专题7导数助力函数-解析版

这是一份专题7导数助力函数-解析版，共21页。试卷主要包含了函数性质优先转化策略，导数助力函数最值条件， 含参不等式恒成立转化，导数助力函数性质之技， 导数助力函数综合应用，导数助力多层复杂问题等内容，欢迎下载使用。
一、函数性质优先转化策略
问题1：已知函数f(x)＝x2ex(e为自然对数的底数，e＝2．71828⋯)．
(I)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的解，求实数a的取值范围．
(II)若实数m，n满足m＋n＝f(-2)，其中m＞n，分别记：关于x的方程f(x)＝m在(-∞，0)上两个不同的解为x1，x2；关于x的方程f(x)＝n在(-2，＋∞)上两个不同的解为x3，x4．求证：x1-x2＞x3-x4．
【解析】卡壳点：不知道方程有三个不同解的函数性质特征；不知道两个方程各有两个不同解的代数分析．
应对策略：研究函数的前提是搞清函数的性质(单调性、极值性等)，然后构造函数，再分析目标．方程有三个不同解的等价条件是参数在极大值与极小值之间．
问题解答：(I)f'(x)＝x2＋2xex，所以当x∈(-∞，-2]，[0，＋∞)时，f'(x)⩾0，即f(x)在(-∞，-2]，[0，＋∞)上单调递增，在[-2，0]上单调递减．如图1．
故f(x)在x＝-2处取得极大值f(-2)＝4e2，在x＝0处取得极小值f(0)＝0．
又当x→-∞时，f(x)→0(应用洛必达法则得
limx→-∞ x2e-x＝limx→-∞ 2x-e-x＝limx→-∞ 2e-x＝0；
当x→＋∞时，f(x)→＋∞．
所以当a∈0，4e2时，关于x的方程f(x)＝a有三个不同的解．
(II)记g(x)＝f(-2)-f(-2-x)，x⩾-2，下证
图1
f(x)＞g(x)．
令h(x)＝f(x)-g(x)＝f(x)-f(-2)＋f(-2-x)，
则h'(x)＝f'(x)-f'(-2-x)＝x(x＋2)e2x＋2-1ex＋2．
当x∈[-2，-1]，[0，＋∞)时，h'(x)⩾0，即h(x)在[-2，-1]，[0，＋∞)上单调递增，在[-1，0]上单调递减．
又h(-2)＝h(0)＝0，所以h(x)⩾0，即f(x)＞g(x)．
不妨设x1＜-2＜x2＜0，-2＜x3＜0＜x4，则有g-2-x1＝f(-2)-f-2-x1＝n＝fx4＜f-2-x1．
又x4∈(0，＋∞)，-2-x1∈(0，＋∞)，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以x4＜-2-x1．
同理g-2-x2＝n＝fx3＜f-2-x2．
又x3∈(-2，0)，-2-x2∈(-2，0)，f(x)在(-2，0)上单调递减，所以x3＞-2-x2．
因此x2-x1＞x4-x3．
若x2＜-2＜x1＜0，-2＜x4＜0＜x3，则x1-x2＞x3-x4．
故x1-x2＞x3-x4．
【反思】(1)借用三次函数有三个根的思维方法，将此函数三个解问题转化为类似三次函数研究的方法：单调性变化＋两端分析，找到极大(小)值就找到问题的解．
(2)“关于x的方程f(x)＝m在(-∞，0)上两个不同的解为x1，x2；关于x的方程f(x)＝n在(-2，＋∞)上两个不同的解为x3，x4”是什么意思?首先根据(I)知道f(x)的状态，两个方程的定义区间有重叠，在(-2，＋∞)上构造一个新函数g(x)＝f(-2)-f(-2-x)，目的是比较四个根的位置关系，注意借助一个“桥”，即“－2”，因为x1＜x2＜0，-2＜x3＜x4，根据题设信息不妨设x1＜-2＜x2＜0，-2＜x3＜0＜x4．
（3）当面对复杂代数式结构时，冷静地分解代数式，多次尝试，找到代数式的主体结构．
二、导数助力函数最值条件
问题2：已知a∈[0，1)，函数f(x)＝ex-ax-ax2(x＞0)是否有最小值?
【解析】卡壳点：不能抓住最值与单调性之间的联系．
应对策略：判断函数是否有最值，可以考虑求出导函数，并研究其单调性，进而确定函数的图象和性质，得出函数的最值．
问题解答：要判断函数f(x)＝ex-ax-ax2(x＞0)是否有最小值，首先要研究其单调性，所以需要求其导数．
因为f'(x)＝(x-2)ex＋a(x＋2)x3，又x＞0，所以f'(x)的正负取决于(x-2)ex＋a(x＋2)的符号，为此要研究h(x)＝(x-2)ex＋a(x＋2)的单调性．
令u(x)＝h'(x)＝(x-1)ex＋a，因为u'(x)＝xex＞0，如图2，所以u(x)在(0，＋∞)上单调递增．
图2图3图4
因为h'(0)＝-1＋a＜0，h'(1)＝a⩾0，所以h'(x)在(0，1]上有唯一零点．
设h'x0＝0，0＜x0⩽1，即h'x0＝x0-1ex0＋a＝0．
如图 3, 当 x∈0,x0 时, h'(x)0 得到 f(x)⩽fx0.
问题解答: (I) 当 a=-1 时, f(x)=ln⁡x-x2+x, 则 f'(x)=2x+1x(1-x).
于是 f(x) 的单调递增区间是 (0,1), 单调递减区间为 (1,+∞).
(II) 记 g(x)=f(x)-a2-1x2-x-1,
即 g(x)=ln⁡x-ax22+(1-a)x+10, 则 g'(x)=x+1x(1-ax).
当 x⩽1a 时, g'(x)>0, 于是 g(x)⩽g1a=-ln⁡a+12a.
要证 -ln⁡a+12a0 得到 f(x)⩽fx0, 这是利用导数及函数单调性进行数学逻辑推理的基本 方法, 第 (II) 问在证明不等式恒成立时, 就应用了这一方法.
(2) 为了证明不等式恒成立, 判断函数的最大值小于 0 , 两次应用上述方法.
四、导数助力函数性质之技
问题 4: 已知函数 f(x)=x-1x-ln⁡x.
(I) 若 f(x) 在 x=x1,x2x1≠x2 处的导数相等, 证明: fx1+fx2>3-2ln⁡2;
(II) 若对于任意 k∈(-∞,1), 直线 y=kx+b 与曲线 y=f(x) 都有唯一公共点, 求实数 b 的取值范围.
【解析】卡壳点: “导数相等”不会转化;“直线与曲线有唯一公共点”不会转化.
应对策略: 从题设条件“导数相等”开始挖掘, 遇到符号判断困难与障碍时用导数来助力.
问题解答: (I) f'(x)=1+1x2-1x.
令 f'x1=f'x2=m ，得 1x12-1x1+1-m=0,1x22-1x2+1-m=0.
由韦达定理得 1x1+1x2=1, 即 x1+x2=x1x2>2x1x2 ，得 x1x2>4.
所以 fx1+fx2=x1+x2-1x1+1x2-ln⁡x1+ln⁡x2=x1x2-ln⁡x1x2-1.
令 t=x1x2>4, 则 x1x2-ln⁡x1x2-1=t-ln⁡t-1.
令 g(t)=t-ln⁡t-1(t>4), 则 g'(t)=1-1t>0(t>4), 得 g(t)>g(4)=3-2ln⁡2.
令 h(x)=x-1x-ln⁡x-bx, 则当 x→0+时, h(x)→-∞, 当 x→+∞ 时, h(x)→1.
下面先证明 h(x)0.
令 f'(x)=0, 得 x1=1,x2=a-1, 当 ae-1 或 f1e>e-1 即可.
因为 f(e)-(e-1)=e-a-1e-a-(e-1)=(e+1)(1-a)e>0, 所以 f(e)>e-1 成立.
故假设正确, 即当 ae-1 成立.
【反思】此问题有两个重要转化点,一是存在性问题, 即 “当 ae-1 成立”转化为 “当 x∈1e,e 时, f(x)max>e-1 ”; 二是“ f(x) 在 1e,1 上单调递减, 在 [1,e] 上单调递增, 所以 f(x)max =maxf1e,f(e) ” 转化为“ f(e)>e-1 或 f1e>e-1 ”.
六、导数助力多层复杂问题
问题 6 : 已知实数 a≠0, 设函数 f(x)=aln⁡x+x+1,x>0.
(I) 当 a=-34 时, 求函数 f(x) 的单调区间;
(II) 对任意 x∈1e2,+∞ 均有 f(x)⩽x2a, 求 a 的取值范围.
注: e=2.71828⋯ 为自然对数的底数.
【解析】卡壳点: 不会必要性探路和充分性证明.
应对策略: 第 (I) 问, 按部就班即可; 第 (II) 问是恒成立问题, 转化成函数问题求解.
问题解答: (I) 当 a=-34 时, f(x)=-34ln⁡x+1+x,x>0.
f'(x)=-34x+121+x=(1+x-2)(21+x+1)4x1+x,
所以函数 f(x) 的单调递减区间为 (0,3), 单调递增区间为 (3,+∞).
(II) 由 f(1)⩽12a, 得 00.
故 q(x) 在 1e2,17 上单调递增, 所以 q(x)⩽q17.
由 (i) 得 q17=-277p170.
即对任意 x∈1e2,+∞, 均有 f(x)⩽x2a.
综上所述, 所求 a 的取值范围是 0,24.
【反思】 在函数思考中, 关注解析式结构, 通过换元简化结构, 凸显本质.
强化练习
1.已知函数 f(x) 的定义域为 (0,+∞), 若 y=f(x)x 在 (0,+∞) 上为增函数, 则称 f(x) 为 “一阶比增函 数”; 若 y=f(x)x2 在 (0,+∞) 上为增函数, 则称 f(x) 为 “二阶比增函数”. 我们把所有 “一阶比增函数”组成的 集合记为 Ω1, 所有“二阶比增函数” 组成的集合记为 Ω2. 已知函数 f(x)=x3-2hx2-hx, 若 f(x)∈Ω1 且 f(x)∉Ω2, 则实数 h 的取值范围是
A.R+ B. R- C. [1,+∞) D. (-∞,-1]
【解析】因为且，即在上是增函数，所以.
而在上不是增函数，，当是增函数时，所以当不是增函数时，.
综上，，选择.
【反思】理解“一阶比增函数”“二阶比增函数”的前置条件，导数助力突破.
2.已知不等式 ex-x>ax 的解集为 P, 且 [0,2]⊆P, 则实数 a 的取值范围是
A. (-∞,e-1) B. (e-1,+∞) C. (-∞,e+1) D. (e+1,+∞)
【解析】因为的解集为，且，所以对于任意，恒成立.
当时，上述不等式显然成立，故只需考虑.
由于，则.
当时，；当时，.
当时，取得最小值，所以的取值范围是，选择.
【反思】理解集合子集概念，并转化为不等式恒成立问题.
3.若定义在 R 上的函数 f(x) 满足 f(0)=-1, 其导函数 f'(x) 满足 f'(x)>k>1, 则下列结论中一定错 误的是
A. f1k1k-1 C. f1k-11k-1
【解析】由已知条件，构造函数，则，故函数在上单调递增，且，故，所以，所以选项一定是错误的.
构造函数，则.故函数在上单调递增，且，故，所以，，选项无法判断，故选D.
【反思】导数助力，逻辑分析发现错误.
4.设定义在 -π2,π2 上的奇函数 f(x) 的导函数为 f'(x),f(1)=0, 且当 x>0 时, f(x)