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2023-2024学年重庆市育才中学高二上学期期中数学试题含答案
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本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列直线中，倾斜角最大是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A 2B. C. 8D.
6. 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（ ）
A. 7.0490B. 4.0770C. 3.5245D. 2.0385
7. 已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 异面直线、的夹角余弦值为
10. 已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
11. 如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（ ）
A. 圆锥体积为B. 圆的面积为
C. 椭圆的长轴长为D. 双曲线两渐近线的夹角
12. 设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（ ）
A. 面积最大值为
B. 直线与椭圆恒有两个公共点
C. 的最小值为9
D. 若，则的内切圆半径
第II卷
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长为6
乙：该双曲线的虚轴长为8
丙：该双曲线的焦距长为5
丁：该双曲线的一条渐近线可以为
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______.
14. 已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______.
15. 已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为______.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
19. 已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值.
20. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.
21. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.
图（1） 图（2）
（1）若，求证：平面；
（2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为.
22. 在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线与直线的斜率之积为；
条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值.
本试卷为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.
注意事项：
1.答卷前，请考生务必把自己的姓名、准考证号填写在答题卡上；
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本试卷及草稿纸上无效；
3.考试结束后，将答题卡交回.
第I卷
一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知复数（为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3. 下列直线中，倾斜角最大是（ ）
A. B.
C. D.
4. 如图所示，空间四边形中，点分别为的中点，则等于（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知圆：与圆：的公共弦所在直线与直线：垂直，则的值为（ ）
A 2B. C. 8D.
6. 彗星“紫金山一号”是南京紫金山天文台发现的，它的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆.测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）距太阳中心1.486天文单位，远日点（距离太阳最远的点）距太阳中心5.563天文单位（1天文单位是太阳到地球的平均距离，约），且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则轨道椭圆的长轴长为______天文单位.（ ）
A. 7.0490B. 4.0770C. 3.5245D. 2.0385
7. 已知直三棱柱中，底面边长分别为、、3，高，则该三棱柱的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，为双曲线的两个焦点，为双曲线上一点，且.则此双曲线离心率的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 在空间直角坐标系中，设、分别是异面直线、的两个方向向量，、分别是平面、的两个法向量，若，，，，下列说法中正确的是（ ）
A. B.
C. D. 异面直线、的夹角余弦值为
10. 已知双曲线的离心率为，该双曲线的渐近线与圆交于、两点，则的可能取值为（ ）
A. 4B. C. D. 8
11. 如图，在圆锥中，已知高.底面圆的半径为2，为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列三个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线，则下面四个命题中正确的有（ ）
A. 圆锥体积为B. 圆的面积为
C. 椭圆的长轴长为D. 双曲线两渐近线的夹角
12. 设椭圆：的左右焦点分别为，，为椭圆上一动点，则下列说法不正确的有（ ）
A. 面积最大值为
B. 直线与椭圆恒有两个公共点
C. 的最小值为9
D. 若，则的内切圆半径
第II卷
三.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 张老师在课堂上与学生一起探究某双曲线的简单几何性质时，有四位同学分别给出了一个结论：
甲：该双曲线的实轴长为6
乙：该双曲线的虚轴长为8
丙：该双曲线的焦距长为5
丁：该双曲线的一条渐近线可以为
如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同学是______.
14. 已知入射光线经过点被轴反射后，反射光线经过点，则反射光线所在直线方程为______.
15. 已知直线与双曲线交于、两点，若弦的中点为，则直线的方程为______.
16. 已知椭圆：的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则的离心率为______.
四.解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积.
18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，，，，为的中点.
（1）求证：平面；
（2）求直线和平面所成角的正弦值.
19. 已知双曲线：与椭圆有相同的焦点，且经过点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，且，为坐标原点，求的值.
20. 已知圆经过两点、，且圆的圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）若点为直线：上的动点，过点作圆的切线、，切点为、，求四边形面积的最小值，并出此时点的坐标.
21. 已知，如图（1）在五边形中，，，，，，现将沿折起得到图（2），且使得平面平面，在线段上.
图（1） 图（2）
（1）若，求证：平面；
（2）若，当为何值时，平面和平面夹角的余弦值为.
22. 在平面直角坐标系中，、为圆：与轴的交点，点为该平面内异于、两点的动点，且______，从下列条件中任选一个补充在上面问题中作答.
条件①：直线与直线的斜率之积为；
条件②：设为圆上的动点，为点在轴上的射影，且为的中点；
注：如果选择多个条件作答，按第一个计分
（1）求动点的轨迹方程；
（2）若直线与（1）问中轨迹方程交于、两点，与圆相交于、两点，且，求面积最大值.
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