大同市第一中学校2024届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)

这是一份大同市第一中学校2024届高三上学期10月月考数学试卷(含答案)，共12页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1、若集合,则( )
A.B.C. D.
2、已知复数z满足（i为虚数单位）,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3、已知为等差数列,首项,公差,若,则( )
A.1B.2C.3D.4
4、已知,则( )
A.B.C.D.
5、已知平面,直线m,n,若,,,则( )
A.B.C.D.
6、已知函数,若,则( )
A.1B.0C.D.-1
7、已知数列的通项公式为,若是递增数列,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
8、三棱锥中,PA,PB,PC互相垂直,,M是线段BC上一动点,若直线AM与平面PBC所成角的正切的最大值是,则三棱锥的外接球的表面积是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9、已知正方体中,O为的中点,直线交平面于点M,则下列结论正确的是( )
A.A,M,O三点共线B. A,M,O,四点共面
C.A,O,C,M四点共面D.B,,O,M四点共面
10、在平面直角坐标系xOy中,已知任意角以坐标原点为顶点,x轴的非负半轴为始边,若终点经过点,且,定义：,称“”为“正余弦函数”,对于“正余弦函数”,有同学得到以下性质,其中正确的是( )
A.的值域为;
B.的图象关于对称;
C.的图象关于直线对称;
D.为周期函数,且最小正周期为.
11、《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”;底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”,四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖臑”,如图在堑堵中,AC⊥BC,且.下列说法正确的是( )
A.四棱锥为“阳马”
B.四面体的顶点都在同一个球面上,且球的表面积为
C.四棱锥体积最大值为
D.四面体为“鳖臑”
12、已知等差数列的首项为,公差为d,前n项和为,若,则下列说法正确的是( )
A.B.
C.D.数列的所有项中最小项为
三、填空题
13、已知向量,且,则实数__________.
14、已知正方体的棱长为3,点E,F分别在棱,上,且满足,O为底面ABCD的中心,过E,F,O作截面,则所得截面的面积为__________.
15、已知函数,数列满足,则数列的前100项之和是__________.
四、双空题
16、已知数列满足,.若,则__________,__________.
五、解答题
17、如图,在正三棱柱中,已知,D是AB的中点.
（1）求直线与所成角的正切值;
（2）求点B到平面的距离.
18、已知等差数列的前n项和为,,,,成等比数列.
（1）求数列的通项公式;
（2）设,求数列的前n项和.
19、记的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知.
（1）求A的值.
（2）若,且BC,AC边上的中线AM,BN相交于点P,求的余弦值.
20、如图,一个透明的球形装饰品内放置了两个具有公共底面的圆锥,且这两个圆锥的顶点和底面圆周都在这个球面上.已知圆锥底面面积是这个球的表面积的,设球的半径为R,圆锥底面半径为r.
（1）试确定R和r的关系,并求出大圆锥与小圆锥的侧面积之比;
（2）求两个圆锥的体积之和与球的体积之比
21、在数列中,,,
（1）证明：数列是等比数列;
（2）令,数列的前n项和为,求证：.
22、已知函数,a,
（1）若函数的图象在处的切线方程为,求a,b的值;
（2）若恒成立,求实数a的取值范围.
参考答案
1、答案：D
解析：将化为,解得
则.由 得,即
解得, 则,
所以.
故选D.
2、答案：A
解析：由z满足(i为虚数单位),
则,
即,
则,
即复数对应的点为,其位于复平面内第一象限.
故选: A.
3、答案：D
解析：因为首项 , 公差 , 所以,
因为 ,所以 , 解得 ,
故选 D.
4、答案：A
解析：因为,且,
所以,,
,
故选A.
5、答案：D
解析：
6、答案：B
解析：,
当 时,,解得;
当时,,解得,即(舍去),
,
故选:B.
7、答案：C
解析：因为是递增数列,由时, 可得,,
所以当,,即 ,
解得 ,又,
所以 ,解得 或 (舍)
综上: ,即实数a的取值范围是.
故选: C.
8、答案：B
解析：
9、答案：ABC
解析：连接,AC,AO因为O为 的中点, 所以,
平面平面
因为平面,平面,所以点M是平面和平面的所以A,M,O三点共线, 故A正确;
因为 A,M,O三点共线, 所以A,M,O,四点共面,A,M,O,C四点共面,故BC正确;
取AC中点, 连接 交 于点E,
由题意得,,所以, 即M 为 的三等分点,
因为 O,,B不共线, O,,平面,平面 ,E为 的中点,
所以点平面 ,B,,O,M四点不共面, 故D错.
故选: ABC.
10、答案：AD
解析：
11、答案：ABD
解析：
12、答案：AD
解析：
13、答案：-1
解析：由题意得,,
因为,所以,解得,
14、答案：
解析：如图, 连接EF、EA、FC、AC、BD
在正方体中, 易知,
, 即.
A、C、E、F四点共面,
又 O在AC上,
过E,F,O作正方体 截面为梯形ACFE,
正方体 的棱长为3,
,
梯形ACFE 的高为:,
梯形ACFE的面积为:.
故答案为:.
15、答案：100
解析：
16、答案：2;
解析：
17、答案：（1）
（2）
解析：（1）由正三棱柱的结构特征可知：,平面ABC,为等边三角形;
直线与所成角即为,
平面ABC,平面ABC,,
因为D是AB的中点,所以,
所以在中,,
即直线与所成角的正切值为.
（2）因为D是AB的中点,为等边三角形,所以,
因为平面ABC,平面ABC,所以,
又因为,AB,平面,
所以平面,
又因为平面,所以平面平面.
在平面内作,垂足为E,
平面平面,平面平面,平面,
平面点B到平面的距离即为BE的长,
由（1）知：,
,即,
点B到平面的距离为.
18、答案：（1）,
（2）
解析：（1）设等差数列的公差为d,
由得,则.
又,,成等比数列,所以7,,成等比数列,
得,解得,
所以,
（2）由（1）得,
所以,
,
两式相减得
所以.
19、答案：（1）
（2）
解析：（1）因为,
所以.故.
所以.因为,
所以.因为,所以.
（2）设,依题意可得,
.
所以.因为,
所以.
20、答案：（1）
（2）
解析：（1）由已知得球的表面积为,
所以圆锥的底面面积为,解得,
则球心到圆锥底面的距离,
所以小圆锥的高为,母线长为,
同理可得大圆锥的高为,母线长为.
因为这两个圆锥具有公共底面,故大圆锥与小圆锥的侧面积之比为它们的母线长之比,即.
（2）由（1）可得两个圆锥的体积之和为,球的体积为,
所以两个圆锥的体积之和与球的体积之比为.
21、答案：（1）是以为首项,为公比的等比数列
（2）见解析
解析：（1）由得,
由得,则,所以,所以,
所以是以为首项,为公比的等比数列.
（2）由（1）得,则,
所以,
所以
所以.
22、答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）,a,
所以,
因为函数的图象在处的切线方程为,
所以,所以,解得.
（2）因为,所以,
所以在恒成立.
记,
记
则,
当时,,所以在单调递增,
因为,所以,即,
所以在单调递增,又,所以当时,.
当时,令,得,当时,,
所以在单调递减,因为,
所以当时,,即,则在单调递减,又,
所以当时,,不符合题意.