专题9 数列基本运算-解析版

这是一份专题9 数列基本运算-解析版，共17页。试卷主要包含了条件变形与目标结构对接， 数列项之积累乘运算之技， 数列求和裂顶运算之技， 数列求和错位相荿之技，多角度去寻找代数结构， 数列主干条件结构变形之技等内容，欢迎下载使用。

一、条件变形与目标结构对接
问题 1 : 数列 an 满足 a1=32,an+1=an2-an+1,n∈N*, 则 m=1a1+1a2+⋯+1a2019 的整数部 分是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【解析】卡壳点: 面对 an+1=an2-an+1 的结构, 变形无思路.
应对策略: 先倒过来, 再裂项.
问题解答: 将 an+1-1=anan-1 “倒过来”, 得 1an+1-1=1anan-1,
再裂项得 1an+1-1=1an-1-1an,
再移项本质结构就出来了: 1an=1an-1-1an+1-1.
这样所求目标的求和就可以转化了:
1a1=1a1-1-1a2-1,
1a2=1a2-1-1a3-1,
…
1an=1an-1-1an+1-1,
累加可得 1a1+1a2+⋯+1an=1a1-1-1an+1-1.
令 n=2019, 则 m=1a1+1a2+⋯+1a2019=2-1a2020-1.
又 a1=32,a2=74,a3=3716,⋯ 易知 an 单调递增, 且 1a2020-1∈(0,1),
所以 m 的整数部分为 1 .
【反思】 在代数式变形过程中“倒过来” “再裂项” “再移项” 是代数变形的智慧点.
智慧思维导图：
二、 数列项之积累乘运算之技
问题 2: 已知数列 an 满足 a1=a∈0,1, 且 0(I) 求证: b1b2⋯bna1a2⋯an>an+1.
(II) 设 Tn 为数列 bn 的前 n 项和, 求证: Tn【解析】卡壳点:目标结构明显需要累乘运算,在推理运算中缺少经验与操作技术.
应对策略: 利用不等关系放缩, 形成累乘结构.
问题解答: ( I ) 因为 an>0, 所以 0从而 an+1⩽14an所以 bn=an-an+1an+1>an-an2an+1⩾an+12an, 从而 bnan>an+12an2,
所以 b1b2⋯bna1a2⋯an>a2a1⋅a3a2⋅⋯⋅an+1an=an+1a1>an+1.
(II) 由 ( I ) 知, an+1⩽14an,
所以 bn-316an2=an-an+1an+1-316an2=-an+1-14anan+1-34an.
又 an+1-14an⩽0,an+1-34an<0, 所以 bn⩽316an2.
因此 Tn⩽316a12+a22+⋯+an2
⩽316a12+116a12+⋯+116n-1a12 ⩽316a21-116n1-116【反思】第 (I) 问, 目标累乘结构是明显的, 将累乘结果有理化是一个智慧点, 也是代数式变形能力的 重点.
三、 数列求和裂顶运算之技
问题 3:已知数列 an 满足 a1+3a2+⋯+(2n-1)an=(2n-3)2n+1+6,n∈N*.
(I) 求数列 an 的通项 an;
(II) 若数列 bn 满足 bn=an2-an, 数列 bn 的前 n 项和为 Sn, 设 Tn=2nSn, 求证: T1+T2+⋯+ Tn<32
【解析】卡壳点: 第 (II) 问中裂项结构看不出.
应对策略:看出裂项结构,通过代数式变形, 掌握部分分式技术.
问题解答: (I) 当 n=1 时, a1=2.
a1+3a2+⋯+(2n+1)an+1=(2n-1)2n+2+6,
此式与已知条件式相减得 (2n+1)an+1=(2n+1)2n+1.
所以 an+1=2n+1, 故 an=2n.
(II ) bn=an2-an=22n-2n=2n2n-1,
Sn=∑i=1n 4i-2i=44n-13-22n-12-1=2n-1432n+1-2 (*)
=232n-12n+1-1,
Tn=2nSn=322n2n-12n+1-1=3212n-1-12n+1-1,
T1+T2+⋯+Tn
=3212-1-122-1+122-1-123-1+⋯+12n-1-12n+1-1
=321-12n+1-1<32.
【反思】 运算思维在 (*) 处容易出现障碍, 此时要认真观察式子结构, 想一想,有没有什么可能的情况, 因为最终要通过裂项消除, 这其中一定有什么规律没有发现!
四、 数列求和错位相荿之技
面对数列条件中复杂的代数结构, 将其向何处变化、变形、变换? 若不能驾驭, 也无能力和方法, 究其原 因,一是小学、初中数学学习基础不扎实, 代数式变形能力弱; 二是基本运算能力弱, 连分式运算变形能力都 欠缺,如何能发现问题结构的本质呢?
问题 4: 已知等比数列 an 的公比 q>1, 且 a3+a4+a5=117,a4+18 是 a3,a5 的等差中项. 数列 bn 满足 b1=1, 数列 bn+1-bnan 的前 n 项和为 2n2+n.
(I) 求 q 的值;
(II) 求数列 bn 的通项公式.
【解析】卡壳点:对数列项的结构挖掘不到位.
应对策略: 对条件 “数列 bn+1-bnan 的前 n 项和为 2n2+n ” 挖掘到位, 看出其结构, 应用错位相减法. 问题解答: (I) 由 a4+18 是 a3,a5 的等差中项得 a3+a5=2a4+36.
所以 a3+a4+a5=3a4+36=117, 解得 a4=27.
由 a3+a5=90 得 3q+1q=10.
因为 q>1, 所以 q=3.
(II) 设 cn=bn+1-bnan, 数列 cn 的前 n 项和为 Sn.
由 cn=S1,n=1,Sn-Sn-1,n⩾2 解得 cn=4n-1.
由 (I) 可知 an=3n-1, 所以 bn+1-bn=(4n-1)13n-1, 故 bn-bn-1=(4n-5)13n-2.
bn-b1=bn-bn-1+bn-1-bn-2+⋯+b3-b2+b2-b1 =(4n-5)13n-2+(4n-9)13n-3+⋯+7×13+3(*).
设 Tn=3+7×13+11×132+⋯+(4n-5)13n-2(**),
则 13Tn=3×13+7×132+11×133+⋯+(4n-5)13n-1 ，
两式相减得 23Tn=3+4×13+4×132+4×133+⋯+4×13n-2-(4n-5)13n-1.
因此 Tn=325-2×13n-2-32(4n-5)13n-1=325-(4n+1)13n-1,
b1=1,bn=172-4n+1213n-2,n⩾2.
即 bn=b1=1,n=1,172-4n+1213n-2,n⩾2.
【反思】 当运算到步聚 (*) 时,得到一个等差等比结构求和, 需要用错位相减法, 有许多学生将其进行倒 序得到步骤 (**) 的工作不会做, 结果是可以想象的.
五、多角度去寻找代数结构
面对数列条件中项与项的关系、项与前 n 项和的关系, 以及所求目标是探究结论中的代数式时, 首先要 认清结构, 看不出结构特征是最大的痛点, 没有意识去挖掘、去变形、去找规律, 这是产生痛点的根本原因.
问题 5 : 已知数列 an 的前 n 项和为 Sn,a1=1,nSn+1-(n+1)Sn=n2+cnc∈R,n∈N*, 且 S1, S22,S33 成等差数列.
(I) 求 c 的值;
(II) 求数列 an 的通项公式.
【解析】卡壳点: 受数列思维定式千扰, 无法看出条件的本质结构.
应对策略: 当 c 确定后 (c=1), 对 nSn+1-(n+1)Sn=n2+n 进行变形, 显化其代数结构.
问题解答: (I) S2-2S1=1+c,2S3-3S2=4+2c,S2=S1+S33, 解得 c=1.
(II) 因为 c=1, 所以 nSn+1-(n+1)Sn=n2+n=n(n+1).
用右边除以整个等式就显化了结构 Sn+1n+1-Snn=1, 即可判断数列 Snn 是一个等差数列, Snn=S1+(n -1)×1=n, 从而 Sn=n2,an=2n-1.
【反思】 (1) 数列运算离不开对给定信息结构的分析与变形, 思维定式是很可怕的.
（2）学会多角度思考问题, 对某一个目标也应多角度变形, 找到本质特征.
六、 数列主干条件结构变形之技
瞄准数列运算的智慧点 (代数式变形中的“目标结构”) 是数列运算的重中之重.
问题 6 : 设数列 an 满足 a1=2,anan-1+nan-2an-1-an=0(n⩾2). 数列 an 通项公式为____________.
【解析】卡壳点:对条件关系式结构挖掘不到位.
应对策略:先倒过来, 再分离.
问题解答:由 anan-1+nan-2an-1-an=0, 可知 an=2nan-1an-1+n-1, 所以 nan=12+12n-1an-1.
令 bn=nan, 则 bn=12+12bn-1(*).
思路一 易得 b1=12, 依次递推可得:
当 n⩾2 时, bn=12+12bn-1=12+⋯+12n-1+12n-1b1=12+⋯+12n-1+12n=1-12n.
当 n=1 时, 上式也满足, 所以 bn=nan=1-12n,n⩾1.
因此 an=n1-12n.
思路二 令 bn+λ=12bn-1+λ,与 (*) 式比较可得 λ=-1.
所以 bn-1 是以 12 为公比的等比数列, 故有 bn-1=b1-112n-1, 即 bn=1-12n,n⩾1.
因此 an=n1-12n.
【反思】 由给定信息转化为递推式是常规思路, 面对 an=2nan-1an-1+n-1 时, 观察其结构, 分子是单项式, 分母是多项式, 将表达式倒过来可整理成 nan=12+12⋅n-1an-1 的形式,这是一个智慧点.
强化练习
1.已知数列 an 是一个递增数列, 满足 an∈N*,aan=2n+1,n∈N*, 则 a4 的值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 7 D. 8
【解析】是正整数，不代表的公差就是1，将看成函数，即有.代替，就有，即.到这里一切明朗多了，这是一个重要的递推关系，让取1和2试试，返回数列，有，.由于最小为1，则最小就为3，1和3之间只有一个正整数，故为2，那么就是5，同样5和3之间只有一个正整数，所以只可以是4.
【反思】对数列中复合运算符号“”深入理解、转化与推理.数学中逻辑推理思维是最基本的思维，对给定信息进行综合分析更是能力所在.
2.设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn, 已知 a4-13+2007a4-1=1,a2004-13+2007a2004-1= -1, 则下列结论中正确的是（ ）
A. S2007=2007,a2004a4
C. S2007=2008,a2004【解析】思路一 看到两等式右边特征：，，“1”与“-1”之和为0，想到将两式相加，并因式分解得，走到这一步进人“死胡同”，既无法判断，的大小，也无法确定大小.
思路二 看到两等式左边特征为都有一个公因式，于是提取公因式看一看，
，，
，.
认真分析一下，中括号内均为正数，而右边的“1”和“-1”暗示着“正”与“负”，
于是有，，从而有，选择或，但是如何确定的值？
思路三 看到两等式左边的特征都是“”的结构，这一结构告诉我们什么呢？
把“（ ）”换成变量看一看，，这是一个三次函数、奇函数、增函数，问题给出的是两个函数值：，，
从而有，，
于是有，此时再回到数列中去，得.故选A.
【反思】数列问题的代数结构中常常隐含着许多逻辑关系，只有充分挖掘题干中的结构信息，才能寻找到正确的解题思路.
3.已知数列 an 是等比数列, 数列 bn 是等差数列, 若 a4⋅a8⋅a9=-33,b4+b8+b9=5π, 则 tan⁡b4+b10a3⋅a11-1 等于( )
A. -3 B. 3. C. -33 D. 33
【解析】策略：题目条件与目标两头抓：条件能给什么，目标要什么？
目标，要求，于是条件向着转化，有.
目标，要求，于是条件向着转化，有.
于是.故选.
4.已知 a1=1,a2,=2,an+2=2Sn-Sn+1,bn=an+1-an, 则 b2019=_____________.
【解析】，，两式相减得，
所以，
.
规律：有1对时，为；有2对时，为而为1010对，故.
【反思】数列递推是为了找规律，第一步发现项与项之间的规律“”是通过基本思路得到的；第二步根据题中数列间定义的关系，找到数列，然后分析判断就解决问题了.
5.已知数列 an 满足 an=5an-1-22an-1-5,n∈N*,n⩾2, 若 a1+a2+⋯+a2020=101, 则 a1+a2018=_______________
【解析】令，则，.
于是，，根据数列分类，这是一个摆动数列，也是周期为2的周期数列，从而.
【反思】对数列特征进行分析思考，给定的条件“”告诉了我们什么信息？至少也应该去挖掘、运算推理.
6.(1) 在数列 an 中, an+an+5 恒为定值, 当 1⩽n⩽6 时, an=n2, 则 a2018=_________
【解析】目标信息暗示，为周期数列，如何确定周期？
事实上，，
所以给定数列，…，周期为，.
【反思】一是审题能力.理解题意把握问题本质，挖掘目标信息.
由“当时，”得的前6项，由“恒为定值”可知“”.求需要探知周期.
二是方法得当.递推法寻找周期，迅速解决问题.
(2) 在等差数列 an 中, 公差 d≠0,a2,S2,S3∈{0,2}, 记 cn=kan+Sn, 若 cn⩽c2 恒成立, 则 k 的取值 范围是___________.
【解析】，，(若，可推出矛盾)，所以，，
，
，则恒成立.
当时，，，
所以，当时，，所以的取值范围是
【反思】一是审题能力.理解题意把握问题本质，给定的等差数列的基本量是什么？
二是方法得当.根据条件“”寻找基本量，迅速解决问题.
障碍：确定等差数列的通项与前项和是一个障碍，理解恒成立，即是最大值也是一个障碍点.
智慧突破：分析是一个重要的想法，对的取值进行分析.
7.已知 a0=12,ak=ak-1+1nak-12(k=1,2,⋯,n), 求证: 1-1n【解析】根据题意，有
于是（*），
累加可得，于是，
进而，于是.
【反思】将给定的条件变形成分式结构的（*）式是一个智慧点，接着累加求和判断是关键.这一痛点是智慧之痛，给定的条件结构复杂，如何变形？在推理运算中积累经验与操作技术.
8.已知数列 an 满足 a1=-1312, 且 2an+1an+3an+1+an+2=0, 设 bn=1an+1,n∈N*, 则当数列 bn 的前 n 项和最小时, 求正整数 n 的值.
【解析】，
，
，
，，
，，
当数列的前项和最小时，正整数的值是6，7.
【反思】对于给定的数列前后项关系式，如何想到变形方向？关键看问题给出的提示结构“”，这是变形方向，也是代数变形的智慧点.