2023-2024学年重庆市西南大学附属中学校高二上学期期中数学试题含答案

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（满分：150分，考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答卷前考生务必把自己的姓名，准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑；回答非选择题时，用0.5毫米黑色墨迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷自己保管好，以备评讲）.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
2. 椭圆与椭圆（ ）
A. 长轴相等B. 短轴相等
C. 焦距相等D. 离心率相等
3. 已知直线，，若且，则值为（ ）
A. B. C. D. 2
4. 某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时间，结果如下表所示：则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是（ ）
A. 6.2小时B. 6.4小时C. 6.5小时D. 7小时
5. 已知点在曲线上，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
6. 过直线l：上一点P作圆M：的两条切线，切点分别是A，B，则四边形MAPB的面积最小值是（ ）
A. 1B. C. 2D.
7. 在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有4，5，6，7四个数字，这些小球除数字外都相同．小红、小明两人玩“猜数字”游戏，小红先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为m，再由小明猜这个小球上的数字，记为n．如果m，n满足，那么就称小红、小明两人“心心相印”，则两人“心心相印”的概率是（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，已知直线l：与圆O：相离，点P在直线l上运动且位于第一象限，过P作圆O的两条切线，切点分别是M、N，直线MN与x轴、y轴分别交于R、T两点，且面积的最小值为，则m的值为（ ）
A －5B. －6C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9. 少年强则国强，少年智则国智，党和政府一直重视青少年的健康成长，出台了一系列政策和行动计划，提高学生身体素质，为了加强对学生的营养健康监测，某校在3000名学生中，抽查了100名学生的体重数据情况.根据所得数据绘制样本的频率分布直方图如图所示，则下列结论正确的是（ ）

A. 样本的众数为65
B. 该校学生中低于65kg的学生大约为1200人
C. 样本的第80百分位数为72.5
D. 样本的平均值为66.75
10. 已知事件A、B发生的概率分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A. 若A与B相互独立，则
B. 若，则事件与B相互独立
C. 若A与B互斥，则
D. 若B发生时A一定发生，则
11. 已知的顶点P在圆C：上，顶点A、B在圆O：上．若，则（ ）
A. 的面积的最大值为
B. 直线PA被圆C截得的弦长的最小值为
C. 有且仅有一个点P，使得为
D. 有且仅有一个点P，使得直线PA，PB都是圆O的切线
12. 在平面直角坐标系中，定义为两点、的“切比雪夫距离”，又设点及上任意一点，称的最小值为点到直线的“切比雪夫距离”，记作，给出下列四个命题，正确的是（ ）
A. 对任意三点，都有；
B. 已知点和直线，则；
C. 到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等的点的轨迹是正方形.
D. 定点、，动点满足，则点的轨迹与直线（为常数）有且仅有2个公共点.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
13. 已知椭圆方程为，则该椭圆离心率为______．
14. 已知焦点在y轴上的椭圆的离心率，A是椭圆的右顶点，P是椭圆上任意一点，则的最大值是______.
15. 五声音阶是中国古乐基本音阶，故有成语“五音不全”．中国古乐中的五声音阶依次为：宫、商、角、徵、羽，若把这五个音阶全用上，排成一个五个音阶的音序，且要求宫、角、羽三音阶不全相邻，则可排成不同的音序种数是______．
16. 在平面直角坐标系中，已知圆：和圆：，设为平面上的点，若满足：存在过点的无穷多对互相垂直的直线和，它们分别与圆和圆相交，且直线被圆截得的弦长与直线被圆截得的弦长相等，则所有满足条件的点的坐标是______________ .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 已知椭圆C：两个焦点分别为，，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若该椭圆左顶点为B，则椭圆上是否存在一点P，使得的面积为．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
18. 已知，，过A，B两点作圆，且圆心在直线l：上．
（1）求圆的标准方程；
（2）过作圆的切线，求切线所在的直线方程．
19. 已知直线l：，点．
（1）若点P到直线l的距离为d，求d的最大值及此时l的直线方程；
（2）当时，过点P的一条入射光线经过直线l反射，其反射光线经过原点，求反射光线的直线方程．
20. 为了考察学生对高中数学知识的掌握程度，准备了甲、乙两个不透明纸箱．其中，甲箱有2道概念叙述题，2道计算题；乙纸箱中有2道概念叙述题，3道计算题（所有题目均不相同）．现有A，B两个同学来抽题回答；每个同学在甲或乙两个纸箱中逐个随机抽取两道题作答．每个同学先抽取1道题作答，答完题目后不放回，再抽取一道题作答（不在题目上作答）．两道题答题结束后，再将这两道题目放回原纸箱．
（1）如果A同学从甲箱中抽取两道题，则第二题抽到的是概念叙述题的概率；
（2）如果A同学从甲箱中抽取两道题，解答完后，误把题目放到了乙箱中．B同学接着抽取题目回答，若他从乙箱中抽取两道题目，求第一个题目抽取概念叙述题的概率．
21. 某研究小组发现某药物X对神经冲动的产生有明显的抑制作用，称为“麻醉”.该研究小组进行大量实验，刺激突触前神经元时，记录未加药物X和加药物X后突触前神经元的动作电位（单位：mV），在大量实验后，得到如下频率分布直方图.
利用动作电位的指标定一个判断标准，需要确定一个临界值c.当动作电位小于c时判定为“麻醉”，大于或等于c时判定为“未麻醉”.该检测漏判率是将添加药物X的被判定为“未麻醉”的概率，记为；误判率是将未添加药物X的被判定为“麻醉”的概率，记为.
（1）当漏判率为时，求临界值c；
（2）令函数，当时，求的最小值.
22. 已知平面直角坐标系xOy中，，，平面内动点P满足．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）点P轨迹记为曲线C，若曲线C与x轴的交点为M，N两点，Q为直线l：上的动点，直线MQ，NQ与曲线C的另一个交点分别为E，F，直线EF与x轴交点为K，求的最小值．
时间（小时）
5
6
7
8
人数
10
15
20
5