2023-2024学年吉林省辽源市田家炳高级中学高二上学期期中数学试题含答案

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A．B．C．D．
1．C
【分析】直接利用两条平行线的距离公式求解即可．
【详解】∵直线不同时为0与直线不同时为0,之间的距离，
∴直线与直线之间的距离．
故选：C．
2．已知直线：，和直线：垂直，则（ ）．
A．B．C．或D．
2．C
【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得或1.
【详解】因为直线和直线垂直，故，解得或1，
经检验，符合要求.
故选：C
3．经过点，且与直线平行的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
3．A
【分析】根据题意，设所求直线方程为，将点代入求参数，即得方程.
【详解】令所求直线方程为，则，
所以，所求直线为（或）.
故选：A
4．已知直线与平行，则（ ）
A．2B．3C．D．2或
4．A
【分析】由直线平行的条件求解即可.
【详解】因为，所以，解得或．当时，与重合．故．
故选：A
5．直线截圆所得的弦长为，则的值为（ ）
A．－1B．1
C．3D．－3
5．B
【分析】利用圆的性质计算即可.
【详解】易知圆心为，半径，而直线截圆所得的弦长为等于直径，
故直线过圆心，
所以有.
故选：B
6．过圆与圆交点的直线方程为（ ）.
A．B．
C．D．
6．C
【分析】联立两圆方程求出交点坐标，再根据两点式求出直线方程，化为一般式可得解.
【详解】联立，解得或，
所以圆与圆交点为和，
所以过两圆交点的直线方程为，即.
故选：C
7．若椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离为7，则到另一个焦点的距离为（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．A
【分析】利用椭圆的定义列式计算得解.
【详解】椭圆的长轴长，而点到椭圆一个焦点的距离为7，
所以到另一个焦点的距离为.
故选：A
8．已知椭圆中，长轴长为10，离心率为，则焦距为（ ）
A．5B．10C．5D．5
8．A
【分析】根据椭圆长轴和离心率的概念即可求解.
【详解】，所以；又因为，
得，所以.
故选：A.
多选9．如图，在正方体中，分别为的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．平面
D．直线与直线所成角的余弦值为
多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分。）
9．AD
【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由空间向量的关系判断空间位置关系，A选项，根据得到A正确；B选项，求出平面的法向量，由得到B错误；C选项，根据，得到直线与直线不垂直；D选项，利用空间向量夹角余弦公式进行计算.
【详解】以点为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设，
则.
.
A选项，因为，所以，A正确.
B选项，设平面的法向量为，
则，
令得，，故，
因为，
所以与不垂直，则直线与平面不平行，错误.
C选项，若平面，则.
因为，所以直线与直线不垂直，矛盾，C错误.
D选项，，D正确.
故选：AD
10．关于椭圆，以下说法正确的是（ ）
A．长轴长为4B．焦距为
C．离心率为D．左顶点的坐标为
10．ABC
【分析】根据椭圆方程确定，再根据椭圆的性质，即可求解.
【详解】由条件可知，，，那么，
所以长轴长，焦距，离心率，左顶点，
故ABC正确，D错误.
故选：ABC
11．已知圆的方程为，下列结论正确的是（ ）
A．该圆的面积为B．点在该圆内
C．该圆与圆相离D．直线与该圆相切
11．BD
【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公式即可判断；对于B，将点代入，判断与的大小，即可得出结论；对于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．
【详解】，可知圆心为，半径；
对于A：由圆的半径，得该圆的面积为，故A错误；
对于B：因为，所以点在该圆内，故B正确；
对于C：圆的圆心为，半径为1，
因为两圆心距离为，且，所以两圆相交，故C错误；
对于D：圆心到直线的距离，
所以直线与该圆相切，故D正确，
故选：BD．
12．已知圆：，直线：，则（ ）
A．直线在y轴上的截距为1
B．直线的倾斜角为
C．直线与圆有2个交点
D．圆上的点到直线的最大距离为
12．ABC
【分析】根据截距，倾斜角的定义，判断AB；根据直线与圆的位置关系，即可判断CD.
【详解】A.当时，，直线在y轴上的截距为1，故A正确；
B.直线的斜率为1，设直线的倾斜角为，，，所以直线的倾斜角为，故B正确；
C.圆心到直线的距离，所以直线与圆相交，所以直线与圆有2个交点，故C正确；
D.根据C可知，圆上的点到直线的最大距离为，故D错误.
故选：ABC
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）
13．已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为 ．
13．
【分析】根据椭圆的标准方程的形式，列出不等式组，即可求解.
【详解】根据题意，要使方程表示焦点在轴上的椭圆，
则满足，解得，即实数的取值范围为.
故答案为：
14．若圆 与圆相外切，则的值为 14．2
【分析】利用圆与圆的位置关系求解.
【详解】圆 的标准方程为：，
则其圆心为，半径为 ，
因为圆 与圆相外切，
所以，
解得，
所以的值为2，
故答案为：2
15．如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点．则与所成角的余弦值为 ．
15．/
【分析】建立空间直角坐标系，求得，从而利用向量的夹角公式求解.
【详解】依题意，建立如图所示空间直角坐标系，

则
，
则，
故，
所以，
即与所成的角的余弦值为.
故答案为：.
16．圆心在直线上，且经过点，的圆的方程为 ．
16．
【分析】直线和线段AB的垂直平分线的交点是圆心，圆心到A点的距离为半径，可得圆的方程.
【详解】圆经过点和，，AB中点为，
所以线段AB的垂直平分线的方程是．
联立方程组，解得．
所以，圆心坐标为，半径，
所以，此圆的标准方程是．
故答案为：
三、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）
17.求下列各椭圆的长轴长、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率。
(1)；
(2).
17．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】将椭圆改写为标准方程，即可确定、、及长轴、短轴的位置，进而求出(1)、(2)中椭圆的长轴、短轴长、焦距、顶点坐标、焦点坐标和离心率，并画出椭圆的图形.
【详解】（1）将化为标准方程为：，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：

（2）将化为标准方程为：，
因为，所以椭圆的焦点落在轴上，
所以，，则，
所以椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，顶点坐标为、、、，焦点坐标为和，离心率为，
椭圆图象如下：

18．已知△ABC的三个顶点A（3，7），B（–2，5），C（–3，–5），点D为AC的中点．
（1）求点D的坐标；
（2）求直线BD的方程．
（3）求△ABD的面积．
18．(1) 点D的坐标为（0，1）;(2) 2x+y–1=0;(3)12.
【分析】（1）利用中点坐标公式求得点的坐标.（2）利用点斜式求得直线的方程.（3）利用两点间的距离公式求得的长度，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离，再利用三角形的面积公式求得面积.
【详解】（1）设D（x，y），
则，，
∴点D的坐标为（0，1）．
（2）∵直线BD的斜率为．
∴直线BD的方程为：y–1=–2（x–0），即2x+y–1=0．
（3）∵，
∴A到直线BD的距离为．
∴△ABD的面积为．
19．如图，在底面是矩形的四棱锥中，平面ABCD，，，E是PD的中点．

(1)求证：平面PAD；
(2)求二面角的余弦值：
(3)求B点到平面EAC的距离．
19．(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量垂直的坐标运算，得到与；
（2）分别求出平面EAC的法向量与平面ACD的法向量，利用空间向量中二面角的计算公式，求出二面角的余弦值；
（3）利用空间向量中点到面的距离公式，列出计算公式，计算可得答案.
【详解】（1）
因为平面ABCD，AB， 平面ABCD，
所以，，
由于四边形ABCD是矩形，所以，
由此，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，
因为，所以，
由于，所以，
由于，AD，平面PAD，
所以平面PAD；
（2）由（1）得，设平面ACE的法向量，，，
则，即，不妨令，可得，
且为平面ABC的一个法向量，
于是，
所以平面EAC与平面ACD夹角的余弦值为；
（3）设B点到平面ACE的距离为d，由（2）可知平面ACE的法向量，，
设B点到平面EAC的距离为d，则，
所以B点到平面EAC的距离为.
20．已知圆，直线l过点.
(1)求圆C的圆心坐标及半径；
(2)若直线l与圆C相切，求直线l的方程.
20．(1)圆C的圆心坐标是，半径为2
(2)或
【分析】（1）化成圆的标准方程可得答案；
（2）直线l的斜率不存在时可直接得答案；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，利用点到直线的距离公式计算可得答案.
【详解】（1）将圆C的方程化成标准式方程得，
圆C的圆心坐标是，半径为2；
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程是，满足题意；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，
由圆心到直线l的距离等于圆C的半径，
可得，解得，
故直线l的方程是.
综上所述，直线l的方程是或.
21．如图，在四棱锥中，平面，，，且.

(1)求证：；
(2)若点M为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）先由勾股定理逆定理证明，进一步由已知条件证明，由线面垂直判定定理可证明平面，进而即可得证.
（2）建立适当的空间直角坐标系，设平面的法向量为，直线与平面所成角为，先后分别求出后，由公式即可求解.
【详解】（1）四边形是直角梯形，，
，
又 ，
是直角三角形，即；
平面平面，
又平面，
平面，
又平面，
．
（2）由（1）可知，，
又平面平面，
所以，
所以两两互相垂直，
故以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则由题中线段长度可知，
∴，
．
设平面的法向量为，
则即，
令，则解得，
于是，取．
设直线与平面所成角为，则；
故直线与平面所成角的正弦值为．
22．已知椭圆的一个焦点为，且离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)不过原点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值及此时直线的方程.
22．(1)
(2)最大值为，方程为
【分析】（1）由焦点和离心率即可知，从而可得椭圆方程；
（2）设出直线的方程，联立椭圆方程，由点到直线的距离公式结合韦达定理，把面积表示为函数，再用基本不等式即可求解.
【详解】（1）由已知得，由离心率，得，
椭圆的方程为.
（2）设，联立可得，，
直线与椭圆交于两点，
，解得，
由韦达定理可得，
由弦长公式可得，
点到直线的距离为，
，当且仅当，即时取等号，
面积的最大值为，此时直线的方程为.