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2023-2024学年四川省成都市第七中学高二上学期期中数学试题含答案
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
5．考试结束后，只将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
2. 已知直线与，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆与圆，则圆与圆位置关系为（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 内含
4. 若直线与垂直，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
5 已知事件相互独立，且，则（ ）
A. 1B. 0.79C. 0.7D. 0.21
6. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是，该组数据扩大倍后的数据的平均值是，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大倍后的数据的方差三个量中，能用表示的量的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9. 我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A. 图中的值为0.020B. 这组数据的极差为50
C. 得分在80分及以上的人数为400D. 这组数据的众数的估计值为82
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 对任意向量，都有
B. 若且，则
C. 对任意向量，都有
D. 对任意向量，都有
11. 甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（ ）
A. 平均数为67B. 平均数为66C. 方差为296D. 方差为287
12. 已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 该四面体相对的棱两两垂直
B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心
C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）
D. 该四面体三组对棱平方和相等
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 经过两点的直线的方向向量为，则______．
14. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．
16. 已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______．
四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的周长为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积．
18. 如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接．
（1）求的长；
（2）求点到平面的距离．
19. 现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，求．
20. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
21. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点，点在线段上．
（1）若平面，请确定点位置；
（2）请在下列条件中任选一个，求的值；
①平面与平面夹角余弦值为；
②直线与平面所成角的正弦值为．
22. 已知的内角平分线与轴相交于点．
（1）求的外接圆的方程；
（2）求点的坐标；
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．
注意事项：
1．答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效．
5．考试结束后，只将答题卡收回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知向量，若，则的值为（ ）
A. 1B. C. 4D.
2. 已知直线与，则与之间的距离是（ ）
A. B. C. D.
3. 已知圆与圆，则圆与圆位置关系为（ ）
A. 相交B. 外切C. 内切D. 内含
4. 若直线与垂直，则的值为（ ）
A. 2B. C. D. 4
5 已知事件相互独立，且，则（ ）
A. 1B. 0.79C. 0.7D. 0.21
6. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆方程为，长轴为，过椭圆上一点向轴作垂线，垂足为，若，则该椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 现有一组数据不知道其具体个数，只知道该组数据平方后的数据的平均值是，该组数据扩大倍后的数据的平均值是，则原数据的方差、平方后的数据的方差、扩大倍后的数据的方差三个量中，能用表示的量的个数是（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
二．多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分．
9. 我校举行党史知识竞赛，对全校参赛的1000名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照分成5组，绘制了如图所示的频率分布直方图．根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A. 图中的值为0.020B. 这组数据的极差为50
C. 得分在80分及以上的人数为400D. 这组数据的众数的估计值为82
10. 下列说法正确的是（ ）
A. 对任意向量，都有
B. 若且，则
C. 对任意向量，都有
D. 对任意向量，都有
11. 甲､乙两支田径队队员的体重(单位：kg)信息如下：甲队体重的平均数为60，方差为200，乙队体重的平均数为68，方差为300，又已知甲､乙两队的队员人数之比为1：3，则关于甲､乙两队全部队员的体重的平均数和方差的说法正确的是（ ）
A. 平均数为67B. 平均数为66C. 方差为296D. 方差为287
12. 已知四面体中三组对棱的中点间的距离都相等，则下列说法正确的是（ ）
A. 该四面体相对的棱两两垂直
B. 该四面体四个顶点在对面三角形的射影是对面三角形的外心
C. 该四面体的四条高线交于同一点（四面体的高线即为过顶点作底面的垂线）
D. 该四面体三组对棱平方和相等
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 经过两点的直线的方向向量为，则______．
14. 在一次篮球比赛中，某支球队共进行了8场比赛，得分分别为25，29，30，32，37，38，40，42，那么这组数据的第65百分位数为______．
15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程__________．
16. 已知为直线上一动点，过点作圆的两条切线，切点分别为，则点到直线的距离的最大值为______．
四．解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知的周长为．
（1）求点的轨迹方程；
（2）若，求的面积．
18. 如图，四面体的所有棱长都为分别是的中点，连接．
（1）求的长；
（2）求点到平面的距离．
19. 现从学校的800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，第八组．右图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为4人．
（1）求第七组的频率并估计该校的800名男生的身高的中位数；
（2）若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件表示随机抽取的两名男生不在同一组，求．
20. 已知圆经过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若平面上有两个点，，点是圆上的点且满足，求点的坐标.
21. 如图，在直三棱柱中，是的中点，是的中点，是与的交点，点在线段上．
（1）若平面，请确定点位置；
（2）请在下列条件中任选一个，求的值；
①平面与平面夹角余弦值为；
②直线与平面所成角的正弦值为．
22. 已知的内角平分线与轴相交于点．
（1）求的外接圆的方程；
（2）求点的坐标；
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