专题18直线与平面所成的角-原卷版

这是一份专题18直线与平面所成的角-原卷版，共9页。试卷主要包含了巧妙寻找直线在平面上射影，平面化寻找线面垂直关系，平面图形翻折中寻找线面角，选择最佳途径探求线面角，提升线面所成角的运算力等内容，欢迎下载使用。
问题1:如图1,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是等腰直角三角形,∠ACB=90∘.侧棱AA1=2,D,E分别是CC1,A1B的中点,点E在平面ABD上的射影是ΔABD的重心G,求A1B与平面ABD
所成角的正弦值.
二、巧妙寻找直线在平面上射影
问题2:如图4,在平行四边形ABCD中,AB=2BC,∠ABC=2π3,E为线段AB的中点,将ΔADE沿直线DE翻折成ΔA1DE,使平面A1DE⟂平面BCD,F为线段A1C的中点.设M为线段DE的中点,求直线FM与平面A1DE所成角的余弦值.
三、平面化寻找线面垂直关系
问题3:如图5,在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BC,CD的中点,平面A1EF交BB1于点M,交DD1于点N.
(I)画出几何体A1MEFN-ABEFD的直观图与三视图;
(II)设AC的中点为O,在CC1上存在一点G,使CG=λCC1且OG⟂平面A1EF,求λ;
(III)求A1C与平面A1EF所成角的正弦值.

四、平面图形翻折中寻找线面角
问题4:如图9,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把ΔDFC折起,使点C到达点P的位置,且PF⟂BF.
(I)证明:平面PEF⟂平面ABFD;
(II)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.
五、选择最佳途径探求线面角
问题5:如图11,棱雉P-ABCD的底面是菱形,AB=2,∠DAB=π3,侧面PAB垂直于底面ABCD,且ΔPAB是正三角形.PD⟂AB,求直线PC与平面PBD所成角的正弦值.
六、提升线面所成角的运算力
问题6:如图12,AC=2r为圆的直径,B为圆周上不与点A,C重合的点,PA垂直于圆所在的平面,∠PCA=45∘.
(I)点B在AC上的投影为点D,求证:BD⟂平面PAC;
(II)设PB与平面PAC所成的角为θ,求sinθ的最大值.
强化练习
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知二面角A1-BD-A的大小为π6,若空间有一条直线l与直线CC1所成的角为π4,则直线l与平面A1BD所成角的取值范围是
A.π127π12B.π12π2C.π125π12D.0π2
2.如图,设E为长方形ABCD的边CD的中点,沿AE折叠,设AB=2,BC=1,折D叠后,BD1=3.
(I)证明:平面AD1E⟂平面ABCE;
(II)求CD1与平面ABCE所成角的正弦值.
3.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知二面角A1-BD-A的大小为π6.
(I)若C1C,C1B1,C1D1的中点分别为R,S,T,求证:平面RST//平面A1BD;
(II)若空间一直线l与直线CC1所成的角为π4,求直线l与平面A1BD所成角的取值范围.
4.如图,四棱雉P-ABCD的底面ABCD为矩形,且PA=AD=1,AB=2,∠PAB=120∘,∠PBC=90∘.
(I)求证:平面PAD⟂平面PAB;
(II)求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值.
5.如图,已知圆O的直径AB的长度为4,D为线段AB上一点,且AD=13DB,C为圆O上一点,且BC=3AC.点P在圆O所在平面上的正投影为点D,PD=BD.
(I)求证:CD⟂平面PAB;
(II)求PD与平面PBC所成的角的正弦值.
6.如图,在平面四边形PACB中,∠PAB为直角,ΔABC为等边三角形,现把ΔPAB沿着AB折起,使得ΔAPB与ΔABC垂直,且M为AB的中点.
(I)求证:平面PAB⟂平面PCM;
(II)若2PA=AB,求直线PB与平面PMC所成角的余弦值.
7.如图.,在三棱锥P-ABC中,AB=BC=22,PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点.
(I)证明:PO⟂平面ABC;
(II)若点M在棱BC上,且二面角M-PA-C为30∘,求PC与平面PAM所成角的正弦值.
8.如图,正四面体ABCD的棱CD在平面α上,E为棱BC的中点.当正四面体ABCD绕CD旋转时,求直线AE与平面a所成最大角的正弦值.