专题8函数的建模与探究-原卷版

这是一份专题8函数的建模与探究-原卷版，共12页。试卷主要包含了电费计算中的建模意识， 最佳工作安排的函数模型， 质量分数中的函数模型，优惠购书中的数学建模，三峡水库蓄水量的数据拟合等内容，欢迎下载使用。
一、电费计算中的建模意识
生活中要用电、用水、用天然气等, 每月都会有一些支出, 作为学生, 你想过其中的数学模型吗? 你会描 述其中的数学模型吗?
问题 1 : 你知道你的家庭每月电费是如何计算的吗? 使用峰谷电的家庭按照浙江省居民生活用电 分为高峰和低谷两个时间段统计用电量. 电网销售电价表如下:
实际计费时, 每月每个时段每户基本用电量为 50 千瓦 • 时, 超过 50 千瓦 •时不足 200 千瓦 •时 (含 200 千瓦 •时), 每千瓦• 时加 0.03 元,超过 200 千瓦•时部分,每千瓦•时加 0.10 元. 某家庭 5 月 份的高峰时间段用电量为 200 千瓦 •时, 低谷时间段用电量为 100 千瓦•时.
(I )该家庭 5 月应付的实际电费为 元; (用数字作答)
(II) 设峰电量为 x, 谷电量为 y, 确定电价 f(x,y) 的函数.
二、 最佳工作安排的函数模型
为了提高工作效率, 某项工作中会遇到一些科学安排问题, 需要用数学模型来解读实际问题. 然而, 现 实中很多学生不会用数学工具来解读, 因此产生痛点.
问题 2 : 某省阅卷点高考数学阅卷教师共有 400 人, 要完成文理科数学试卷的阅卷任务. 阅卷安排 时, 需将 400 人分成两组, 一组完成 475 捆理科试卷, 另一组完成 269 捆文科试卷, 据历年阅卷测算, 理 科每捆阅卷需要 4 天/人, 文科每捆阅卷需要 3 天/人.
(I)如何安排文理科阅卷教师的人数,使完成全省文理科阅卷任务的时间最省? (阅卷时间 = 阅 卷工作量 / 人数 = 每捆阅卷时间 × 文 (理)科试卷捆数 /人数)
(II)由于今年理科阅卷任务加重, 理科实际每捆阅卷需要 4.5 天/人,在按 (I) 分配人数阅卷 4 天 后, 从文科组抽调 20 人去阅理科卷, 试问完成全省阅卷任务至少需要多少天?（天数计算到小数点后第 3 位)
三、 质量分数中的函数模型
对于已知的数学模型, 为了解释其中的现象和本质, 需要对数学模型进行解读或证明, 找到问题的解或 证明其符合规律.
问题 3 : 有一个受到污染的湖泊,其湖水的容积 V=10 万立方米,每天流出湖泊的水量都是 r=2000 立方米. 现假设降水量和蒸发量正好平衡, 且污染物质与湖水能很好地混合, 用 g(t) 表示某一时刻 t 每 立方米湖水所含污染物质的克数, 我们称 g(t) 为在时刻 t 时的湖水污染质量分数,已知目前污染源以每 天 p=1000 克的污染物质污染湖水, 湖水污染质量分数满足关系式 g(t)=pr+g(0)-pr⋅e-t50, 其 中, g(0) 是初始的湖水污染质量分数.
(I) 当湖水污染质量分数为常数时, 求初始的湖水污染质量分数;
(II) 求证: 当 g(0)