专题8函数的建模与探究-解析版

这是一份专题8函数的建模与探究-解析版，共16页。试卷主要包含了电费计算中的建模意识，最佳工作安排的函数模型，质量分数中的函数模型，优惠购书中的数学建模，三峡水库蓄水量的数据拟合等内容，欢迎下载使用。

一、电费计算中的建模意识
生活中要用电、用水、用天然气等, 每月都会有一些支出, 作为学生, 你想过其中的数学模型吗? 你会描 述其中的数学模型吗?
问题 1 : 你知道你的家庭每月电费是如何计算的吗? 使用峰谷电的家庭按照浙江省居民生活用电 分为高峰和低谷两个时间段统计用电量. 电网销售电价表如下:
实际计费时, 每月每个时段每户基本用电量为 50 千瓦 • 时, 超过 50 千瓦 •时不足 200 千瓦 •时 (含 200 千瓦 •时), 每千瓦• 时加 0.03 元,超过 200 千瓦•时部分,每千瓦•时加 0.10 元. 某家庭 5 月 份的高峰时间段用电量为 200 千瓦 •时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦•时.
(I )该家庭 5 月应付的实际电费为 元; (用数字作答)
(II) 设峰电量为 x, 谷电量为 y, 确定电价 f(x,y) 的函数.
【解析】卡壳点: 实际问题的阅读理解力弱, 不会建立函数模型.
应对策略: 学会用数学符号语言 (函数) 来描述电费函数.
问题解答: (I) 实际生活中的电费单
(II) 实际计费方式的数学模型是
f(x,y)=0.568x+0.288y,x+y⩽50,0.568x+0.288y+0.03(x+y-50),50200.
【反思】 (1) 本例所涉及的问题是人们日常生活中常常遇到的, 学生要根据题意理解, 电费计算涉及一次 分段函数,当计算用电量时,应先判断用哪一个函数解析式.
(2) 此类分段函数在日常生活中有广泛应用,比如教材中出现过的计算个人所得税等.
二、最佳工作安排的函数模型
为了提高工作效率, 某项工作中会遇到一些科学安排问题, 需要用数学模型来解读实际问题. 然而, 现 实中很多学生不会用数学工具来解读, 因此产生痛点.
问题 2 : 某省阅卷点高考数学阅卷教师共有 400 人, 要完成文理科数学试卷的阅卷任务. 阅卷安排 时, 需将 400 人分成两组, 一组完成 475 捆理科试卷, 另一组完成 269 捆文科试卷, 据历年阅卷测算, 理 科每捆阅卷需要 4 天/人, 文科每捆阅卷需要 3 天/人.
(I)如何安排文理科阅卷教师的人数,使完成全省文理科阅卷任务的时间最省? (阅卷时间 = 阅 卷工作量 / 人数 = 每捆阅卷时间 × 文 (理)科试卷捆数 /人数)
(II)由于今年理科阅卷任务加重, 理科实际每捆阅卷需要 4.5 天/人,在按 (I) 分配人数阅卷 4 天 后, 从文科组抽调 20 人去阅理科卷, 试问完成全省阅卷任务至少需要多少天?（天数计算到小数点后第 3 位)
【解析】卡壳点: 不会解释数学计算结果的现实意义.
应对策略: 建立数学模型, 合理解决阅卷安排问题.
问题解答: 事实上, 问题中涉及阅卷工作量计算, 以及文科与理科阅卷工作量的差异, 合理调节阅卷人 数, 从而均衡文理科工作总量, 使阅卷时间的最省.
建立数学模型: 根据阅卷时间的计算方法, 分别建立文科与理科阅卷时间函数 f(x) 和 g(x), 设完成全 省阅卷任务的时间为 H(x), 则 H(x)=max{f(x),g(x)}, 问题转化为求 H(x) 的最小值.
(I) 设安排文科阅卷教师的人数为 x, 理科阅卷教师的人数为 400-x. 又设完成文科阅卷时间为 f(x), 完成理科阅卷时间为 g(x), 完成全省阅卷任务的时间为 H(x), 则 H(x)=max{f(x),g(x)}. 问题转化为 求 H(x) 的最小值.
由于阅卷时间 = 阅卷工作量 / 人数 = 每捆阅卷时间 × 文 (理) 科试卷量 / 人数,于是 ：
f(x)=269×3x(0g(x)=475×4400-x(0则 H(x)=max{f(x),g(x)}=269×3x,f(x)⩾g(x), 475×4400-x,f(x)H(x) 的图象为如图 1 所示的实线部分.
可知当 f(x)=g(x) 时, H(x) 存在最小值, 此时完成阅卷任务时间最省.
由 269×3x=475×4400-x 得 x=119.2.
因为 H(119)=f(119)=6.7815,H(120)=g(120)=6.7857, 所以 x=119.
因此安排文科阅卷教师的人数为 119 , 理科阅卷教师的人数为 281 , 可使完成全省文理科阅卷任务时间 最省.
(II) 在阅卷的前 4 天里, 文科阅卷教师有 119 人, 理科阅卷教师有 281 人, 从第 5 天开始, 文科阅卷教师 有 99 人,理科阅卷教师有 301 人.
所以文科阅卷时间为 4+269×3-119×13×4×399=7.343 (天)，
理科阅卷时间为 4+475×4.5-281×14.5×4×4.5301=7.367 (天).
完成全省阅卷任务的最短时间是 7.367 天. 由文理科阅卷时间来看, 完成任务的时间相差不大, 说明根 据文理科阅卷进度合理调配人数的决策是正确的.
【反思】 (1) 本题是根据高考阅卷的实际经历和实际数据编拟的一道数学应用问题, 它与 2001 年高考全 国卷第 12 题的数学模型类似,但解决的实际问题或解释的社会现象范围更广.
(2) 此题虽与初中的工程问题类似,但涉及的数学知识的深度较大,而且其中的数据与实际完全吻合, 可以说是一道真正意义上的数学应用问题. 解决此问题时, 学生虽能求出接近的答案 (一般列出 269×3x= 475×4400-x, 从而求出 x=119 或 120 ), 但叙述上会不完整, 数学模型上可能认不清. 此题的数学模型实质上是 最值函数的最值模型, 在解决第 (II) 问时, 不仅从量纲上而且从数据上不能有一点差错, 否则就不能得出 正确答案, 这需要学生具有一定的审题能力和运算能力.
三、质量分数中的函数模型
对于已知的数学模型, 为了解释其中的现象和本质, 需要对数学模型进行解读或证明, 找到问题的解或 证明其符合规律.
问题 3 : 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积 V=10 万立方米,每天流出湖泊的水量都是 r=2000 立方米. 现假设降水量和蒸发量正好平衡, 且污染物质与湖水能很好地混合, 用 g(t) 表示某一时刻 t 每 立方米湖水所含污染物质的克数, 我们称 g(t) 为在时刻 t 时的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每 天 p=1000 克的污染物质污染湖水, 湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=pr+g(0)-pr⋅e-t50, 其 中, g(0) 是初始的湖水污染质量分数.
(I) 当湖水污染质量分数为常数时, 求初始的湖水污染质量分数;
(II) 求证: 当 g(0)(III)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止, 那么需要经过多少天才能使湖水的污染 水平下降到开始时污染水平的 5% ?
(参考数据: lg⁡2≈0.3,ln⁡20≈3,lg⁡20≈1.3,ln⁡50≈4,lg⁡50≈1.7 )
【解析】卡壳点:“湖泊的污染程度将越来越严重”转化为数学符号语言受阻.
应对策略: 这是一个用给定数学模型——指数函数模型来确定初始值、解释指标的实际含义的问题, 解 题的关键是㧓住湖水污染质量分数函数 g(t), 探求 g(0) 的大小, 研究 g(t) 的性质及实际意义, 将自然文字 语言用数学符号语言表达.
问题解答: (I) 因为 pr=12, 所以 g(t)=12+g(0)-12⋅e-150.
当 g(t) 为常数时, g(0)-12=0, 所以 g(0)=12.
(II) 对于 0=g(0)-12e-t150-e-t250=g(0)-12⋅et250-el150e150t1+t2.
因为 g(0)-12<0,t10, 所以 gt1故湖水污染质量分数随时间变化而增加, 污染越来越严重.
(III) 污染停止即 p=0,pr=0,g(t)=g(0)⋅e-t50.
设经过 t 天能使湖水污染水平下降到初始污染水平的 5%, 即 g(t)=5%g(0).
故 120=e-t50, 可得 t=50ln⁡20≈150, 即需要 150 天.
【反思】 (1) 指数函数可以刻画自然界中的衰减与聚变现象, 本例的最大特点是自然语言与数学语言的 相互转化, 理解力也在相互转化中提高.
(2) 把自然语言转化为数学语言在非数学应用题中也是经常遇到的, 特别是接触实际生活较少的学 生, 更应该加大这方面的训练力度.
四、优惠购书中的数学建模
建立实际问题的数学模型后, 需要根据模型对实际问题进行分析, 学生往往在组织文字语言表达观点 时遇到障碍, 产生痛点.
问题 4:图书销售商为了推销图书, 提出种种优惠办法. 甲公司的批量订购优惠办法是: 凡订购额在 300 元以下者, 无优惠; 301-1000 元, 优惠 10%;1001-2000 元, 优惠 13%;2001-3000 元, 优惠 15%; 3001-4000 元, 优惠 18%;4000 元以上,优惠 20%; 先款购书者, 可在以上优惠基础上,再增加 10 个百分点的优惠. 乙公司的优惠办法是: 凡订购额在 500 元以下者,无优惠; 501-2000 元,优惠 20%;2001- 4000 元, 优惠 25%;4000 元以上, 优惠 30%; 先款购书者, 可在以上优惠基础上,再增加 5 个百分点的 优惠.
(I)试分别建立两家公司先书后款和先款后书情形下的优惠函数. (实际付款额与所购图书款之 间的关系式)
(II)试分析哪家公司优惠幅度较大?
(III) 某用户准备购买两家公司都有且书价一样的一种书 200 本, 每本价格为 13.80 元, 在先款后书 的条件下,该用户选择哪家公司最合算?
【解析】卡壳点:不会用分段函数表示实际模型, 也不会用文字语言解释问题.
应对策略: 用分段函数表示问题的数学模型,解后两个问题时用文字语言表示.
问题解答: ( I ) 设 x 为购书款, y1,y2 分别为先书后款条件下购买两家公司图书的实际付款额, z1,z2 分 别为先款后书条件下购买两家公司图书的实际付款额,则
先书后款者 y1=x,x⩽300,0.90x,301⩽x⩽1000,0.87x,1001⩽x⩽2000,0.85x,2001⩽x⩽3000,0.82x,3001⩽x⩽4000,0.80x,x>4000. 先购书者 z1=x,x⩽300,0.80x,301⩽x⩽1000,0.77x,1001⩽x⩽2000,0.75x,2001⩽x⩽3000,0.72x,3001⩽x⩽4000,0.70x,x>4000. 先书后款者 y2=x,x⩽500,0.80x,501⩽x⩽2000,0.75x,2001⩽x⩽4000,0.70x,x>4000. 先款购书者 z2=x,x⩽500,0.75x,501⩽x⩽2000,0.70x,2001⩽x⩽4000,0.65x,x>4000.
(II) 在先书后款条件下, 当 x⩽300 时,两家公司一样; 当 301⩽x⩽500 时, 甲公司优惠幅度较大; 当 x⩾ 501 时,乙公司优惠幅度较大.
在先款后书条件下, 当 x⩽300 时,两家公司一样; 当 301⩽x⩽500 时,甲公司优惠幅度较大; 当 x⩾501 时,乙公司优惠幅度较大.
因此不论哪种形式, 当购书款不大于 300 元时,两家公司一样, 介于 301 元至 500 元时, 选择甲公司较便 宜;大于 500 元时, 选择乙公司较便宜.
(III) 由于该用户购书款为 13.8×200=2760 元,若购买甲公司图书, 实际付款为 2760×0.75=2070 元; 若购买乙公司图书,实际付款为 2760×0.70=1932 元. 故选择乙公司最合算.
【反思】 (1) 这是根据两家图书推销公司提供的实际数据所编拟的实际问题,购买图书时,在书的质量大 体相当的前提下, 从学生的经济利益角度考虑应选择较便宜的一家公司, 由此引出上述问题.
(2) 此问题建立分段函数并不难,但确定在某一段内选择哪一家公司较便宜,需要学生具有一定的操 作能力和分析问题的能力,也需要学生具有较扎实的数学建模能力.
五、三峡水库蓄水量的数据拟合
在大数据时代, 要分析大量数据所呈现的规律以服务社会经济建设, 数据拟合就是最好的工具. 通过对 大量数据所描述的散点图进行分析, 用恰当的数学模型进行拟合, 在这个过程中, 选择拟合函数模型是一个 难点, 计算误差是另一个难点, 学生接触到此类问题时容易遇到痛点.
问题 5:2003 年 6 月 1 日,中央电视台播放了十分壮观的长江三峡工程开始蓄水的实况, 三峡 22 个 泄水闸关闭了19 个,当时江面海拔 100 米. 之后, 节目主持人每天都报告江面海拔高度和三峡水库蓄水 量情况, 现记录部分公布的数据如下:
在平面直角坐标系中以江面海拔高度为 x 轴, 蓄水量为 y 轴, 描点、作图, 观察蓄水量 y 与江面海 拔 x 之间的相关关系, 用一个函数去描述,写出函数解析式并预测当江面海拔达到 175 米时,长江三峡 水库的蓄水量(亿立方米).
【解析】卡壳点: 面对大量数据, 不会借助函数分析.
应对策略: 选择什么样的函数去拟合是一个难点, 对于中学生, 建议用二次函数去拟合. 问题解答: 在平面直角坐标系中, 描出三点 (100,23)、(125,85) 和 (135,123).
用一个二次函数去模拟,设其为 y=ax2+bx+c(a+0),
三点坐标代人可得 1002a+100b+c=23,1252a+125b+c=85,1352a+135b+c=123, 解得 a=0.038,b=-6.006,c=360.714.
所以 y=0.038x2-6.006x+360.714.
当 x=175 时, y=473.
预测当江面海拔达到 175 米时, 长江三峡水库的蓄水量可达 473 亿立方米.
【反思】 任何实际问题中的数据都是通过调查或实验得到的, 针对这些数据进行分析或建立一个函数模 型加以研究, 这种处理数据的方法在科学研究或实际工作中经常用到.
强化练习
1. 2019 年 1 月 3 日,嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆, 我国航天事业取得又 一重大成就. 实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通信联系. 为解决这个 问题, 发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”, 它沿着围绕地月拉格朗日 L2 点的轨道运行. L2 点是平衡点, 位于地月 连线的延长线上. 设地球质量为 M1, 月球质量为 M2, 地月距离为 R,L2 点到月球的距离为 r, 根据牛顿运动 定律和万有引力定律, r 满足方程: M1(R+r)2+M2r2=(R+r)M1R3.
设 α=rR, 由于 α 的值很小, 因此在近似计算中 3α3+3α4+α5(1+α)2≈3α3, 则 r 的近似值为( )
A. M2M1R B. M22M1R C. 33M2M1R D. 3M23M1R
【解析】已知，两边同时乘以，得，即，
即，
所以，选择.
【反思】抽象字母条件下的估值判断是一个重要的运算智慧.
2. 民用航空委员会的一位统计学家想要预测一个标准尺寸的集装箱的货运费用,从不同公司抽取了一 个包含 10 个标准集装箱的货运费用样本, 用 d 表示货运路程 (单位: 英里), 用 c 表示货运费用 (单位: 美元), 得到一组数据如下:
他建立了一个坐标系, 描绘了一个散点图, 描述货运路程 d 与货运费用 c 之间的数量关系, 选择相隔较 远的两点的数据, 用一条直线去模拟, 并建立直线方程. 请写出该直线的方程.
第 2 题图
【解析】设，将两组数据，代入后可得
解得，，所以.
【反思】这是一个数据拟合的简单应用问题，它的进一步研究要用到最小二乘法.数据拟合最重要的是根据散点图来选择点，建立参数满足的方程组.
3. 下表是一位驾驶员手册中的内容: 在干燥的混凝土路面上的停车距离.
注: 1 英尺 =0.3048 米, 1 英里 ≈1.6093 千米.
假设观察从 0 秒计时, 反应时间为 0.75 秒, 这是一种乐观的假设.
A : 制作一个停车距离相对汽车速度的散点图.
B : 能否用一个二次函数来描述这一组数据? 若能, 求出一个以车速 x 为自变量, d 为因变量的二次函数.
建立数学模型: 在高速公路或一般公路上开车, 都会遇到上述问题, 即当驾驶员发现前方道路上有障碍 物时, 要紧急刹车, 在这一过程中, 由于人的反应需要时间, 汽车由于惯性的作用也有一个刹车距离, 这样, 停车距离 =驾驶员反应时间内汽车所行距离十刹车距离, 而刹车距离与车速有关.
A: 根据已知数据制作的一个停车距离相对速度的散点图如下:
B : 观察上述散点图的特征, 用一个二次函数来描述这组数据.
【解析】设这个二次函数为，
将数据，，代入可得
解得，，，所以
【反思】本题通过散点图来分析，用二次函数来拟合.如果选择其他数据，则所得二次函数可能不一样，其误差都比较大；如果用最小二乘法来寻找这个二次函数，其误差比较小但计算量比较大.
高峰时间段用电价格表
低谷时间段用电价格表
月高峰用电量 (单位:千瓦・时)
高峰电价 (单位:元/(千瓦・时))
月低谷用电量 (单位:千瓦・时)
低谷电价 (单位:元/(千瓦・时))
50 及以下的部分
0.568
50 及以下的部分
0.288
项目
单价/元
电量(千瓦・时)
金额/元
峰电量 x
0.568
x=200
113.60
谷电量 y
0.288
y=100
28.80
阶梯 1:150 千瓦・时, 电费 4.50 元. 阶梯 2:100 千瓦・时, 电费 10.00 元.
148.40
时间
6 月 1 日
⋯
6 月 7 日
⋯
6 月 10 日
⋯
江面海拔/米
100
⋯
125
⋯
135
⋯
蓄水量/亿立方米
23
⋯
85
⋯
123
⋯
d
300
500
600
900
1000
1200
1400
1600
1700
2200
c
29
41
55
50
70
60
78
75
89
105
车速/(英里・时 -1
驾驶员反应距离/英尺
脎车距离/英尺
停车距离/英尺
20
22
22
44
30
33
50
83
40
44
88
132
50
55
138
193
60
66
198
264
70
77
270
347