专题5 函数的零点-解析版

这是一份专题5 函数的零点-解析版，共28页。试卷主要包含了001时，30等内容，欢迎下载使用。
一、关注直观且分析模糊处的代数细节
问题1：函数y＝2sin⁡x-3x的零点个数是________．
【解析】卡壳点：几何直观隐藏了代数点，缺少对数的细致分析．
应对策略：在几何直观模糊处要对数进行细致分析．
问题解答：第一步，转化为求函数y＝2sin⁡x与y＝3x的图象的交点个数．
第二步，画出两函数图象，注意到两函数均为奇函数，于是只画出y轴右侧的图象，如图1．
图1
第三步，判断两函数图象交点的个数．
观察两函数图象的在x＝5π2附近的情况，可知2sin⁡5π2＝2，35π2＜2，所以两函数图象在[2π，3π]上有2个交点．
又当x＝0．001时，30．001＝0．1，2sin⁡0．001≈0．002，2sin⁡x＜3x，
当x＝1时，2sin⁡1＞2sin⁡π4＝2＞1，2sin⁡x＞3x．
所以两函数在[0．001，1]上有1个根．
利用对称性可知，两函数图象有9个交点．
【反思】对于零点问题，人们过多关注“形”的特征，而忽视对“数”的分析，这是导致求解转化后出错的问题根源，许多参考资料上答案是7个就是犯了这个错误．
上述关于零点的基本方法运用正确，特别关注在x＝0附近两个函数递增的速度不一样，于是细致分析x＝0右侧附近两函数值的变化情况，充分显示运用数形结合思想的智慧点：既会画图象，又会分析“数”的性质．
二、敏锐数感帮助找到丢失零点
问题2：函数y＝lg116⁡x-116x的零点个数是________．
【解析】卡壳点：缺少“数感”，对特殊数字形成的结论缺少敏感性．
一般思考：第一步，转化为函数y＝lg116⁡x与y＝116x的图象的交点个数．
第二步，画出两函数图象，注意到两函数互为反函数，画出图2．
第三步，判断两函数图象交点个数为1个．
此种解法不正确，一是从函数图象“形”的角度，凭感觉画图，不准确；二是从数字观察角度，由于“数感”敏锐程度的差异，没有发现其余的交点．
图2
应对策略：用特殊数字去尝试，增加数字的敏感性．
问题解答：设f(x)＝116x，h(x)＝lg116⁡x．
当x＝12时，h12＝14，f12＝14，所以x＝12是原函数的一个零点；
当x＝14时，h14＝12，f14＝12，所以x＝14也是原函数的一个零点．
所以原函数共有3个零点．
【反思】究其原因，除了数字的数感性不强之外，还在于手工所画的图象不精确，通过几何画板工具也无法准确展现，只能通过上述分析才能标示给定函数图象的准确位置草图应如图3．
图3
图象表明，曲线虽然都是单调递减的，但在[0．25，0．5]之间的凹性程度不同，而一般画图时不会发现，从而出现了上述疑问．
事实上，由上述讨论可知A12，lg116⁡12，B14，lg116⁡14，C(x，y)三个点，其中x＝y≈0．36可通过二分法求得，A与B的纵横坐标交叉相等，这两个点关于直线y＝x对称，C是三条线的交点．
三、数形结台分析既顾头又顾尾
求解函数零点问题要瞄准痛点一一意识、方法、数感、运算能力等，会举一反三．面对周期函数，在分析零点时，既要考虑起点附近的情形，也要把握终点附近的情形．
问题3：设f(x)是周期为4的周期函数，且当x∈(-1，3]时，f(x)＝m1-x2，-1＜x⩽1，1-|x-2|，1＜x⩽3，若函数g(x)＝3f(x)-x有且仅有五个零点，求正实数m的取值范围．
【解析】卡壳点：画图技术不达标，分析能力不达标，等价转化不到位．
应对策略：按照零点问题思考的一般过程：画图一一分析一一判断．
问题解答：画出f(x)的图象，如图4．
图4
第一个半椭圆C1的方程为y2m2＋x2＝1(y＞0)，
第二个半椭圆C2的方程为y2m2＋(x-4)2＝1(y＞0)，
第三个半椭圆C3的方程为y2m2＋(x-8)2＝1(y＞0)．
函数g(x)＝3f(x)-x的零点问题转化为方程f(x)＝x3的根的问题，继而转化为f(x)图象与直线y＝x3的交点横坐标问题．
要使函数g(x)＝3f(x)-x有且仅有五个零点，必须满足y＝x3与C2有两个不同交点且与C3没有交点，即方程x29m2＋(x-4)2＝1有两个不同解且方程x29m2＋(x-8)2＝1无解，所以1＋9m2x2-72m2x＋135m2＝0有两个不同根且1＋9m2x2-144m2x＋63×9m2＝0没有根．
由两个判别式可得3m2＞5且m2＜7，故153＜m＜7．
【反思】靶向诊治分段函数、周期函数图象的画法，通过函数向方程转化，继而转化为判断两个函数图象交点位置关系，最后通过“y＝x3与C2有两个不同交点且与C3没有交点”的代数意义求解．
四、数的分析与形的直观相得益彰
准确完整地理解“数形结合”思想，掌握“数形结合”的分析方法，既会准确画出函数图象，又能从数的角度深人分析，不能顾此失彼，真正做到“数”(的分析)与“形”(的直观)结合．这是解决函数零点问题的基本方法．
问题4：设定义域为R的函数f(x)＝|lg⁡|x-1||，x≠1，0，x＝1，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0有7个不同实根的充要条件是（）
A．b＜0且c＞0
B．b＞0且c＜0
C．b＜0且c＝0
D．b⩾0且c＝0
【解析】卡壳点：画函数图象的技术不达标，二次方程根的情况不明白．
应对策略：先关注“形”－―函数图象，再分析“数”－方程解的个数．
问题解答：因为f(x)＝0有3个不同实根，若c＝0，则f(x)[f(x)＋b]＝0．当且仅当b＜0时，f(x)＋b＝0有4个不同实根，故选择C．
【反思】 首先由f(x)的图象特征(零点个数)，推测方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0解的特征“3＋4”，然后寻找问题解的充要条件．
真正搞明白此题的全部内容，需要对方程“f2(x)＋bf(x)＋c＝0(*)”的各种情形进行讨论，因此引申出下列变式：
变式：设定义域为R的函数f(x)＝|lg⁡|x-1||，x≠1，0，x＝1，则关于x的方程f2(x)＋bf(x)＋c＝0解的个数不可能有（）
A．4个B．5个C．7个D．8个
解析：画出f(x)＝|lg⁡|x-1||，x≠1，0，x＝1的图象，如图5．
(1)当Δ＞0，即b2-4c＞0时，f(x)＝m，f(x)＝n，m≠n，有下列情形：
①m＜0，n＜0，此时，(*)无实根；
②m＜0，n＝0，或m＝0，n＜0，此时，(×)有3个实根；
③m＜0，n＞0，或m＞0，n＜0，此时，(×)有4个实根；
④m＝0，n＞0，或m＞0，n＝0，此时，(×)有7个实根；
图5
⑤m＞0，n＞0，此时，(*)有8个实根．
(2)当Δ＝0，即b2-4c＝0时，f(x)＝m，有下列情形：
①m＜0，此时，(*)无实根；
②m＝0，此时，(×)有3个实根；
③m＞0，此时，(×)有4个实根．
(3)当Δ＜0时，(*)无实根．
综合上述分析，选择B．
【反思】根据函数f(x)图象的特征，对二次方程的根的情况进行分类讨论，从而整体了解此问题的背景．作为选择题，另一思考角度就是根据f(x)的图象特征，从0，3，4这3种结果中分别取0，1，2个的组合情形，快速地得到问题的答案．
五、多角度思考转化函数零点
函数零点问题综合性比较强，解决零点问题的途径也比较多，如果能够多角度思考，必能排除在零点转化上的思维痛点．
问题5：已知a＞0，函数f(x)＝x2＋2ax＋a，x⩽0，-x2＋2ax-2a，x＞0．若关于x的方程f(x)＝ax恰有两个互异的实根，则a的取值范围是________．
【解析】卡壳点：缺少对“形”的宏观把握能力；缺少多角度思考此类问题的能力．
应对策略：画出分段函数的图象，然后由相切到相交判断．
问题解答：解法1若x2＋2ax＋a＝ax，考虑f(x)与y＝ax的图象相切，则Δ＝a2-4a＝0，a＝4；
若-x2＋2ax-2a＝ax，考虑f(x)与y＝ax的图象相切，则Δ＝a2-8a＝0，a＝8．
故a的取值范围是(4，8)．
解法2设g(x)＝f(x)-ax，从而有g(x)＝x2＋ax＋a，x⩽0，-x2＋ax-2a，x＞0．
依题意g(x)＝0恰有两个互异的实根，根的情况可能有三种：
情况一：x2＋ax＋a＝0有两不等负实根，-x2＋ax-2a＝0无实根，即a＞0，a2-4a＞0，a2-8a＜0，-2a＜0，从而得到4＜a＜8
情况二：x2＋ax＋a＝0无实根，-x2＋ax-2a＝0有两不等实根，即a＞0，a2-4a＜0，a2-8a＞0，2a＞0，此时无解．
情况三：x2＋ax＋a＝0有两相等负实根，-x2＋ax-2a＝0有两个相等正实根，即a＞0，a2-4a＝0，此a2-8a＝0，时无解．
故a的取值范围是(4，8)．
【反思】解法2的关键是构造适合的方程，并能判断出根的分布只有三种情况，结合判别式与韦达定理解决问题，当然也可以结合函数图象定性分析极值和最值，这也是常用手段之一．
解法3(半分离直线与二次曲线)依题意f(x)＝ax，g(x)＝x2，h(x)＝-a(x＋1)，x⩽0a(x-2)，x＞0
原题等价于g(x)与h(x)的图象有两个不同交点，画出它们的图象，如图6．
设两函数分别切于点A，B，当切于点A时，a满足a＞0，x＞0，x2-a(x-2)＝0，方程有一个实根，则Δ＝a2-8a＝0，a＝8．
图6
当切于点B时，a满足a＞0，x⩽0，x2＋a(x＋1)＝0，方程有一个实根，则Δ＝a2-4a＝0，a＝4．
结合图象知，a的取值范围是(4，8)．
【反思】分离成两个函数交点问题，好处是分离的两个函数更简单，只需研究相切这种极端情况就行．
解法4(半分离直线与对勾曲线)由f(x)＝ax，知x＝0不是其根，
从而等价于a＝x＋ax＋2a，x＜0，-x＋2ax＋2a，x＞0．
图7
进一步令a＝g(x)＝-x＋ax，x＜0，x＋2ax，x＞0．
在坐标系中画出g(x)的图象，如图7，当且仅当2a＜a＜22a时，直线y＝a与曲线y＝g(x)恰好有两个不同交点，得到4＜a＜8．
【反思】对f(x)＝ax进行半变形处理，目标是化成我们熟悉的函数类型，从而解决问题．
解法5(全分离)由于f(x)＝ax，从而令a＝g(x)＝-x2x＋1，x⩽0，x2x-2，x＞0，
则g'(x)＝-x(x＋2)(x＋1)2，x⩽0，x(x-4)(x-2)2，x＞0．
g(x)的图象如图8．
(1)当a＝0，a＝4时，方程有一个实根；
图8
(2)当0＜a＜4时，方程无实根；
(3)当a＜0或4＜a＜8时，方程有两个实根；
(4)当a＞8时，方程有四个实根．
故a的取值范围是(4，8)．
【反思】解法5完全分离参数，需要扎实的基本功，准确画出函数图象，越精确越好．注意函数定义域、值域、零点、极值点、渐近线、对称轴等．
六、多种思维引导下转化零点条件
问题6：已知f(x)＝2x-1-a(x＞1，a＞0)，f(x)与x轴的交点为A，若对于f(x)图象上任意一点P，在其图象上总存在一点Q(点P，Q异于点A)使得AP⊥AQ且|AP|＝|AQ|，则a＝________．
【解析】卡壳点：转化意识缺失，看不出问题本质特征．
应对策略：可考虑向量思维、复数思维或直线参数方程思维．问题解答：解法1(向量思维)事实上，不妨设Px1，y1，Qx2，y2x2＞x1＞1，则y1＝2x1-1-a，y2＝a-2x2-1
令f(x)＝2x-1-a＝0，得A1＋2a，0．
于是AP＝x1-1-2a，2x1-1-a，AQ＝x2-1-2a，a-2x2-1．
因为AP⊥AQ且|AP|＝|AQ|，所以AP⋅AQ＝0且|AP|＝|AQ|，
从而有x1-1-2ax2-1-2a＋2x1-1-aa-2x2-1＝0，x1-1-2a2＋2x1-1-a2＝x2-1-2a2＋a-2x2-12，
解此方程组得a＝2．
【反思】学生难以迅速准确地解此方程组．
解法2(复数思维)由解法1知AP＝x1-1-2a，2x1-1-a，AQ＝x2-1-2a，a-2x2-1．对应的复数z1＝x1-1-2a＋2x1-1-ai，z2＝x2-1-2a＋a-2x2-1i．
因为AP⊥AQ且|AP|＝|AQ|，所以z1＝z2i＝2x2-1-a＋x2-1-2ai．
根据复数相等可知x1-1-2a＝2x2-1-a且x2-1-2a＝2x1-1-a(*)．
两式相减得x1-x2＝2x2-1-2x1-1＝2x1-x2x2-1x1-1．
因为x1≠x2，所以x1-1x2-1＝2，即x2-1＝2x1-1．
代人(*)式得x2-1-2a＝2x1-1-a＝x2-1-a，所以2a＝a．
又a＞0，故a＝2．
解法3(直线参数方程思维)设Px1，y1，Qx2，y2x2＞x1＞1，则x1＝xA＋tcs⁡θ，y1＝tsin⁡θ．
因为AP⊥AQ且|AP|＝|AQ|，所以x2＝xA-tsin⁡θ，y2＝tcs⁡θ，其中θ∈0，π2．
所以tsin⁡θ＝xA-x2＝y1，tcs⁡θ＝y2＝x1-xA．
将y1＝2x1-1-a，y2＝a-2x2-1，A1＋2a，0代人得，
atcs⁡θ-2tasin⁡θ＝-atsin⁡θ＋2tacs⁡θ，
整理得，a-2a(cs⁡θ＋sin⁡θ)＝0恒成立，所以2a＝a．
又a＞0，故a＝2．
【反思】在不同思维引导下，多角度思考同一个问题，可以锻炼综合分析能力．
强化练习
1、已知f(x)是以4为周期的奇函数，当x∈(0，2)时，f(x)＝ln⁡x2-x＋b，若f(x)在区间[-2，2]上有5个零点，则实数b的取值范围是（）
A．-1＜b⩽1B．14⩽b⩽54
C．-1＜b＜1或b＝54D．14＜b⩽1或b＝54
【解析】因为是定义在上的奇函数，故0，即是函数的零点.
又由是定义在上且以4为周期的周期函数，且，故，即也是函数的零点.
若函数在区间上的零点个数为5，则函数在区间上必有1个零点.学生思考到此不知向何方向转化了，思维痛点产生了，即缺少“复合函数”分析之痛.
遇到对数复合函数的零点问题，要考虑的因素比较多，分析层次也较多，容易产生思维痛点.函数在区间上必有1个零点，是一个对数复合函数.
当时，，令，，如答图所示.
当时，；当时，.
故当时，恒成立，且在上有一解.
令，
即，或，，，
即或
解得，或.选择.
【反思】分解复合结构，数形结合来破解.
2、已知关于x的方程x2-12-x2-1＋k＝0，给出下列4个命题：
(1)存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
(2)存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
(3)存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
(4)存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根．
其中假命题的个数是（）
A．0个B．1个C．2个D．3个
【解析】令，则原方程为(*).
画出的图象，如答图.
(i)当，即时，，，，有下列情形：
(1)，，此时，(*)式无实根；
(2)，，或，，此时，(*)式有2个实根；
(3)，或，，此时，(*)式有2个实根；
(4)，，或，，此时，(*)式有4个实根；
(5)，，或，，此时，(*)式有4个实根；
(6)，，且，此时，(*)式有4个实根；
(7)，，或，，此时，(*)式有5个实根；
(8)，，或，，此时，(*)式有6个实根；
(9)，，或，，此时，(*)式有7个实根；
(10)，，且，此时，(*)式有8个实根.
(ii)当，即时，，有下列情形：
(11)，此时，(*)式无实根；
(12)，此时，(*)式有2个实根；
(13)，此时，(*)式有2个实根；
(14)，此时，(*)式有3个实根；
(15)，此时，(*)式有4个实根.
(iii)当，即时，(*)式无实根.
综上分析，给定的4个命题全是真命题，所以选择.
【反思】根据函数的图象特征，对二次方程进行根的分类讨论，从图象上、整体上了解此问题的全部背景.作为选择题，在高考中要快速地求解，另一思路就是根据的图象特征，从这4个结果中取个结果进行组合，也能快速得出结果.形的直观为应试，数的分析为探源.
3、已知f(x)＝2x，x⩽0，lg2⁡x，x＞0，则方程f(f(x))＝2的根的个数是（）
A．3个B．4个C．5个D．6个
【解析】当时，，，无解；
当时，，或.
如答图所示，根据的图象可知，若，则有2个零点；
若，则有3个零点.
故共有个零点，选择.
【反思】这是一个既有分段函数形式，又有复合函数形式的函数零点问题，首先从“数”的角度进行分析，寻找函数的解，然后从“形”的角度判断函数的零点个数，此类命题形式在高考中已多次出现.应以“形”(函数图象)的直观促“数”的分析.
4、已知函数f(x)＝2x-1，0⩽x⩽1，f(x-1)＋m，x＞1在定义域[0，＋∞)上单调递增，且对于任意a⩾0，方程f(x)＝a有且只有一个实数解，则函数g(x)＝f(x)-x在区间0，2nn∈N*上所有零点的和为（）
A．n(n＋1)2B．22n-1＋2n-1C．1＋2n22D．2n-1
【解析】因为函数在定义域上单调递增，，
又因为对于任意，方程有且只有一个实数解，且图象连续，所以，如答图.
函数在区间上的所有零点分别为，
所有零点的和等于，选择B.
【反思】理解题设条件，对给定函数的图象特征进行挖掘.
第一，由“在定义域上单调递增”推出；
第二，由“对于任意，方程有且只有一个实数解”推出，从而确定的图象；
第三，将“函数的零点”转化为“函数与图象交点的横坐标”；
第四，从形上分析零点，可以得到；
第五，找到在区间上的所有零点；
第六，求和：因为零点构成一个等差数列，所以可得
5、若函数f(x)＝x与g(x)＝x-ax-1(a＞0)的图象恰有两个交点，则a的取值范围是________，于是h(x)＝x-g(x)的零点之和为________．
【解析】，其图象的对称中心为，当时，函数与的图象恰有两个交点，如答图所示.
函数有两个零点且图象关于点对称，所以两个零点之和为2.
【反思】这是分式函数与根式函数图象的交汇分析，也是将变化的分式函数与幂函数之间的位置关系演变为一个函数零点问题的基本训练.
6、(1)设函数f(x)＝2-a，x＜1，4(x-a)(x-2a)，x⩾1，若f(x)恰有两个零点，则a的取值范围是________；
【解析】若时函数有一个零点，则时函数也有一个零点，从而，，解得.
若时函数有两个零点，则，，，解得.
综上可知，的取值范围是.
(2)若函数f(x)＝x(1＋a|x|)，关于x的不等式f(x＋a)＜f(x)的解集为A，且-12，12⊆A，则a的取值范围是________；
【解析】由题意可知不等式在上恒成立，可得，解得.
再由不等式，代人可得
，
展开可得.
因为，故等价于不等式在上恒成立.
①当时，可化为恒成立，即恒成立.
由，解得，故
(2)当时，若，不等式可化为，即恒成立，从而恒成立.代人，可得，综合可得.
若，，，不等式显然恒成立.
综合①②可知.
(3)若函数f(x)＝ex-kx-e，0＜x⩽1，1x-kx-1，1＜x⩽e，有且只有3个零点，则实数k的取值范围是________；
【解析】令，，则原题等价于有3个根，作出函数图象，如答图所示，结合图象可得实数的取值范围是.
(4)若函数f(x)＝x2＋(4a-3)x＋3a，x＜0，lga⁡(x＋1)，x⩾0，(a＞0，a≠1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|＝2-x恰有2个不相等的实根，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为函数在上单调递减，所以解得.
当时，由，可得.
因为函数单调递增，又，，故方程必有一个实根.
因此问题等价于在时只有一个实根，即只有一个实根.
化简可得在时只有一个实根.
当，即时，方程有一个正根和一个负根，满足题意；
当，即时，方程两个根为，(舍去)，满足题意；
当，即时，，解得，(舍去)；
当时，方程的根为，符合题意.
综上可知，实数的取值范围是.
【反思】通过一组变式题的训练，突破思维瓶颈，建立思维模型.
7、已知方程|ln⁡|x-1||＝m(x-1)2(m∈R)有且仅有4个根x1，x2，x3，x4，则8mx1＋x2＋x3＋x4＝________．
【解析】画出两函数与的图象，四个根关于直线对称，
所以，.
又两函数与的图象在处相切，
所以则，，，.
8、已知函数f(x)＝xex，方程f2(x)＋tf(x)＋1＝0(t∈R)有4个实根，求t的取值范围．
【解析】
当时，恒成立，所以在上为增函数.
当时，，得，当时，，为增函数；
当时，，为减函数，如答图1.
所以在上有极大值.
要使方程，有4个实根，令，则方程应有两个不同的实根，且一个根在上，另一个根在上.
再令.
因为，则只需，即，解得.
故所求的取值范围是.
学生思维障碍：(1)从“方程，有4个实根”到“方程应有两个不同的实根”且“一个根在上，另一个根在上”.
(2)方程“的一个根在上，另一个根在上”等价于"”.
【反思】(1)画出的草图.
关注：，.
当时，有3个根，当时，有1个根，所以“方程，有4个实根”必须满足“方程有2个不同的实根”且“一个根在上，另一个根在上”.
(2)一条开口向上且与轴交点为的抛物线，如答图2，
要使其一个根在上，另一个根在上，只需.