
，，解得．
∴，
当且仅当时取等号．
此时直线的方程为：，化为：.
【点睛】本题考查了直线系、点斜式、基本不等式的性质、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题
六、解答题
22．已知圆C经过点，及（3，0）．过坐标原点O，且斜率为k的直线l与圆C交于M，N两点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)若点，分别记直线PM，直线PN的斜率为，，证明：为定值．
【答案】(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）设圆C的方程为，解方程组求出即得解；
（2）设，．由题意得直线l的方程为，联立直线和圆的方程得到韦达定理，计算化简即得证.
【详解】（1）解：设圆C的方程为，
∴，解得，
∴圆C的方程为，其标准方程为．
（2）解：设，．由题意得直线l的方程为，
由，得，
∴，
∴，
∴，
.
即为定值0．