专题11逻辑推理与判断-解析版

这是一份专题11逻辑推理与判断-解析版，共14页。试卷主要包含了逻辑推理之充要思考，估值技术胜似逻辑判断，摒弃数学思维定式，逻辑分析时摒弃负迁移思维，关注非命题对逻辑推埋影响，关注反证法的规范表述等内容，欢迎下载使用。

一、逻辑推理之充要思考
问题1:已知函数f(x)=x2,定义数列an:an+1=fan,n∈N*,若给定a1的值,得到无穷数列an满足对任意正整数n,均有an+1>an,则a1的取值范围是（ ）
A.(-∞,-1)∪(1,+∞)B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(1,+∞)D.(-1,0)
【解析】卡壳点:把必要性思考当作充要性结果,只考虑必要性而导致失误.
应对策略:顺着推出结论后,还要逆向推进行检验.
问题解答:由an+1>an得an2>an,所以an>1或an<0,从而a1>1或a1<0,很多学生都会选择B.此推理只完成了必要性思考,即当an+1>an时,a1>1或a1<0.
反过来,a1>1或a1<0能保证an+1>an吗?
当a1∈[-1,0)时,a3=a22=a14⩽a12=a2,所以舍去B,D.
当a1∈(-∞,-1)时,a2=a12>1>a1,a3=a22=a14>a12=a2.
所以an+1=an2>an(当n⩾2时,an>1),舍去C.故选A.
【反思】(1)问题求解时,要一正一反地思考,先求必要条件a1>1或a1<0,再探究充分性,可举反例舍去一些选项.
(2)做选择题时,很容易只考虑问题的一方面,而忽略了另一方面,此题求解能给人以启示.
(3)充分必要条件的三种判断方法如下.
一是定义法,直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假,并注意和图示相结合,例如“p⇒q”,则p是q的充分条件.
二是等价法,利用“p⇒q与非q⇒非p”“q⇒p与非p⇒非q”“p⇔q与非q⇔非p”的等价关系判断,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法.
三是集合法,若A⊆B,则A是B的充分条件,或B是A的必要条件,若A=B,则A是B的充要条件.
二、估值技术胜似逻辑判断
有许多选择题从题干或选择支的逻辑分析中就可以找到解题的思路,然而许多时候学生忽略了这一点导致出错.
问题2:设x,y均为锐角,且tan⁡2x=6tan⁡(x-y),则x+y的取值不可能是（ ）
A.π6B.π4C.2π3D.3π4
【解析】卡壳点:估值不到位,观察不细致.
应对策略:关注代数式或三角式的取值范围.
问题解答:x+y=2x-(x-y),设tan⁡(x+y)=u,
则u=tan⁡(x+y)=tan⁡2x-tan⁡(x-y)1+tan⁡2xtan⁡(x-y)=5tan⁡(x-y)1+6tan2⁡(x-y)(*).
|u|⩽526,而tan⁡2π3=3>526,可知选择C.
【反思】一是缺少估值或估值判断失误,即没有对(*)式使用均值不等式得到最大值526,或对526与3的大小判断失误.
二是对选择支中角的正切值的分析不到位,选项A,B,D的正切值的绝对值均不大于1,选项C的正切值的绝对值大于1,对这一差异性缺乏逻辑敏感.
三、摒弃数学思维定式
问题3:已知函数f(x)=3sin⁡ωx⋅cs⁡ωx-cs2⁡ωx+32(ω∈R,x∈R)的最小正周期为π,且当x=π6时,函数有最小值.
(I)求f(x)的解析式;
(II)在坐标纸上作出函数y=f(x)在区间[0,π]上的图象.
【解析】卡壳点:有限区间对画三角函数图象的影响处理不当.
应对策略:先画图,再截取.
问题解答:(I)因为f(x)=3sin⁡ωx⋅cs⁡ωx-cs2⁡ωx+32
=32sin⁡2ωx-12(1+cs⁡2ωx)+32=sin⁡2ωx-π6+1,
又f(x)的周期为π,所以2π|2ω|=π,解得ω=±1.
当ω=1时,f(x)=sin⁡2x-π6+1,因为fπ6=sin⁡π6+1不是最大或最小值,故舍去.
当ω=-1时,f(x)=-sin⁡2x+π6+1,因为.fπ6=-sin⁡π2+1=0是最小值,故f(x)的解析式为f(x)=1-sin⁡2x+π6
(II)画出f(x)的图象,如图1(x=0与x=π处的高度应一致).
图1
【反思】第一步:将f(x)化简为sin⁡2ωx-π6+1.
第二步:一是注意到对ω的约定,在ω>0的思维定式下,确定ω=1,从而导致错误;二是在正弦型函数周期公式的指引下,将T=2πω=π理解到极致,认定ω=2;三是虽然也注意到ω∈R,但不会根据条件“当x=π6时,函数有最小值”确定ω的真正值为-1.
第三步:对于正确的函数f(x)=1-sin⁡2x+π6,先画图,再截取符合题意的图象.
四、逻辑分析时摒弃负迁移思维
“迁移”是一个学习心理学名词,迁移本身有正有负,负迁移是指一类知识对另一类知识不正确的影响.在数学思维中,有时会因为对某种思想和方法的印象很深而不知不觉地影响到“相似”的知识上来.
问题4:如图2,在圆O中,半径OH与弦AB相交于点C,且C是AB的中点,则OC⊥AB;如图3,在椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)中,若弦AB的中点为C,则下列判断正确的是
(1)若kAB,kΥ都存在,则kABk∝C=-1;
(2)若kAB,kOC恰有一个不存在,则kABk∝C=-1;
(3)kABk∝C=-b2a2.

图2 图3
【解析】卡壳点:圆中垂径定理对椭圆中类似性质的影响.
应对策略:依据题设信息,严格逻辑推理.
问题解答:(1)从思维角度来看,学生将圆的思维定式“负迁移”到椭圆之中,认为圆中弦与弦心距所在直线垂直,由两直线垂直得kABkOC=-1;(2)中kAB,kOC恰有一个不存在,心理暗示AB,OC恰有一个与x轴垂直,“垂直”信息“负迁移”到两直线垂直的条件kABkOC=-1上.正确答案为(3).
【反思】在数学解题中,要排除思维定式的干扰,多一点逻辑思考,多一点严谨推理.
五、关注非命题对逻辑推埋影响
判断一个事物“是什么”,或“可能是什么”,或对一个命题的顺向思考,构成人们的常规思维,人们的思维就像平时向前走路一样,不会感觉到它的异样,而一旦遇到“非”语言命题、逆向设计的情境、判断一个事物“不是什么”或“不可能是什么”时,就会像倒着走路一样感觉到不习惯,不知如何求解这样的命题.不论是高考还是其他评价性测试中,常常有“非”语言命题出现,难住了大多数学生,成为测试后议论的焦点,其原因何在呢?
问题5:已知函数f(x)=x3-k2-k+1x2+5x-2,g(x)=k2x2+kx+1,其中k∈R.设函数p(x)=f(x)+g(x).若p(x)在区间(0,3)上不单调,求k的取值范围.
【解析】卡壳点:不知道函数“不单调”的等价转化点.
应对策略:面对三次函数,利用导数工具,研究其导函数性质.
问题解答:因为p(x)=f(x)+g(x)=x3+(k-1)x2+(k+5)x-1,所以p'(x)=3x2+2(k-1)x+(k+5).
因为p(x)在区间(0,3)上不单调,所以p'(x)=0在(0,3)上有实数解,且无重根.
由p'(x)=0得k(2x+1)=-3x2-2x+5.
所以k=-3x2-2x+52x+1=-34(2x+1)+92x+1-103.
令t=2x+1,则t∈(1,7),记h(t)=t+9t,
则h(t)在(1,3]上单调递减,在[3,7)上单调递增,所以有h(t)∈[6,10).
于是(2x+1)+92x+1∈[6,10),得k∈(-5,-2].
当k=-2时,p'(x)=0在(0,3)上有两个相等的实根x=1,故舍去.
所以k∈(-5,-2).
【反思】证明一个函数在某一区间单调,用单调定义或导数工具解决,然而如何利用一个函数在某一区间内不单调的性质呢?事实上,可导的单调函数,其一阶导函数的符号是确定的,不是正数就是负数,而不单调函数的一阶导函数的函数值就会正负相间.再进一步思考,由导函数所构成的二次方程,若其原函数是某个区间上的非单调函数,则方程在该区间上的根是存在的,且无重根;若其原函数是单调函数,方程在该区间上的根可以不存在,也可以是重根.
六、关注反证法的规范表述
在高考题中常常针对某一个命题(而不是整个问题)用反证法,常见的是存在性命题或唯一性命题.使用反证法的三个步聚要相当明确:一假设、二矛盾、三结论.
问题6:A是由定义在[2,4]上且满足如下条件的函数φ(x)组成的集合:(1)对任意x∈[1,2],都有φ(2x)∈(1,2);(2)存在常数L(0(I)设φ(x)=31+x,x∈[2,4],证明:φ(x)∈A;
(II)设φ(x)∈A,如果存在x0∈(1,2),使得x0=φ2x0,那么这样的x0是唯一的;
(III)设φ(x)∈A,任取x1∈(1,2),令xn+1=φ2xn,n=1,2,⋯,证明:给定正整数k,对任意的正整数p,成立不等式xk+p-xk⩽Lk+11-Lx2-x1.
【解析】卡壳点:对唯一性证明策略不熟悉.
应对策略:用反证法证明其唯一性.
问题解答:(I)对任意x∈[1,2],φ(2x)=31+2x,x∈[1,2],
33⩽φ(2x)⩽35,1<33<35<2,所以φ(2x)∈(1,2).对任意的x1,x2∈[1,2],
φ2x1-φ2x2=x1-x2231+2x12+31+2x11+x2+31+x22,
3<31+2x12+31+2x11+x2+31+x2
所以0<231+2x12+31+2x11+x2+31+x22<23.
令231+2x12+31+2x11+x2+31+x22=L,0φ2x1-φ2x2⩽Lx1-x2.
所以φ(x)∈A.
(II)假设存在x0,x0'∈(1,2),x0≠x0',使得x0=φ2x0,x0'=φ2x0',
则由φ2x0-φ2x0'⩽Lx0-x0',得x0-x0'⩽Lx0-x0',
所以L⩾1,矛盾,故结论成立.
(III)因为x3-x2=φ2x2-φ2x1⩽Lx2-x1,
所以xn+1-xn⩽Ln-1x2-x1.
xk+p-xk=xk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2+⋯+xk+1-xk⩽Lk-11-Lx2-x1⩽xk+p-xk+p-1+xk+p-1-xk+p-2+⋯+xk+1-xk⩽Lk+p-2x2-x1+Lk+p-3x2-x1+⋯+Lk-1x2-x1⩽Lk-11-Lx2-x1.
【反思】第(II)问,证明x0的唯一性时用到反证法,反证法的核心是归谬,寻找矛盾,这里抓住L是关键,因为整个问题的结构就显示其关键作用.
强化练习
1.设f(x)=x2-4x(x∈R),则f(x)>0的一个必要不充分条件是（ ）
A.x>0B.x<0或x>4
C.x>2或x<0D.x>5或x<-1
【解析】从选项A，B，C，D中，寻找结论，使得，但.
从集合角度思考就是由寻找一个集合，使得.可知选.
【反思】先确定谁是定义中的条件，再用集合的观点画数轴解决.强化认清条件和结论的重要性，用集合的思想进行判断，更直观、快捷.
2.已知x,y是关于m的方程m2-2am+a+6=0的两个实根,则(x-1)2+(y-1)2的极小值为（ ）
A.-494B.18C.13D.8
【解析】因为，，
所以
此处认为“当时，取极小值”是不对的.
学生认为求“”的极值是有“经验”的，而忽略了隐含条件，事实上，是取不到的.选择的学生虽然考虑了隐含条件，但末从根本上理解而导致错误.正确的选项为D.
3.函数f(x)=9-x2|x+2|-2的奇偶性为（ ）
A.奇函数B.偶函数
C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数
【解析】首先，此函数的定义域是，函数的定义域关于原点对称，仅从这一点上还不能说明函数是奇函数或偶函数.于是需要寻找不满足和的值.
有的学生找，结果.
有的学生找，结果，，从而得出.
还有的学生找，结果，，从而得出.
这些例子不能否定既不是奇函数也不是偶函数.
问题出在哪呢？让我们认识一下这个函数：
要想说明它既不是奇函数也不是偶函数，必须在上述分段函数的定义区间上找到对称的两个点，因此只要在区间中找一个数，如，
则，，
此时，，所以函数既不是奇函数也不是偶函数.
故选D.
【反思】验证一个函数是奇函数或偶函数，学生会有思路，常根据奇偶函数的定义去推证，而像此例去证明它既不是奇函数也不是偶函数，部分学生就没有思路了.其原因是概念不清，说明一个事物不是某一个事物，只要举一个反例，但是寻找反例需要智慧，此例就说明了寻伐反例的技巧.此题容易受函数的奇偶性影响.
4.“b>0”是“函数f(x)=x2+bx+c在[0,+∞)上单调”的（ ）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】由“函数在上单调”知，即的取值范围是.记，从而知，从而是函数在上单调的充分不必要条件.故选A.
【反思】在高考和自主招生的试题中对充要条件的考查主要体现在两个方面：一是判断指定的条件与结论之间的关系，主要分为四种，即充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要；二是探求某结论成立时的充要条件、充分条件或必要条件.
5.在等差数列an中,前n项和Sn=nm,前m项和Sm=mn,其中m≠n,则Sm+n的值（ ）
A.大于4B.等于4
C.小于4D.大于2且小于4
【解析】解法1已知，，又，，
所以，，
故，
即，，
，选择.
解法2 设，，
，
，选择.
【反思】考查代数推理基本功与数列求和公式变形能力.
6.给出下列命题:
(1)方程x=3-cs⁡θ,y=-sin⁡θ表示圆;
(2)函数F(x)=x3+sin⁡x,x∈[a,b]为奇函数;
(3)函数y=sin⁡2x,x∈[0,2π]的周期为π.
上述命题正确的是________(填写上所有你认为正确的序号).
【解析】①的“潜在假设”是为参数，利用三角函数的平方关系消去参数，在此思维定式的作用下导致判断出错.②的“潜在假设”是，是奇函数.③的“潜在假设”是是周期函数，在做判断之前应试者就没有考虑函数的定义区间，换言之，就是认为满足结论成立的定义区间的存在是“自然”的事情.所以没有一个正确.
【反思】逻辑思考方面的智慧在于不能思维先入，要步步有根有据.
7.在数列an中,a1=λ,an+1=2an+3n-4n∈N*,其中λ为实数,对任意实数λ,证明:数列an不是等比数列.
【解析】假设存在一个实数，使数列是等比数列，则有，即，得.
于是，，.
由知不是等比数列，所以假设错误，故对任意实数，数列不是等比数列.
【反思】证明一个数列是等比数列，学生会根据等比数列定义加以证明，然而证明一个数列不是等比数列，部分学生摸不到问题的“脉搏”，思路是乱序的.一方面由于学生不熟悉“常用逻辑用语”，头脑中的逻辑概念不清，逻辑基础非常弱，事实上，命题“对任意实数，证明数列不是等比数列”的否定是“存在实数，使得数列是等比数列”，一旦引出矛盾，利用排中律，就可以判断原命题正确.另一方面，对于“存在实数，使得数列是等比数列”，如何引出矛盾？学生缺少解决途径，因为顺向思考是常态思维，逆向思考还不能成为一种思维习惯.证明“非”命题，一般用反证法，但是证明中叙述要规范，思维层次要分明.
8.试求ax2+2x+1=0(a≠0)至少有一个负根的充要条件.
【解析】必要条件：①方程有一个正根和一个负根.
②方程有两个负根.
综合①②，原方程至少有一个负根的必要条件是或.
充分条件：由以上推证的可逆性知，当时，方程有两个异号根，当时，方程有两个负根.
所以方程至少有一个负根的充要条件是或.
【反思】寻找充要条件要将必要、充分均考虑，否则容易错.