2023-2024学年湖南省岳阳县一中湖湘教育三新探索协作体高二上学期11月期中联考数学试题含答案

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班级：______姓名：______准考证号：______
（本试卷共6页，22题，全卷满分：150分，考试用时：120分钟）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上相应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，将答题卡上交．
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2. 若是虚数单位，复数的共轭复数是，且，则复数的虚部等于（ ）
A. B. 3C. D.
3. 平面内顺次连接，，，，所组成的图形是（ ）
A. 平行四边形B. 直角梯形C. 等腰梯形D. 以上都不对
4. 已知，，若，到直线距离都等于，则满足条件的直线共有（ ）
A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条
5. 已知，则（ ）
A. 0B. 4C. D. 4046
6. 一条光线从射出，经直线后反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为（ ）
A. B.
C. D.
7. 在空间直角坐标系中，点关于轴的对称点为，则点到轴的距离为（ ）
A. B. C. 3D.
8. 已知为双曲线右支上一个动点（不经过顶点），，分别是双曲线的左、右焦点，的内切圆圆心为，过做，垂足为，下列结论错误的是（ ）
A. 的横坐标为B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A. 与是共线向量
B. 与同向的单位向量是
C. 在方向上投影向量是
D. 与的夹角为
10. 设函数，给出下列命题，正确的是（ ）
A. 的图象关于点对称
B. 若，则
C. 把的图象向左平移个单位长度，得到一个偶函数的图象
D. 在内使的所有的和为
11. 已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线，，，为切点，则下列说法正确的是（ ）
A. 圆上有且仅有一个点到直线的距离等于1
B. 四边形面积的最小值为1
C. 当为等边三角形时，点的坐标为
D. 直线过定点
12. 如图，正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，是其表面上的一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当在表面上运动时，三棱锥的体积为定值
B. 当在线段中点时，平面截正方体所得截面的面积为
C. 当在底面上运动，且满足平面时，长度的最小值是
D. 使直线与平面所成的角为45°的点的轨迹长度为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设，是两个不共线的向量，已知，，，若，，三点共线，则的值为______．
14. 已知双曲线，，是其两个焦点，点在双曲线上，若，则的面积为______．
15. 设，直线与直线相交于点，线段是圆的一条动弦，且，的最小值为______．
16. 已知椭圆和双曲线有共同的焦点，，，分别是它们在第一象限和第三象限的交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为，，则最小值等于______．
四、解答题：本题共6小题，第17题10分，第18~22题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的内角，，所对的边分别为，，，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
18. “学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员，面向全社会的优质平台．某市宣传部门为了解市民利用“学习强国”学习国家政策的情况，从全市抽取100人进行调查，统计市民每周利用“学习强国”的时长，并按学习时间（单位：小时）的长短分成以下6组：，，，，，，统计结果如图所示：
（1）试估计这100名市民学习时间的中位数（同一组中的数据用该组区间中点值代表，结果保留两位小数）；
（2）现采用分层抽样的方法在学习时长位于和的市民中共抽取5人参加学习心得交流会，再从这5人中选2人发言，求发言者中恰有1人是学习时长在上的概率．
19. 已知抛物线经过点，直线与抛物线相交于不同、两点．
（1）求抛物线的方程；
（2）如果，直线是否过一定点，若过一定点，求出该定点；若不过一定点，试说明理由．
20. 若圆的圆心在上，且圆与直线切于点．
（1）求圆的标准方程；
（2）已知点，，若为圆上任意一点，求的最大值并求出取得最大值时点的坐标．
21. 如图，和所在平面互相垂直，且，，为的中点．
（1）证明：；
（2）若，直线与平面所成角的正弦值为，求的值．
22. 过圆上任意一点，作轴于点，点满足．
（1）求点轨迹的方程；