专题18直线与平面所成的角-解析版

这是一份专题18直线与平面所成的角-解析版，共20页。试卷主要包含了平面化挖掘隐藏的线面角，巧妙寻找直线在平面上射影，平面化寻找线面垂直关系，平面图形翻折中寻找线面角，选择最佳途径探求线面角，提升线面所成角的运算力等内容，欢迎下载使用。
所成角的正弦值.
【解析】卡壳点:找不到隐藏的“垂足”.
应对策略:面对复杂的空间图形,要䓊于把其中重要的平面图形拿出来分析.
问题解答:将这个几何体补上关于平面ABB1A1的对称图形,即直三棱柱ABF-A1B1F1,就得到正四棱柱AFBC-A1F1B1C1,
如图2
ΔABD的重心G与点E都在正四棱柱AFBC-A1F1B1C1的对角面CFF1C1内,如图3.
记AB的中点为O,由OD=3GO,EO2=GO⋅DO,得EO=3GO.
又DC=EO=1,所以DO=3EO=3,GO=33,CO=BO=2,GE=EO⋅DEDO=1×23=63,EB=C1E=DO=3.
所以sin∠EBG=EGEB=63⋅13=23,故A1B与平面ABD所成角的正弦值为23,
【反思】(1)将三棱柱补形得到四棱柱,把最主要的数量关系线段所在的平面拿出来,这样便于直观地再现线段间的数量关系,这一过程就像电视节目中的特写镜头,突出重点.
（2）通过补形使线面垂线的“垂足”易找、易求，这是一个智慧点.
二、巧妙寻找直线在平面上射影
问题2:如图4,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=2π3,E为线段AB的中点,将ΔADE沿直线DE翻折成ΔA1DE,使平面A1DE⟂平面BCD,F为线段A1C的中点.设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A1DE所成角的余弦值.
【解析】卡壳点:不会在复杂图形中寻找直线在平面上的射影.
应对策略:在FM上找一点,从该点向平面A1DE引垂线,或找FM在平面A1DE上的射影.
问题解答:解法1将点F投影到平面A1DE上,其射影为点N,可证点N在A1E上.
因为CE⟂DE,CE⟂A1M,所以CE⟂平面A1DE.
又FN//CE,N为A1E的中点,所以∠FMN为直线FM与平面A1DE所成的角.
设BC=1,所以MN=12,FN=32,FM=1,cs∠FMN=12.
解法2 将直线FM投影到平面A1DE上,其射影是MN,同解法1,∠FMN为直线FM与平面A1DE所成的角.
设BC=1,所以MN=12,FN=32,FM=1,cs∠FMN=12.
【反思】(1)求直线与平面所成角的关键是寻找平面的垂线、找斜线在平面内的射影,因此投影法就有了用武之地,要特别说明的是此题最容易出错的地方就是认为点F在平面A1DE上的投影在A1M上.
(2)由点、线、图形的投影来寻找空间图形问题的突破口,一是需要基本的空间想象能力;二是可以训练或提升学生的空间想象力;三是要能将寻找到辅助线或图形与给定的问题有机结合,突破几何量的计算关，而这又涉及平面几何的基本功.
三、平面化寻找线面垂直关系
问题3:如图5,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,平面A1EF交BB1于点M,交DD1于点N.
(I)画出几何体A1MEFN-ABEFD的直观图与三视图;
(II)设AC的中点为O,在CC1上存在一点G,使CG=λCC1且OG⟂平面A1EF,求λ;
(III)求A1C与平面A1EF所成角的正弦值.
【解析】卡壳点:一是画不出截面图;二是不会计算.
应对策略:利用平面的性质切割正方体,要熟悉“三公理”“三推论”及其实际应用,会用一个平面切割正方体,找截面形状.
问题解答:(I)几何体的直观图如图6,三视图如图7.
(II)解法1由已知在CC1上存在一点G,使CG=λCC1且OG⟂平面A1EF,如图8,取OC的中点H,CG的中点I,则ΔA1HI为直角三角形.
在RtΔHCI中,HI=18+λ24.在RtΔA1AH中,A1H=344.在RtΔA1C1I中,A1I=2+1-λ22,于是在RtΔA1HI中,由A1I2=A1H2+HI2得λ=0.75.
解法2选择A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线为x轴、y轴、z轴,则E10.50,F0.510,A1001,G11λ,,从而OG=0.50.5λ,A1E=10.5-1.
由OG⟂A1E得0.5+0.25-λ=0,解得λ=0.75.
当λ=0.75时,OG⟂A1F,所以OG⟂平面A1EF.
(III)解法1因为A1C与HI均在平面A1ACC1上,设它们相交于点J,则A1J在平面A1EF上射影为A1H,从而∠CA1H为直线A1C与平面A1EF所成的角.
在ΔCA1H中,cs∠CA1H=3+3416-2162×344×3=100102,sin2∠CA1H=1-5051=151,sin∠CA1H=5151
解法2由(II)知,平面A1EF的一个法向量是OG=,又A1C=11-1,所以A1C与平面A1EF所成角的正弦值为sin∠CA1H=OG⋅A1C|OG|A1C=5151.
【反思】(1)正方体的截面将正方体分割成两个几何体,研究它们的直观图与三视图,这是检测空间想象能力的极好素材,看似简单的图形中蕴藏着学生极易犯错的种种情况,如不能准确画出直观图,三视图.
（2）虽然是在简单的正方体中,但计算直线与平面所成的角时,射影难找.
四、平面图形翻折中寻找线面角
问题4:如图9,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把ΔDFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⟂BF.
(I)证明:平面PEF⟂平面ABFD;
(II)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
【解析】卡壳点:空间模型比较泽楚,计算中出现错误导致失败.
应对策略:平面图形翻折后,要看哪些线段位置关系变了,度量关系有哪些变化.
问题解答:(I)由已知可得BF⟂PF,BF⟂EF,所以BF⟂平面PEF.
又BF⊂平面ABFD,所以平面PEF⟂平面ABFD.
(II)作PH⟂EF,垂足为H.由(I)得PH⟂平面ABFD.
以H为坐标原点,HF的方向为y轴正方向,|BF|为单位长度,建立如图10所示的空间直角坐标系H-xyz.由(I)可得,DE⟂PE,又DP=2,DE=1,所以PE=3.
又PF=1,EF=2,故PE⟂PF,可得PH=32,EH=32.
从而得H000,P0032,D-1-320,DP=13232,易知HP=0032为平面ABFD的法向量.
设DP与平面ABFD所成角为θ,则sinθ=HP⋅DP|HP||DP|=343=34.
所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为34.
【反思】(1)用传统的逻辑推理方法求DP与平面ABFD所成角的正弦值,只要求出PH的值,设正方形氻长为2,则PF=1,EF=2,PE=22-1=3,PH=32,PD=2,sinθ=sin∠PDH=PHPD=34.
（2）第(I)问为寻找射影做了铺垫,只需要从点P向棱EF引垂线即可,给定的图形也非常直观,所以通过传统逻辑推理方法求直线与平面所成的角更容易些.
（3）此题可以用硬纸折叠构造模型,增加空间直观,观察线面位置关系,为计算各线段长度奠定基础.
五、选择最佳途径探求线面角
问题5:如图11,棱雉P-ABCD的底面是菱形,AB=2,∠DAB=π3,侧面PAB垂直于底面ABCD,且ΔPAB是正三角形.PD⟂AB,求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
【解析】卡壳点:建立空间坐标系计算时失误多.
应对策略:根据题设条件建立空间坐标系求解运算量较大,根据线面角概念,利用体积转化法运算量较小.
问题解答:设点C到平面PBD的距离为h,直线PC与平面PBD所成角为θ,则sinθ=hPC.
已知侧面PAB垂直于底面ABCD,设O为AB中点,则PO⟂AB.
所以PO⟂平面ABCD,PD=PO2+DO2=6.
由PD⟂AB得PD⟂CD,PC=PD2+CD2=10.
由VC-PBD=VP-BCD,得13SΔPBDh=13×3×3,
故h=2155,因此sinθ=hPC=65.
故直线PC与平面PBD所成角的正弦值为65.
【反思】(1)此题也可以建立空间坐标系,利用向量坐标法解决,立体几何解答题一般都有多种解法与思路,复习训练强化一题多解,有利于增加获胜的可能性.
(2)上述求解中,体积转化法较易,运算量较少,而向量坐标法是比较麻烦的,涉及线性方程组求解,数字运算中,稍微出一点错,就会前功尽弃.
(3)此题给出的直观图,必须运用逻辑推理来思考.
六、提升线面所成角的运算力
问题6:如图12,AC=2r为圆的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,PA垂直于圆所在的平面,∠PCA=45∘.
(I)点B在AC上的投影为点D,求证:BD⟂平面PAC;
(II)设PB与平面PAC所成的角为θ,求sinθ的最大值.
【解析】卡壳点:不会寻找线面垂直条件;不会求复杂函数最值.
应对策略:直线与平面垂直关系采取推理方式,训练空间图形中的逻辑推理能力.
问题解答:(I)连接PD.
解法1PA⟂平面ABC,PA⊂平面PAC⇒平面PAC⟂平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,⇒BD⟂平面PAC.BD⟂AC
解法2PA⟂平面ABC,BD⊂平面ABC⇒BD⟂AC,BD⟂PA,AC∩PA=A⇒BD⟂平面PAC.
(II)由(I)知∠BPD为PB与平面PAC所成的角θ.
设∠ACB=α,0