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浙教版数学七年级下册 第2章 阅读材料 《九章算术》中的“方程” 教案
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这是一份浙教版数学七年级下册 第2章 阅读材料 《九章算术》中的“方程” 教案，共11页。
《九章算术》中的“方程”——基于HPM视角的拓展课一、教材分析：本节课源自浙教版七年级下册第2章二元一次方程组第53页阅读材料，这是在学生学习了二元一次方程组后对方程内容的拓展。学生在此之前，已经有解一元一次方程、二元一次方程组甚至三元一次方程组的经验，主要通过加减或者代入消元，但是学生对更多元的方程还缺乏经验，对数学文化的了解比较欠缺。而九章算术中有丰富的方程应用内容，包括从“一元”到“五元”的线性方程应用，题目来源于生活，应用于生活，具有趣味性，是基于HPM视角向学生作知识拓展的良好素材。二、教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解《九章算术》的历史意义、主要内容及其独特成就，了解古人的算筹技法；2、能利用方程思想解决《九章算术》中的简单方程实际问题；（二）过程与方法目标：1、重点经历二元一次方程组甚至多元线性方程的求解过程，体会“方程”思想在解决实际问题中的重要性，再次体验“消元”思想的实际应用。2、让学生经历求解《九章算术》中由“一元”到“五元”的过程，了解线性方程的发展，体验类比探究的思想。（三）情感态度与价值观目标：1、通过了解中国古代数学名著《九章算术》的背景和内容，渗透数学文化，培养学生形成正确数学史观。2、激发学生学习兴趣，拓宽知识视野，感受数学的悠久历史，感悟数学文化多元性。三、教学重难点：教学重点：利用二元一次方程组解决《九章算术》中的简单实际问题教学难点：部分题目稍有文言表述，学生对题意理解可能稍有困难；数学文化、数学思想方法的渗透四、教学过程：五、板书设计：六、作业布置七（3）班某同学参加某项测试，试卷一共10题，答对1题得4分，不答题得1分，答错得0分。某同学最终成绩为20分。请问他答对几道题？未答几道题？答错几道题？【设计意图】补充不定方程的应用，让学生对二元一次方程有进一步的认识，同时也为后面学习函数内容作铺垫。六、教学反思：将数学史恰当融入课堂教学，贴近学生生活实际，无疑对学生不管是从知识层面还是情感层面都具有良好的教育意义。本节课的教学，就是基于HPM教学理念展开设计。本节课尝试利用九章算术中的方程内容进行系统重构，结合学生的实际有序编排课程内容，以线性方程由“一元”到“多元”的变化为主线展开教学。在引入部分，通过微视频“附加式”地对九章算术作简要介绍；在课堂主体探究部分，通过”复制式“以及”顺应式“的教学设计，恰当呈现教学内容，突出重点。在有关二元一次方程组应用的重点部分，力图在呈现历史上的四类的二元一次方程组应用（汪晓勤2007）的同时，又兼顾到题目难度阶梯设置。在最后尝试对线性方程组作简要归纳定义，给学生的数学学习埋下一颗种子，静待发芽。结尾部分再次利用“附加式”的微视频对古代算筹作简要介绍，渗透数学文化。因考虑到之前讨论的方程中，还独缺不定方程，故在最后部分再添加一个不定方程的问题作为拓展。本节课的教学不仅将数学史融入课堂教学，更是利用信息技术辅助教学。在开头跟结尾部分都使用了微视频的形式，在课中学生练习评价反馈的环节，更是利用到了手机投屏，及时评价反馈，从而实现高效教学。总的来讲，本节课的教学基本能够达到预期的目标，让学生重点巩固二元一次方程组应用的同时，对方程知识的前后联系都做了进一步的拓展。最重要的是，在这一过程中让学生亲历求解《九章算术》这一中国古代数学第一本专著中的经典问题，感悟中国古人的智慧，品味中国古典数学文化魅力。课堂教学是一门遗憾的艺术。由于课程时间的限制，在本节课的教学设计中，部分环节最后呈现的效果，相较最起初设计时都做了较大的删减，不能将其中精华尽数展示给学生不失为一大遗憾。此外，问题三“亩产问题”的选取并不纯粹，并非是九章算术中的原题，在查资料时有所遗漏，再次查找材料后现作补充：关于类型三，可以考虑引用《九章算术》中的“玉石问题”：【原题】今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？【译文】已知每立方寸玉重7两，每立方寸石重6两。现有一块边长为3寸立方石块，其中含玉，共重11斤。问玉、石各重多少斤？本节课的教学，目的是给学生埋下一颗数学的种子，引领学生去探索发现数学的神奇魅力。 教学过程教学内容设计意图微视频引入师：在源远流长的人类数学发展史上，中国古代数学一直扮演着一个重要的角色。今天，让我们一起穿越历史，品味中国古典数学的神奇魅力。本节课的主题就是它——《九章算术》，在此之前你对它有所了解么？有哪位同学可以简单谈谈吗？生：……师：看来同学们对数学文化的了解还比较欠缺，那我们通过一段视频深入了解一下。（微视频，下附微视频讲稿）“《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其作者已不可考。一般认为它是历经各代数学家的增补修订，最后成书于东汉前期（公元1世纪左右），现今流传的大多是在三国时期（魏元帝景元四年(公元263年)），刘徽为《九章算术》所作的注本。刘徽（225～295），山东邹平县人，魏晋时伟大数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，著有《九章算术注》和《海岛算经》。它是中国古代《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现，标志着中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》因其内容有九卷而得名，全书共收有246个与生产、生活有联系的实际问题，这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股这九个章节。《九章算术》确定了中国古代数学的框架，此外它在数学上还有独到的成就，比如在“方田”章中最早系统叙述了分数，“盈不足”的算法更是一项令人惊奇的创造，在“方程”章中首次阐述了负数及其加减运算法则，开创世界数学史先河。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的杰出贡献。“数学来源于生活，而应用于生活。我们最近已经学习了有关方程的一些内容，下面我们就运用所学知识，品味几道原汁原味的九章算术中的方程问题。由于学生基本都是初次接触《九章算术》，本环节采用“附加式”的形式，通过微视频生动形象、快速高效对九章算术的背景和内容作简介，引出本节主题——九章算术中的“方程”合作探究问题一：（盈不足问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？师：这里的“盈”和“不足”指的是什么意思？生：“盈”指的是多余，“不足”指的是还不够。师：没错，它实际上就表示一对具有相反意义的量。那这个题目你会怎么解决？生1：设人数x，物价y，列二元一次方程组师：有不同意见么？生2：设人数x，列一元一次方程师：事实上，大部分的二元一次方程组的问题都可以用一元一次方程来解决，可以相互转化，但是在具体列方程时，主要依据方便原则。本题选自第七章“盈不足”的第一题，“复制式”呈现，尽管并不是“方程”章的内容，但是题目非常经典，既可用一元一次方程来解，也可用二元一次方程求解，且难度不大，作为引入二元一次方程组类型一：例题尝试例题尝试那对于这个牛羊问题，你会采用什么方法？问题二：（牛羊问题）今有牛六、羊二，直金十一两；牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直几金？（限时1分钟，列出方程）生：设牛x金，羊y金，列二元一次方程组 师：那你觉得这个题目可以用一元一次方程来解吗？生：可以，但是那样太麻烦了。师：所以我们在考虑如何设元列方程的时候，主要还是遵循方便原则。（限时1分钟，求解该方程组）师：请一位同学来回答一下，你采取的是什么策略？生：利用加减消元，……师：但是老师还看到个别同学是这样做的……，他采用的是什么方法？生：代入消元师：对于这个题目，比较两种解法，你更喜欢哪一个？为什么？生：加减消元，因为代入消元此时会出现分数师：所以我们在解方程时，也是遵循方便原则。问题三：（亩产问题）今有甲乙两块地共6亩，甲地亩产4担粮，乙地亩产3担粮，甲地的总产量比乙地总产量多10担。问：甲乙两地面积各多少亩？（限时3分钟，列方程求解）师：请一位同学来阐述一下你的解题过程生：设甲x亩，乙y亩，列二元一次方程组 ……师：他采用的是什么方法？那用代入（加减）消元是不是也很方便？这两种解法，在计算过程上看似不同，但是它们的本质上是一样的，不管是利用代入还是加减，主要想达到怎样的目的？生：实现消元。本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第九题，“复制式”呈现。本题在题意理解上难度较小，列方程比较容易，学生会非常自然地设两个未知数列二元一次方程组。限时独立完成，培养注意力集中，高效学习。二元一次方程组类型二：回顾 “加减消元法”和“代入消元法”的解题步骤和适用特点。本题是为呈现二元一次方程组类型三而所作的改编补充，同时也为消元法策略的 选择作为讨论材料。二元一次方程组类型三：酌情可考虑补充丢番图解法设自主练习自主练习自主练习问题四：（钱数问题）今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半(2/3)而钱亦五十。问甲、乙持钱各几何？（限时3分钟，列方程求解）(利用手机投屏功能，及时将学生解题过程评价反馈) 师：像这类含有分数的方程，一般我们求解时会怎么处理？生：先将其变形，转化为整数再求解师：没错，事实上在古典数学中也是类似处理。值得骄傲的是，《九章算术》在数学史中首次系统讨论了分数，而本题是则是其中第一个含分数的方程应用。变式：甲得乙7钱，则此时甲的钱数是乙的5倍；乙得甲8钱，则此时乙的钱数是甲的2倍。问：甲、乙各有多少钱？（限时3分钟，列方程求解）(利用手机投屏功能，及时将学生解题过程评价反馈) 师：在这一方程的计算过程中，我们进行了移项、变号、加减等运算，并且出现了负数。在这看似简单的过程中，实则蕴含了我们先人的智慧，《九章算术》是在数学史中首次提出负数概念，以及加减运算法则。我觉着此处应该有掌声！生：掌声……问题五：（雀燕问题）今有5只麻雀，6只燕子，共重1斤。分别在天平上称量，麻雀重，燕子轻。将1只麻雀与1只燕子交换，天平恰好平衡。问：1只麻雀、1只燕子各重多少？（1斤=16两）（限时2分钟，列方程）生：设1只麻雀x两，1只燕子y两，列二元一次方程组师：上一条方程容易表示，但是下一条方程有些同学看一下子不好理解，我们可以通过怎样的办法较为准确地表示？生：可以通过画图师：……师：除此之外，对于本题你是否还有其他解法？生：……生：可以本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第十题，“复制式”呈现，是首个含分数系数的二元一次方程组问题。归纳处理含分数方程一般测量：“分数化整”“附加式”地补充九章算术的独特成就，渗透数学文化，培养学生的民族自豪感“顺应式”地在前题背景下修改题设。 二元一次方程组类型四：（本类型的问题似乎源于古希腊）“附加式”地补充九章算术的独特成就，渗透数学文化，培养学生的民族自豪感本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第九题，“复制式”呈现，但原文理解可能稍有困难，故改用现代语言表述。本题有两种解法，意图让学生体会其中转化思想，同时还渗透解题时利用画图示意的解题技巧。拓展延伸拓展延伸问题六：（程禾问题）（列方程）3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗。问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？师：本题是“方程”章的第一题，是本章思想方法的典型体现。对于这个方程组，你有信心可以解决么？生：可以通过“消元”，转化为二元一次方程组再解问题七：（畜牧问题）（列方程）五羊、四犬、三鸡、二兔直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔直钱八百六十一；问：羊、犬、鸡、兔各几何？师：这个方程组你有信心可以解决么？生：也一样，通过消元，先转化为三元一次方程组问题七：（粮食问题）（列方程）麻九斗、麦七斗、菽三斗、苔二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、苔五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、苔六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、苔九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、苔八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？师：这个方程组古人成功的将其求解，作为现代人的你，有信心可以解决么？生：也一样……（不少学生此时已经表示惊叹状） 师：我们刚才所列的3元1次方程组，4元1次方程组，5元1次方程组，以及我们之前所列的二元一次方程组，1元1次方程，他们有什么共同特点？生：未知数的最高次数都是一次师：没错，像这一类方程，我们将其统称为线性方程（组）。值得骄傲的是，早在九章算术成书时代，中国古人以对较复杂的线性方程组展开研究，使用直除法求解，类似于现在的加减消元法，这是世界上最早的完整求解线性方程组的方法。而西方直到17世纪，相关研究尚处于初级阶段。对于这些方程组的求解，作为现代人的你有信心可以解决吗？那古人在做算术时又是怎样求解呢？用到什么工具呢？这里给大家介绍一下古人曾使用的神奇小工具——算筹。（算筹简介微视频）本题选自“方程”章中第一题，翻译为现代语言，“复制式”呈现。意图是在前面二元一次方程组应用的基础之上，自然地类比延伸到三元一次方程组问题。在解法上也是类比二元一次方程组，凸显“消元”和“转化”的思想。 本题选自“方程”章中四元一次方程组系列第二题， “复制式”呈现。意图由“三元”进一步类比延伸到“四元”本题选自“方程”章中五元一次方程组原题， “复制式”呈现。意图由“四元”进一步类比延伸到“五元”意图让学生感受古人智慧，品味古代数学的魅力。归纳总结，给出线性方程（组）的定义，为以后线性方程，矩阵等内容的学习埋下伏笔。“附加式”地介绍九章算术中对线性方程的研究概况和卓越成就，培养学生的历史自豪感。“附加式”地介绍古代算筹的使用，拓展学生对古代数学的认识，激发学习兴趣。归纳小结本节课你有哪些收获？引导学生回顾反思本节课的知识，感悟中国古典数学的神奇魅力。《九章算术》中的“方程”线性方程（组）一元一次方程 “盈不足” 二元一次方程 …… 加减消元法 代入消元法三元一次方程 “燕雀问题”四元一次方程 ……五元一次方程“牛羊问题” “亩产问题”…… ……
《九章算术》中的“方程”——基于HPM视角的拓展课一、教材分析：本节课源自浙教版七年级下册第2章二元一次方程组第53页阅读材料，这是在学生学习了二元一次方程组后对方程内容的拓展。学生在此之前，已经有解一元一次方程、二元一次方程组甚至三元一次方程组的经验，主要通过加减或者代入消元，但是学生对更多元的方程还缺乏经验，对数学文化的了解比较欠缺。而九章算术中有丰富的方程应用内容，包括从“一元”到“五元”的线性方程应用，题目来源于生活，应用于生活，具有趣味性，是基于HPM视角向学生作知识拓展的良好素材。二、教学目标：（一）知识与技能目标：1、了解《九章算术》的历史意义、主要内容及其独特成就，了解古人的算筹技法；2、能利用方程思想解决《九章算术》中的简单方程实际问题；（二）过程与方法目标：1、重点经历二元一次方程组甚至多元线性方程的求解过程，体会“方程”思想在解决实际问题中的重要性，再次体验“消元”思想的实际应用。2、让学生经历求解《九章算术》中由“一元”到“五元”的过程，了解线性方程的发展，体验类比探究的思想。（三）情感态度与价值观目标：1、通过了解中国古代数学名著《九章算术》的背景和内容，渗透数学文化，培养学生形成正确数学史观。2、激发学生学习兴趣，拓宽知识视野，感受数学的悠久历史，感悟数学文化多元性。三、教学重难点：教学重点：利用二元一次方程组解决《九章算术》中的简单实际问题教学难点：部分题目稍有文言表述，学生对题意理解可能稍有困难；数学文化、数学思想方法的渗透四、教学过程：五、板书设计：六、作业布置七（3）班某同学参加某项测试，试卷一共10题，答对1题得4分，不答题得1分，答错得0分。某同学最终成绩为20分。请问他答对几道题？未答几道题？答错几道题？【设计意图】补充不定方程的应用，让学生对二元一次方程有进一步的认识，同时也为后面学习函数内容作铺垫。六、教学反思：将数学史恰当融入课堂教学，贴近学生生活实际，无疑对学生不管是从知识层面还是情感层面都具有良好的教育意义。本节课的教学，就是基于HPM教学理念展开设计。本节课尝试利用九章算术中的方程内容进行系统重构，结合学生的实际有序编排课程内容，以线性方程由“一元”到“多元”的变化为主线展开教学。在引入部分，通过微视频“附加式”地对九章算术作简要介绍；在课堂主体探究部分，通过”复制式“以及”顺应式“的教学设计，恰当呈现教学内容，突出重点。在有关二元一次方程组应用的重点部分，力图在呈现历史上的四类的二元一次方程组应用（汪晓勤2007）的同时，又兼顾到题目难度阶梯设置。在最后尝试对线性方程组作简要归纳定义，给学生的数学学习埋下一颗种子，静待发芽。结尾部分再次利用“附加式”的微视频对古代算筹作简要介绍，渗透数学文化。因考虑到之前讨论的方程中，还独缺不定方程，故在最后部分再添加一个不定方程的问题作为拓展。本节课的教学不仅将数学史融入课堂教学，更是利用信息技术辅助教学。在开头跟结尾部分都使用了微视频的形式，在课中学生练习评价反馈的环节，更是利用到了手机投屏，及时评价反馈，从而实现高效教学。总的来讲，本节课的教学基本能够达到预期的目标，让学生重点巩固二元一次方程组应用的同时，对方程知识的前后联系都做了进一步的拓展。最重要的是，在这一过程中让学生亲历求解《九章算术》这一中国古代数学第一本专著中的经典问题，感悟中国古人的智慧，品味中国古典数学文化魅力。课堂教学是一门遗憾的艺术。由于课程时间的限制，在本节课的教学设计中，部分环节最后呈现的效果，相较最起初设计时都做了较大的删减，不能将其中精华尽数展示给学生不失为一大遗憾。此外，问题三“亩产问题”的选取并不纯粹，并非是九章算术中的原题，在查资料时有所遗漏，再次查找材料后现作补充：关于类型三，可以考虑引用《九章算术》中的“玉石问题”：【原题】今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两。今有石立方三寸，中有玉，并重十一斤。问玉、石重各几何？【译文】已知每立方寸玉重7两，每立方寸石重6两。现有一块边长为3寸立方石块，其中含玉，共重11斤。问玉、石各重多少斤？本节课的教学，目的是给学生埋下一颗数学的种子，引领学生去探索发现数学的神奇魅力。 教学过程教学内容设计意图微视频引入师：在源远流长的人类数学发展史上，中国古代数学一直扮演着一个重要的角色。今天，让我们一起穿越历史，品味中国古典数学的神奇魅力。本节课的主题就是它——《九章算术》，在此之前你对它有所了解么？有哪位同学可以简单谈谈吗？生：……师：看来同学们对数学文化的了解还比较欠缺，那我们通过一段视频深入了解一下。（微视频，下附微视频讲稿）“《九章算术》是中国古代第一部数学专著，其作者已不可考。一般认为它是历经各代数学家的增补修订，最后成书于东汉前期（公元1世纪左右），现今流传的大多是在三国时期（魏元帝景元四年(公元263年)），刘徽为《九章算术》所作的注本。刘徽（225～295），山东邹平县人，魏晋时伟大数学家，中国古典数学理论的奠基人之一，著有《九章算术注》和《海岛算经》。它是中国古代《算经十书》(汉唐之间出现的十部古算书)中最重要的一种，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，是一本综合性的历史著作，是当时世界上最先进的应用数学，它的出现，标志着中国古代数学形成了完整的体系。《九章算术》因其内容有九卷而得名，全书共收有246个与生产、生活有联系的实际问题，这些问题依照性质和解法分别隶属于方田、粟米、衰（音cui）分、少广、商功、均输、盈不足、方程及勾股这九个章节。《九章算术》确定了中国古代数学的框架，此外它在数学上还有独到的成就，比如在“方田”章中最早系统叙述了分数，“盈不足”的算法更是一项令人惊奇的创造，在“方程”章中首次阐述了负数及其加减运算法则，开创世界数学史先河。可以说，《九章算术》是中国为数学发展做出的杰出贡献。“数学来源于生活，而应用于生活。我们最近已经学习了有关方程的一些内容，下面我们就运用所学知识，品味几道原汁原味的九章算术中的方程问题。由于学生基本都是初次接触《九章算术》，本环节采用“附加式”的形式，通过微视频生动形象、快速高效对九章算术的背景和内容作简介，引出本节主题——九章算术中的“方程”合作探究问题一：（盈不足问题）今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问：人数、物价各几何？师：这里的“盈”和“不足”指的是什么意思？生：“盈”指的是多余，“不足”指的是还不够。师：没错，它实际上就表示一对具有相反意义的量。那这个题目你会怎么解决？生1：设人数x，物价y，列二元一次方程组师：有不同意见么？生2：设人数x，列一元一次方程师：事实上，大部分的二元一次方程组的问题都可以用一元一次方程来解决，可以相互转化，但是在具体列方程时，主要依据方便原则。本题选自第七章“盈不足”的第一题，“复制式”呈现，尽管并不是“方程”章的内容，但是题目非常经典，既可用一元一次方程来解，也可用二元一次方程求解，且难度不大，作为引入二元一次方程组类型一：例题尝试例题尝试那对于这个牛羊问题，你会采用什么方法？问题二：（牛羊问题）今有牛六、羊二，直金十一两；牛二、羊五，直金八两。问：牛、羊各直几金？（限时1分钟，列出方程）生：设牛x金，羊y金，列二元一次方程组 师：那你觉得这个题目可以用一元一次方程来解吗？生：可以，但是那样太麻烦了。师：所以我们在考虑如何设元列方程的时候，主要还是遵循方便原则。（限时1分钟，求解该方程组）师：请一位同学来回答一下，你采取的是什么策略？生：利用加减消元，……师：但是老师还看到个别同学是这样做的……，他采用的是什么方法？生：代入消元师：对于这个题目，比较两种解法，你更喜欢哪一个？为什么？生：加减消元，因为代入消元此时会出现分数师：所以我们在解方程时，也是遵循方便原则。问题三：（亩产问题）今有甲乙两块地共6亩，甲地亩产4担粮，乙地亩产3担粮，甲地的总产量比乙地总产量多10担。问：甲乙两地面积各多少亩？（限时3分钟，列方程求解）师：请一位同学来阐述一下你的解题过程生：设甲x亩，乙y亩，列二元一次方程组 ……师：他采用的是什么方法？那用代入（加减）消元是不是也很方便？这两种解法，在计算过程上看似不同，但是它们的本质上是一样的，不管是利用代入还是加减，主要想达到怎样的目的？生：实现消元。本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第九题，“复制式”呈现。本题在题意理解上难度较小，列方程比较容易，学生会非常自然地设两个未知数列二元一次方程组。限时独立完成，培养注意力集中，高效学习。二元一次方程组类型二：回顾 “加减消元法”和“代入消元法”的解题步骤和适用特点。本题是为呈现二元一次方程组类型三而所作的改编补充，同时也为消元法策略的 选择作为讨论材料。二元一次方程组类型三：酌情可考虑补充丢番图解法设自主练习自主练习自主练习问题四：（钱数问题）今有甲乙二人持钱不知其数。甲得乙半而钱五十，乙得甲太半(2/3)而钱亦五十。问甲、乙持钱各几何？（限时3分钟，列方程求解）(利用手机投屏功能，及时将学生解题过程评价反馈) 师：像这类含有分数的方程，一般我们求解时会怎么处理？生：先将其变形，转化为整数再求解师：没错，事实上在古典数学中也是类似处理。值得骄傲的是，《九章算术》在数学史中首次系统讨论了分数，而本题是则是其中第一个含分数的方程应用。变式：甲得乙7钱，则此时甲的钱数是乙的5倍；乙得甲8钱，则此时乙的钱数是甲的2倍。问：甲、乙各有多少钱？（限时3分钟，列方程求解）(利用手机投屏功能，及时将学生解题过程评价反馈) 师：在这一方程的计算过程中，我们进行了移项、变号、加减等运算，并且出现了负数。在这看似简单的过程中，实则蕴含了我们先人的智慧，《九章算术》是在数学史中首次提出负数概念，以及加减运算法则。我觉着此处应该有掌声！生：掌声……问题五：（雀燕问题）今有5只麻雀，6只燕子，共重1斤。分别在天平上称量，麻雀重，燕子轻。将1只麻雀与1只燕子交换，天平恰好平衡。问：1只麻雀、1只燕子各重多少？（1斤=16两）（限时2分钟，列方程）生：设1只麻雀x两，1只燕子y两，列二元一次方程组师：上一条方程容易表示，但是下一条方程有些同学看一下子不好理解，我们可以通过怎样的办法较为准确地表示？生：可以通过画图师：……师：除此之外，对于本题你是否还有其他解法？生：……生：可以本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第十题，“复制式”呈现，是首个含分数系数的二元一次方程组问题。归纳处理含分数方程一般测量：“分数化整”“附加式”地补充九章算术的独特成就，渗透数学文化，培养学生的民族自豪感“顺应式”地在前题背景下修改题设。 二元一次方程组类型四：（本类型的问题似乎源于古希腊）“附加式”地补充九章算术的独特成就，渗透数学文化，培养学生的民族自豪感本题选自“方程”章中二元一次方程组问题系列的第九题，“复制式”呈现，但原文理解可能稍有困难，故改用现代语言表述。本题有两种解法，意图让学生体会其中转化思想，同时还渗透解题时利用画图示意的解题技巧。拓展延伸拓展延伸问题六：（程禾问题）（列方程）3束上等的稻，2束中等的稻，1束下等的稻，共出谷39斗；2束上等的稻，3束中等的稻，1束下等的稻，共出谷34斗；1束上等的稻，2束中等的稻，3束下等的稻，共出谷26斗。问：上、中、下三种稻，每束的出谷量各是多少斗？师：本题是“方程”章的第一题，是本章思想方法的典型体现。对于这个方程组，你有信心可以解决么？生：可以通过“消元”，转化为二元一次方程组再解问题七：（畜牧问题）（列方程）五羊、四犬、三鸡、二兔直钱一千四百九十六；四羊、二犬、六鸡、三兔直钱一千一百七十五；三羊、一犬、七鸡、五兔直钱九百五十八；二羊、三犬、五鸡、一兔直钱八百六十一；问：羊、犬、鸡、兔各几何？师：这个方程组你有信心可以解决么？生：也一样，通过消元，先转化为三元一次方程组问题七：（粮食问题）（列方程）麻九斗、麦七斗、菽三斗、苔二斗、黍五斗，直钱一百四十；麻七斗、麦六斗、菽四斗、苔五斗、黍三斗，直钱一百二十八；麻三斗、麦五斗、菽七斗、苔六斗、黍四斗，直钱一百一十六；麻二斗、麦五斗、菽三斗、苔九斗、黍四斗，直钱一百一十二；麻一斗、麦三斗、菽二斗、苔八斗、黍五斗，直钱九十五。问一斗直几何？师：这个方程组古人成功的将其求解，作为现代人的你，有信心可以解决么？生：也一样……（不少学生此时已经表示惊叹状） 师：我们刚才所列的3元1次方程组，4元1次方程组，5元1次方程组，以及我们之前所列的二元一次方程组，1元1次方程，他们有什么共同特点？生：未知数的最高次数都是一次师：没错，像这一类方程，我们将其统称为线性方程（组）。值得骄傲的是，早在九章算术成书时代，中国古人以对较复杂的线性方程组展开研究，使用直除法求解，类似于现在的加减消元法，这是世界上最早的完整求解线性方程组的方法。而西方直到17世纪，相关研究尚处于初级阶段。对于这些方程组的求解，作为现代人的你有信心可以解决吗？那古人在做算术时又是怎样求解呢？用到什么工具呢？这里给大家介绍一下古人曾使用的神奇小工具——算筹。（算筹简介微视频）本题选自“方程”章中第一题，翻译为现代语言，“复制式”呈现。意图是在前面二元一次方程组应用的基础之上，自然地类比延伸到三元一次方程组问题。在解法上也是类比二元一次方程组，凸显“消元”和“转化”的思想。 本题选自“方程”章中四元一次方程组系列第二题， “复制式”呈现。意图由“三元”进一步类比延伸到“四元”本题选自“方程”章中五元一次方程组原题， “复制式”呈现。意图由“四元”进一步类比延伸到“五元”意图让学生感受古人智慧，品味古代数学的魅力。归纳总结，给出线性方程（组）的定义，为以后线性方程，矩阵等内容的学习埋下伏笔。“附加式”地介绍九章算术中对线性方程的研究概况和卓越成就，培养学生的历史自豪感。“附加式”地介绍古代算筹的使用，拓展学生对古代数学的认识，激发学习兴趣。归纳小结本节课你有哪些收获？引导学生回顾反思本节课的知识，感悟中国古典数学的神奇魅力。《九章算术》中的“方程”线性方程（组）一元一次方程 “盈不足” 二元一次方程 …… 加减消元法 代入消元法三元一次方程 “燕雀问题”四元一次方程 ……五元一次方程“牛羊问题” “亩产问题”…… ……
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