2023-2024学年重庆市第一中学高二上学期期中数学试题word版含答案

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1.
【答案】A
2.
【答案】C
3.
【答案】A
4.
【答案】B
5.
【答案】D
6.
【答案】D
7.
【答案】B
8.
【答案】A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.
【答案】BCD
【解析】
10.【答案】ABD
；
11.
【答案】AC
12.
【答案】ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.
【答案】15
14.
【答案】或
15.
【答案】
16.
【答案】
【解析】
四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知数列满足，，且当时，有，
（1）求；
（2）若数列中，求
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可知数列为等差数列，结合等差数列的通项公式运算求解；
（2）由（1）可得：，利用累加法求通项公式.
【小问1详解】
因为当时，有，可知数列为等差数列，设公差为d，
由题意可得：，解得，
所以.
【小问2详解】
由（1）可得：，
当时，则
，
即，
且也满足上式，所以.
18. 四棱锥，底面为矩形，面，且，点在线段上，且面.
（1）求线段的长；
（2）对于（1）中，求直线与面所成角的正弦值.
【答案】（1）1（2）
【解析】
【分析】（1）根据线面垂直得到，再由相似比得方程可求解；
（2）建立空间直角坐标系，求平面的法向量，运用夹角公式先求线面角的余弦值，再转化为正弦值即可.
【小问1详解】
面，
在矩形中，易得：
；
【小问2详解】
如四建立空间直角坐标系：
则，
，
由题意可知：为平面的一个法向量，
，
，
直线与面所成角的正弦值为.
19. 已知双曲线经过点，点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知，过点的直线与双曲线交于不同两点，，若以线段为直径的圆刚好经过点，求直线的方程．
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据给定条件，设出双曲线的方程，利用待定系数法求解作答.
（2）设出直线的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理结合垂直关系的向量表示求解作答.
【小问1详解】
依题意，设双曲线的方程为：，而双曲线经过点，点，
则有，解得，即有，
所以双曲线标准方程为：.
【小问2详解】
显然直线不垂直于y轴，设直线的方程为：，
由消去得：，显然，
，设，
则有，因为以线段为直径的圆刚好经过点，
即有，而，
于是得，即，
有，整理得：，解得或，
因此直线：或，
所以直线的方程为或.
20. 已知数列中，，，其前项和满足（，）.
（1）求数列的通项公式；
（2）设（为非零整数，），试确定值，使得对任意，都有成立.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】根据已知结合与前项和的关系，利用相减法确定的递推关系式，判断为等差数列，即可求解数列的通项公式；
根据数列的单调性列不等式求解即可.
【小问1详解】
解：由已知，得
即，且.
数列是以为首项，公差为1的等差数列.
.
【小问2详解】
解：，
，要使得对任意，恒成立，
恒成立，
恒成立，
恒成立.
（i）当为奇数时，即恒成立，又是递增数列
则当时，有最小值为1，
.
（ii）当为偶数时，即恒成立，又是递减数列
则当时，有最大值，
.
即，又为非零整数，则.
综上所述，存在，使得对任意，都有.
21. 在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，为线段上异于的一动点，点满足.
（1）求点的轨迹的方程；
（2）点是曲线上两点，且在轴上方，满足，求四边形面积的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由，结合椭圆定义可得轨迹方程；
（2）连接，延长交椭圆于点，利用面积桥可知所求四边形面积即为，设直线，将直线方程与椭圆方程联立可得韦达定理的结论，代入弦长公式中可得，利用点到直线距离公式可求得点，即点到直线的距离，由此可将所求面积表示为关于的函数，利用函数求最值的方法可求得结果.
【小问1详解】
，，，
，
点轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，
设椭圆方程为，则，，，
点的轨迹的方程为：.
【小问2详解】
连接，延长交椭圆于点，连接，
由椭圆对称性可知：，又，四边形为平行四边形，
，，且三点共线
四边形的面积，
设直线，，
由得：，
，，
，
又，点到直线的距离即为点到直线的距离，
点到直线的距离，，
设，则，，，
又，当，即时，四边形面积取得最大值，最大值为.
【点睛】思路点睛：求解直线与椭圆综合应用中的三角形或四边形面积最值（取值范围）问题的基本思路如下：
①假设直线方程，与椭圆方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；
②利用求得变量的取值范围，得到韦达定理的形式；
③利用韦达定理和点到直线距离表示出所求三角形的面积；用面积桥结合三角形面积表示出四边形面积；
④将所求面积转化为关于某一变量的函数的形式，利用函数的单调性或基本不等式求解出最值（范围）.
22. 已知点在抛物线上，过动点作抛物线的两条切线，切点分别为､，且直线与直线的斜率之积为.
（1）证明：直线过定点；
（2）过､分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为､，问：是否存在一点使得､､､四点共圆？若存在，求所有满足条件的点；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析
（2）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）法一：将代入抛物线方程得到，设切点坐标为，再根据导数的几何意义可得切线方程为，设，，直线方程为，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理可得得到定点；
法二：设，过的直线方程为，联立抛物线方程，根据二次函数判别式为0得，得到，再联立直线和抛物线的方程，根据韦达定理可得得到定点；
（2）联立直线和抛物线得出韦达定理，设，，再联立，直线方程可得，可得在直线上运动，再假设､､､四点共圆可得，代入求解判断是否有解即可.
【小问1详解】
法一：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，求导可得，设切点坐标为，则切线斜率为，所以切线方程为，即；
设，，直线方程为，由题意得，所以，联立直线和抛物线得得，所以得，
所以的直线方程为，直线过定点；
法二：将代入抛物线方程得到，所以抛物线方程为，
设，过的直线方程为，联立
得，
得，由，
切点横坐标为，所以
联立直线和抛物线得得，所以得，
所以的直线方程为，直线过定点；
【小问2详解】
联立直线和抛物线得得①
可知，，
设，，直线方程为：，直线方程为：，
联立解得，所以，所以在直线上运动，
假设存在点使得､､､四点共圆，则，所以，
因为，可得，解得，
不合题意，所以不存在点使得､､､四点共圆.
【点睛】本题主要考查了抛物线的切线问题与定点问题，需要根据题意，根据导数的几何意义或联立直线与抛物线的方程用判别式分析.同时也考查了联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理转化题设条件求解的问题.属于难题.