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2023-2024学年云南省昆明市第一中学高二上学期11月期中考试数学试题含答案
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注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线倾斜角是（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 在中，，，且有，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正三棱柱的各棱长都等于2，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则（ ）
A. 当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为
B. 当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C. 球O的表面积的取值范围为(4π，8π)
D. 当点P在弧C1C的中点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
10 若直线与直线垂直，则a=（ ）
A. 0B. C. 2D. 1
11. 已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A. 椭圆离心率为B. 的最大值为3
C. D.
12. 如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（ ）
A. 直线和直线为异面直线
B. 若，则四面体体积的最大值为2
C. 若，，，，，，则二面角的大小为
D. 若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．
14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_________.
15. 四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为___________.
16. 已知为坐标原点，圆：， 圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为_______．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17. 已知三角形的三个顶点，求：
（1）AC边所在直线方程
（2）BC边上中线所在直线的方程．
18. △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径R满足.
（1）求角C；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
19. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
20. 已知圆M：，Q是x轴上动点，、分别与圆相切于两点.
（1）若，求切线方程；
（2）求四边形面积的最小值；
21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；
（2）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.
22. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核对条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定位置贴好条形码.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷（选择题，共60分）
一、单项选择题：共8小题，每小题5分，共40分，四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 直线倾斜角是（ ）
A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°
2. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 充要条件
C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件
3. 直线在轴上的截距是（ ）
A. B. 1C. D. 2
4. 在中，，，且有，则线段的长为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知正三棱柱的各棱长都等于2，点是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知圆：，为圆上位于第一象限的一点，过点M作圆的切线.当的横纵截距相等时，的方程为（ ）
A. B.
C D.
7. 阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 已知椭圆（）的右焦点为，过F作直线l交椭圆于A、B两点，若弦中点坐标为，则椭圆的面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面边长为1，侧棱长为2，点P，Q分别在半圆弧C1C，A1A(均不含端点)上，且C1，P，Q，C在球O上，则（ ）
A. 当点Q在弧A1A的三等分点处，球O的表面积为
B. 当点P在弧C1C的中点处，过C1，P，Q三点的平面截正四棱柱所得的截面的形状都是四边形
C. 球O的表面积的取值范围为(4π，8π)
D. 当点P在弧C1C的中点处，三棱锥C1—PQC的体积为定值
二、多项选择题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，至少两项是符合题目要求的.
9. 若直线过点且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为（ ）
A. B.
C. D.
10 若直线与直线垂直，则a=（ ）
A. 0B. C. 2D. 1
11. 已知椭圆，，是椭圆的左右焦点，P为椭圆上任意一点.下列说法中正确的是（ ）
A. 椭圆离心率为B. 的最大值为3
C. D.
12. 如图，已知二面角的棱上有不同两点和，若，，，，则（ ）
A. 直线和直线为异面直线
B. 若，则四面体体积的最大值为2
C. 若，，，，，，则二面角的大小为
D. 若二面角的大小为，，，，则过、、、四点的球的表面积为
第Ⅱ卷（共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知直线l经过点P（0，1）且一个方向向量为（2，1），则直线l的方程为______．
14. 已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则_________.
15. 四棱锥P-ABCD的各个顶点都在球心为O的球面上，且PA⊥面ABCD，底面ABCD为矩形，PA=AB=2，AD=3，则球O的体积为___________.
16. 已知为坐标原点，圆：， 圆：．分别为圆和圆上的动点，则的最大值为_______．
四、解答题（本大题共6个小题，共70分，其中17题10分，其余每题12分）各题解答必须答在答题卷上相应题目指定的方框内（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）.
17. 已知三角形的三个顶点，求：
（1）AC边所在直线方程
（2）BC边上中线所在直线的方程．
18. △ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的外接圆半径R满足.
（1）求角C；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
19. 如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
20. 已知圆M：，Q是x轴上动点，、分别与圆相切于两点.
（1）若，求切线方程；
（2）求四边形面积的最小值；
21. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，.
（1）为上一点，且，当平面时，求实数的值；
（2）当平面与平面所成的锐二面角的大小为时，求与平面所成角的正弦值.
22. 已知椭圆的离心率为，短轴长为4．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点的直线交椭圆C于A，B两点，求的取值范围．
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