专题15平面向量的数量积-解析版

这是一份专题15平面向量的数量积-解析版，共20页。试卷主要包含了巧设中点运用极化恒等式，几何挖掘巧用共线定理，整体化解多变量复杂结构，强化向量运算基本功，“形”与“数”结合链接挖掘等内容，欢迎下载使用。

一、巧设中点运用极化恒等式
问题1：设点P是边长为2的正△ABC的三边上的动点，则PA⋅(PB+PC)的取值范围为 ．
【解析】卡壳点：缺少运用极化恒等式的意识．
应对策略：虽然点P为正△ABC的边上的动点，但先将其固定，把PB+PC化归到△PBC的中线PD后，设置中点，转化PA⋅PD．
问题解答：设BC的中点为D，设AD的中点为E，如图1，
则PA⋅(PB+PC)=2PA⋅PD=2|PE|2-14|AD|2=2|PE|2-32．
当PE⊥AB时，PE=34．
当点P为点B时，PE=BD2+DE2=1+322=72．
|PE|∈34,72，PA⋅(PB+PC)∈-98,2．
【反思】（1）求目标“PA⋅(PB+PC)”的取值范围，需要找到一个变量，即△ADP的边AD上中线PE，两次取中点实现此目标，然后去判断PE的变化范围．
（2）由极化恒等关系作为链接元素的向量数量积运算过程：寻找三角形边的中点一三角形中线数量积化归，这是极化恒等式的用途之一．
二、几何挖掘巧用共线定理
问题2：如图2，已知AB⊥AC，AB=3，AC=3，圆A是以A为圆心，半径为1的圆，圆B是以B为圆心的圆，设点P，Q分别为圆A，圆B上的动点，且AP=12BQ，则CP⋅CQ的取值范围是 ．
【解析】卡壳点：目标向量转化存在思维障碍．
应对策略：将双动点构成的向量数量积化归到一起，挖掘几何图形特点．
问题解答：由题意知，BC=23．
设AC+12BC=BG，则BG=3．
CP⋅CQ=(AP-AC)⋅(BQ-BC)=AP⋅BQ+AC⋅BC-AC⋅BQ-AP⋅BC=12|BQ|2+AC⋅BC-BQ⋅AC+12BC=5-BQ⋅BG.
当BQ与BG共线时，BQ⋅BG取得最值：
若BQ与BG同向，则BQ⋅BG取得最大值，即CP⋅CQ取得最小值5-6=-1；
若BQ与BG反向，则BQ⋅BG取得最小值，即CP⋅CQ取得最大值5+6=11．
所以CP⋅CQ的取值范围是[-1,11]．
【反思】（1）解题思路比较常规，即将目标向量转化为圆的半径向量；关键转折点在于寻找与半径向量共线的向量AC+12BC=BG，使问题的已知元素集中到一个圆内．
（2）此题变式：将“AP=12BQ”改为“AP=14BQ”，其他条件不变，则两圆位置关系变成内切，此时
AC+14BC=BG,|BG|=212，
CP⋅CQ=(AP-AC)⋅(BQ-BC)=AP⋅BQ+AC⋅BC-AC⋅BQ-AP⋅BC=14|BQ|2+AC⋅BC-BQ⋅AC+14BC=7-BQ⋅BG∈[7-221,7+221].
（3）面对复杂的几何图形时，积极地挖掘图形中的几何性质与线段间的联系是解题的关键．
三、整体化解多变量复杂结构
问题3：两单位向量OA，OB的夹角为60度，向量OP=λOA+μOB，1⩽λ⩽2，1⩽μ⩽2，设向量OA，OP的夹角为α，则csα的取值范围是 ．
【解析】卡壳点：一是如何寻找csα的相关关系存在障碍；二是建立复杂的双变量函数后出现运算障碍．
应对策略：对csα=f(λ,μ)的复杂结构进行整体转化．
问题解答：|OP|2=λ2+μ2+λμ，OP⋅OA=λ+12μ，
csα=OA⋅OP|OA||OP|=λ+μ2λ2+μ2+λμ=λμ+12λμ+122+34．
令λμ+12=t∈1,52，则cs2αt2+34=t2，t2=34cs2α1-cs2α∈1,254，
47⩽cs2α⩽2528，故277⩽csα⩽5714．
【反思】（1）当涉及数量积时，常常会遇到变量多、结构复杂的形式，但要细心观察，此问题中csα=f(λ,μ)是一个齐次分式二元函数，按照齐次式处理方法操作．
（2）面对结构复杂的函数，整体换元处理来简化结构是一个智慧点，但换元时要注意变量的变化范围．
（3）化成csα=tt2+34后，除了上述方法外，也可以变形为11+34t2，分析分母的变化范围．
四、强化向量运算基本功
问题4：设非零向量a，b的夹角为θ，记f(a,b)=acsθ-bsinθ，若e1，e2均为单位向量，e1⋅e2=32，则向量fe1,e2的模为 ；向量fe1,e2与向量fe2,-e1的夹角为 ．
【解析】卡壳点：向量的模与夹角的运算存在障碍．
应对策略：面对二元向量函数，向量基本运算是关键．
问题解答：因为e1⋅e2=32=cse1,e2，所以e1,e2=π6．
m=fe1,e2=e1csπ6-e2sinπ6=32e1-12e2 （*），
fe1,e22=32e1-12e22=1-234e1⋅e2=14，做fe1,e2=12．
n=fe2,-e1=e2cs5π6+e1sin5π6 （**）
=12e1-32e2，
fe2,-e1=12，
cs〈m,n〉=m⋅n|m||n|=32e1-12e2⋅12e1-32e212×12
=4-34×32+34+34-14×32=0，
向量fe1,e2与向量fe2,-e1的夹角为直角．
【反思】一是向量函数本身的运算，只需要根据定义，如（*）式；二是向量函数定义中向量夹角的变化对向量运算的影响，如（**）式，这是学生运算出错较多的地方．
五、“形”中特点深入挖掘，“数”中结构智慧挖掘
向量概念的本质中“形”是重要的，向量研究的主体之一也是几何图形的“形”，给定图形中“形”的特点、性质、转化都是解除思维痛点的良药．浮在表面的条件大家都能看到，藏在深处的条件必须挖掘，当然挖掘的基本条件是脑海中的基础知识与基本能力．
问题5：设圆M，N的半径分别为1，2，且两圆外切于点P，点A，B分别是圆M，N上的两个动点，如图3，则PA⋅PB的取值范围是 ．
【解析】卡壳点：目标向量转化存在思维障碍．
应对策略：对“PA⋅PB”进行动态分析，考虑极端情形，理解有关共线向量性质是关键．
问题解答：解法1 两圆变一圆，从“形”上挖掘．
如图4，当PA，PB均经过各自圆心且方向相反时，(PA⋅PB)min =-2×4=-8．
如图5，易证△PAE∽△PCF，所以PA⋅PB=-12PC⋅PB．
不妨固定PB，根据数量积的定义，
PC⋅PB⩽PD⋅PB=|PB||PH|=|PB|2+12|PB|=12|PB|2+2|PB|⩽16，当且仅当|PB|=4时取等号，
所以(PA⋅PB)min=-12×16=-8；
PC⋅PB⩾PK⋅PB=-|PB|2-12|PB|=12|PB|2-2|PB|⩾-2，当且仅当|PB|=2时取等号，
所以(PA⋅PB)max =-12×(-2)=1．所以PA⋅PB∈[-8,1]．
向量概念的本质中“数”也是重要的，通过“数”的分析与研究来破解“形”的特征，需要慧眼识破题设条件中的结构，提升结构特性的挖掘能力是排除向量问题痛点的基本策略．此例的解法2，挖掘题中角度“数”的结构就很有智慧，在展示解法2之前，先来看一个引理：
引理 若α+β+γ=π(0⩽α,β,γ⩽π)，则csαcsβcsγ⩽18．
证明：若α∈π2,π，则csαcsβcsγ⩽18显然成立．
若α∈0,π2，则csαcsβcsγ=12csα[cs(β-γ)+cs(β+γ)]⩽12csα(1-csα)⩽18．
解法2 三角形性质的应用，挖掘角度的三角函数关系．
当PA，PB均经过各自圆心且方向相反时，(PA⋅PB)min=-2×4=-8．
记∠APB=α，∠APE=β，∠BPF=γ，
PA⋅PB=csα×2csβ×4csγ⩽8×18=1，所以PA⋅PB∈[-8,1]．
【反思】解法2的秒杀建立在引理的基础上．
六、“形”与“数”结合链接挖掘
数形结合是重要的思想方法，是提数学思维能力的基本功，“直观想象”“联想思维”都在其中起着作用．
问题6：设非零向量b，c，满足|b+2c|=2，|b-c|=4，则|b|+|c|的最大值为 ．
【解析】卡壳点：目标向量的模与条件向量模之间的关系挖掘遇到障碍．
应对策略：挖掘主干条件的几何意义．
问题解答：先从代数式结构上思考，为了消去b⋅c，得|b+2c|2+2|b-c|2=3|b|2+6|c|2=36，从而得到|b|212+|c|26=1．
此方程的几何意义为动点(|b|,|c|)在椭圆上，于是链接到“形”．
解法1 线性规划思路
原问题转化为以椭圆弧x212+y26=1(x⩾0,y⩾0)为约束条件，求目标函数z=x+y的最大值．
如图6，当直线z=x+y与椭圆x212+y26=1相切时，z取得最大值．
联立两方程，化为一元方程后，由Δ=0得z=±32（负值舍去），
所以|b|+|c|的最大值为32．
解法2 线性规划思路
原问题转化为以圆弧x2+y2=1(x⩾0,y⩾0)为约束条件，求目标函数z=23x+6y的最大值．
当直线z=23x+6y与圆x2+y2=1相切时，z取得最大值，d=|z|12+6=1，z=±32（负值舍去），
所以|b|+|c|的最大值为32．
当然，此题也可以直接利用代数方法解决．
解法3 三角换元思路
设|b|=23csθ，|c|=6sinθ，θ∈0,π2，
|b|+|c|=32sin(θ+φ)⩽32，所以|b|+|c|的最大值为32．
解法4 柯西不等式思路
|b|212+|c|26(12+6)⩾(|b|+|c|)2，所以(|b|+|c|)2⩽18．
所以|b|+|c|的最大值为32．
【反思】上述不同的解法建立在不同的思路之上，扎实的数学基础是产生智慧点的源泉．
强化练习
1．如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2，AD=DC=1，P是线段BC上一动点，Q是线段DC上一动点，DQ=λDC，CP=(1-λ)CB，则AP⋅AQ的取值范围是 ．
【解析】选择基向量，，
则，
因为，所以.
【反思】选择恰当的基向量，其他向量都用基向量表示，然后再进行运算，否则，就会到处碰壁，运算零乱.
2．在△ABC中，D，E是BC上的两个动点，AD+AE=xAB+yAC，则1x+4y最小值为 ．
【解析】可以从哪个角度去想？从目标上看，要根据题设条件找到的一个关系式，但如何找容易形成障碍.
事实上，，，
可将转化为.
设，于是，
即，所以因此.
于是.
【反思】(1)审题时理解题意，把握问题本质：
“”隐藏着之间的一个数量关系，“的最小值”是探求二元条件极值问题.
(2)方法要得当，将条件中向量转化到共线向量与基向量上，迅速解决问题.
(3)利用四点共线找数量关系是关键，即充分利用共线定理，以及将转化到直线上.
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c-b=6，若b+c-a=2，若O为△ABC内心，则AO⋅CB= ．
【解析】设，，，则解得，如答图.
【反思】对三角形内心的信息挖掘要到位，用向量数量积的投影定义转化题设条件.
4．已知O为△ABC的外心，AB=2a，AC=2a，∠BAC=120°，若AO=xAB+yAC，则3x+6y的最小值为 ．
【解析】已知，点乘转化为数量积运算：
即
，，
所以.
【反思】对信息“外心”“”以及目标“的最小值”挖掘不出或不到位.
5．（Ⅰ）在半径为1的扇形AOB中，∠AOB=π3，点C为弧上动点，OC交AB于点P，则OP⋅BP的最小值为 ．
（Ⅱ）已知锐角△ABC外接圆的半径为1，∠B=45°，则BA⋅BC的取值范围是 ．
【解析】(I)事实上，如答图1，取的中点，则.
若与同向，则.
若与反向，则.
故的最小值在与反向时取得，此时，.
所以的最小值为.
（II)考虑两个极端与特殊情形.
一是直角三角形状态，如答图2.
.
二是等腰三角形状态，如答图3.
因为，所以.
故的取值范围是.
【反思】(1)此题背景中涉及圆弧，而圆的关键元素是半径与圆心，以及相关的弦和弦心距，抓住的中点是一个智慧点，将不同方向上向量的数量积转化为同一直线上两个向量的数量积.
(2)利用共线定理处理两个共线向量的数量积是常规的思维方法.
(3)若条件限制在一个圆的内接锐角三角形中，有一个内角为定角，则思考的出发点为特殊三角形，一是锐角三角形的极限状态，即直角三角形；二是顶角固定的等腰三角形.
6．已知正△ABC的边长为1，当每个λi(i=1,2,3)取遍±1时，λ1AB+λ2BC+λ3CA的最小值为 ；最大值为 ．
【解析】(模平方法)，
当中有两个为1，另一个为或两个为，另一个为1时，
达到最大，最大值为2.
当或时，
达到最小，最小值为0.
【反思】抓住特征值对向量模最值的影响是关键.
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，D是BC的中点，那么(AB-AC)⋅AD= ；若E是AB的中点，P是△ABC（包括边界）内任一点，则AD⋅EP的取值范围是 ．
【解析】.
.
不论点在的任何位置，与所成角的均为钝角.
当点与点重合时，达到最大值9.
当点与点重合时，，，
达到最小值.
的取值范围是.
【反思】将目标向量数量积中两个向量转化为，，然后考虑极端情形.
8．已知a=cs3θ2,sin3θ2，b=csθ2,-sinθ2，θ∈0,π3．
（Ⅰ）求a⋅b|a+b|的最值；
（Ⅱ）是否存在k的值使|ka+b|=3|a-kb|？
【解析】(I)，，，.
，
.
当时，的最小值为0.
当或时，的最大值为.
（II)假设存在的值使，则.
因为，，所以，
即，，因为，所以，即，解得.
【反思】(1)此题涉及大量的三角运算、代数运算，运算基本功不到位会形成思维障碍.
(2)整体换元简化代数式结构是一个运算智慧点.
(3)对于存在性间题，寻找存在条件时，要通过运算发现代数条件的结构，此题明显为二次方程结构，判别式是判断是否存在的有效工具.