2023-2024学年重庆市字水中学高二上学期期中数学试题含答案

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一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 直线的倾斜角为（ ）
A. 0°B. 90°C. 180°D. 不存在
2. 已知为原点，点，以为直径的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
3. 设点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
4. 在三棱锥P—ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=PB=PC，M、N分别为AC、AB的中点，则异面直线PN和BM所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
5. 已知点在线段上，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6. 已知点，点，点在圆上，则使得的点的个数为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
7. 苏州有很多圆拱的悬索拱桥（如寒山桥），经测得某圆拱索桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造圆拱桥时每隔米需用一根支柱支撑，则与相距米的支柱的高度是（ ）米.（注意：≈）
A. 6.48B. 5.48C. 4.48D. 3.48
8. 自点发出光线经过轴反射，其反射光线所在直线正好与圆相切，则反射光线所在直线的所有斜率之和为（ ）
A B. 2C. D. 4
二、多选题（每小题全选对得5分，有错误选项得0分，部分选对得2分，满分20分）
9. 已知直线的方程为，则（ ）
A. 直线在轴上的截距为2
B. 直线在轴上的截距为3
C. 直线的倾斜角为锐角
D. 过原点且与垂直的直线方程为
10. 已知直线，则（ ）
A. 若，则的一个方向向量为B. 若，则或
C. 若，则D. 若不经过第二象限，则
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是2
B. 点关于直线的对称点为
C. 过两点的直线方程为
D. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
12. 已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 的最小值是
D. 过点作曲线的切线，则切线方程为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 甲､乙､丙三人参加一次面试，他们通过面试的概率分别为，所有面试是否通过互不影响．那么三人中恰有两人通过面试的概率是__________．
14. 平行直线与之间的距离为_________．
15. 如图，二面角的棱上有，两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于已知，，，则的长为__________

16. 若直线与圆分别交于M、N两点. 则弦MN长的最小值为___________.
四、解答题（满分70分，17题满分10分，18~22题每题满分12分）
17. 已知三角形三个顶点，求：
（1）AC边所在直线的方程
（2）BC边上中线所在直线的方程．
18. 已知圆过点，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）设点在圆上运动，点，记为线段的中点，求的轨迹方程；
19. 读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．

（1）由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数；
（2）从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．
20. 如图，已知在矩形中，为边的中点，将沿直线折起到（平面）的位置，为线段的中点.
（1）求证：平面；
（2）已知，当平面平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
21. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，，，，，为棱中点.

条件①：；
条件②：平面平面.
从条件①和条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成下列问题：
（1）求证：；
（2）若点在线段上，且点到平面的距离为，求线段的长.
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.
22. 已知点，，动点P满足，设P的轨迹为C．
（1）求C的轨迹方程；
（2）若过点A的直线与C交于M，N两点，求取值范围．
男生一周阅读时间频数分布表
小时
频数
9
22
6
3