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2023-2024学年重庆市第十一中学校高二上学期期中数学试题含答案
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注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知两点，，则直线的斜率为
A. 2B. C. D.
2. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 无法判断位置关系
3. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
4. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
5. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ）
A. 、B. ，C. ，D. ，
8. 已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
9. 在正方体中，点是底面的中心，则（ ）
A. 平面B. 与成角为30º
C. D. 平面
10. 设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（ ）
A. B. 离心率
C. 短轴长为2，长轴长为4D. 不可能是钝角
11. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥；
B. 若平面α，β的法向量分别为，则；
C. 若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则；
D. 若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为
12. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（ ）
A. C的渐近线方程为
B. 过点作，垂足为H，则
C. 点N坐标为
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 两平行直线与之间的距离为______.
14. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______．
15. 如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为______．
16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积.
18. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
19. 直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．
（1）当D为线段AB的中点时．证明：平面
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值
20. 已知双曲线，点在E上．
（1）求E的方程；
（2）过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．
21. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．
（1）求证：；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值．
注意事项：
1．本试卷满分为150分，考试时间为120分钟
2．答卷前考生务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡上
3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1. 已知两点，，则直线的斜率为
A. 2B. C. D.
2. 在棱长为1的正四面体中，直线与是（ ）．
A. 平行直线B. 相交直线C. 异面直线D. 无法判断位置关系
3. 已知，表示两条不同的直线，表示平面，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则B. 若，，则
C 若，，则D. 若，，则
4. 已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，则双曲线C的离心率为（ ）
A. B. 2C. 3D. 4
5. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，为上一点，且，则异面直线与所成角的大小为（ ）
A B. C. D.
6. 如图，已知椭圆C的中心为原点O，为椭圆C的左焦点，P为椭圆C上一点，满足，且，则椭圆C的方程为（ ）
A. B. C. D.
7. 已知实数x，y满足方程，则的最大值和最小值分别为（ ）
A. 、B. ，C. ，D. ，
8. 已知双曲线虚轴的一个顶点为D，分别是C的左，右焦点，直线与C交于A，B两点．若的重心在以为直径的圆上，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
9. 在正方体中，点是底面的中心，则（ ）
A. 平面B. 与成角为30º
C. D. 平面
10. 设椭圆的左右焦点为，P是C上的动点，则（ ）
A. B. 离心率
C. 短轴长为2，长轴长为4D. 不可能是钝角
11. 给出下列命题，其中正确的是（ ）
A. 若直线l的方向向量，平面α的法向量，则∥；
B. 若平面α，β的法向量分别为，则；
C. 若平面α经过三点，向量是平面α的法向量，则；
D. 若点，点C是A关于平面yOz的对称点，则点B与C的距离为
12. 随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（ ）
A. C的渐近线方程为
B. 过点作，垂足为H，则
C. 点N坐标为
D. 四边形面积的最小值为
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20.0分）
13. 两平行直线与之间的距离为______.
14. 已知方程表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是______．
15. 如图，在长方体中，且，为棱上的一点．当取得最小值时，的长为______．
16. 设椭圆的焦点为，，P是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 平面直角坐标系中，已知三个顶点的坐标分别为，，.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）求的面积.
18. 已知直线l经过两条直线2x﹣y﹣3＝0和4x﹣3y﹣5＝0的交点，且与直线x+y﹣2＝0垂直．
（1）求直线l的方程；
（2）若圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线l被该圆所截得的弦长为，求圆C的标准方程．
19. 直三棱柱中，，D为线段AB上一动点．
（1）当D为线段AB的中点时．证明：平面
（2）当时，求直线与平面所成角的正弦值
20. 已知双曲线，点在E上．
（1）求E的方程；
（2）过点的直线l交E于不同的两点A，B（均异于点P），求直线PA，PB的斜率之和．
21. 如图，正方形ADEF所在平面和等腰梯形ABCD所在平面相互垂直，已知．
（1）求证：；
（2）在线段BE上是否存在一点P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
22. 已知椭圆离心率为，点为A椭圆C的右顶点，点B为椭圆上一动点，O为坐标原点，若面积的最大值为1．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线与椭圆C交于M，N两点，O为坐标原点，若，求面积的最大值．
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