专题12数列的建模与探究-原卷版

这是一份专题12数列的建模与探究-原卷版，共10页。试卷主要包含了小船通过小桥受阻的突破，垃圾处理中环境保护意识，数列某特性是否存在探究， 数列不等式的多角度探究等内容，欢迎下载使用。

一、小船通过小桥受阻的突破
问题1:在古运河上建有许多形状相同的抛物线形状的拱桥An(n=0,1,2,⋯),经测量知,相邻两座桥之间的距离an近似满足an=800+150n(n=1,2,3,⋯),当水面距拱顶5米时,桥洞水面宽为8米.每年汛期,船夫都要考虑拱桥的通行问题,已知一只宽4米、装有防汗器材的船露出水面部分的高为0.75米.
(I)要使该船能顺利通过拱桥,试问水面距拱顶的高度至少要几米?
(II)已知水面每小时上涨0.15米,船在静水中的速度为0.4米/秒,水流速度为15米/分,若船从A0桥起针顺水航行时,水面开始上涨,试问船将在哪一座桥受阻?
(III)若船通过An-1桥后,通过An桥时可能受阻,你会采取什么措施使该船顺利通过此桥?（船长、桥宽、采取措施所用时间忽略不计)
二、垃圾处理中环境保护意识
问题2:我国城市垃圾平均每年以9%的速度增长,设到A年底堆存的垃圾已达60亿吨,侵占了约5亿平方米的土地,而且还在以每年1亿吨的速度产生着新的垃圾.从资源学的观点看,生活垃圾也是资源.如果用1.4亿吨垃圾发电,可以节约2333万吨煤炭;如果将1.4亿吨垃圾进行处理,再添加粪便和秸秆,每年可生产1.5亿吨有机肥.
(I)A-10年时我国城市垃圾大约有多少亿吨?
(II)如果从第A+1年起,每年处理上年堆存垃圾的110,并按1:1进行发电和生产有机肥,则A+1、A+2两年每年可节约多少万吨煤炭、可生产多少亿吨有机肥、可节约多少亿平方米土地?（可以使用计算器)
(III)阅读并解决上述问题后,你对所接受的信息有何感想?
三、数列某特性是否存在探究
存在性探究问题的表征就是问题结论的不确定性,而揭示数列所呈现的规律就是要对这种不确定性实施判断和确定.数列探究题的突破一般从特殊情形开始,运用归纳思想(不完全归纳起步,数学归纳法证明),逐步将规律一点一点地暴露出来.下面以正整数的倒数数列1n为例,解读这一过程.面对数列1n:1,12,13,⋯,1n,⋯,它的前n项和Sn=1+12+13+⋯+1n,不能像等差数列和等比数列前n项和那样有公式、有规律可循,其内在的本质特征有哪些呢?比如Sn是否有规律呢?
问题3:已知Sn是数列1n的前n项和.
(I)分别计算S2-S1,S4-S2,S8-S4的值.
(II)证明:当n⩾1时,S2n-S2n-1⩾12,并指出等号成立的条件.(III)利用(II)的结论,找出一个适当的T∈N,使得ST>2008.
(IV)是否存在关于正整数n的函数f(n),使得S1+S2+⋯+Sn-1=f(n)Sn-1对于大于1的正整数n都成立?证明你的结论.
四、 数列不等式的多角度探究
对某一数学问题的多角度探究与深度思考是一种有效的教学设计方式,学生可以从整体上理解数学思想方法,不论从数学知识角度还是从数学方法广度的角度都能得到有效的收益,使学生不仅知其然而且能知其所以然.
问题4:已知an=3n3n+2,求证:a1+a2+⋯+an>n2n+1.
强化练习
1.水土流失是我国西部大开发中最突出的生态问题,全国9100万亩坡度在25∘以上的坡耕地需要退耕还林,其中西部地区占70%.2000年国家确定在西部地区退耕土地面积为515万亩,以后每年退耕土地面积递增12%.
(I)试问从2000年起,到哪一年西部地区基本解决退耕还林问题?
(II)为支持退耕还林工程,国家财政补助农民每亩300斤粮食,每斤粮食按0.70元折算,并且每亩退耕地每年补助20元,试问:到西部地区基本解决退耕还林问题时,国家财政共需支付约多少亿元?（可以使用计算器）
(III)阅读并解决上述问题后,你对所获得的信息有何感想?
2.某工厂“减员增效”,对部分人员实行分流,规定分流人员第一年可以到原单位领取工资的100%,从第二年起,以后每年只能在原单位按上一年的23领取工资.该工厂根据分流人员的技术特长,计划创办新的经济实体,该经济实体预计第一年属投资阶段,没有利润,第二年每人可获b元收人,从第三年起每人每年的收人可在上一年基础上递增50%.某人分流前工资收人为每年a元,分流后进人新的经济实体,第n年总收人为an元.
(I)求an.
(II)当b=8a27时,这个人哪一年收人最少?最少收人是多少?
(III)当b⩾3a8时,是否可以保证这个人分流一年后的收人永远超过分流前的年收人?
3.在当前市场经济条件下,某服装市场上私营个体商店中的商品所标价格a与其实际价值b之间存在着相当大的差距.对购物的消费者来说,这个差距越小越好,而商家则相反,于是就有消费者与商家的“讨价还价”,常见的方法是“对半还价法”,消费者第一次减去定价的一半,商家第一次讨价加上二者差价的一半;消费者第二次还价再减去二者差价的一半,商家第二次讨价,再加上二者差价的一半,如此下去,可得表1:
表1
消费者每次的还价bn(k∈N)组成一个数列bn.
(I)写出此数列的前三项,并猜测通项bn的表达式;
(II)求limn→+∞ bn;
(III)若实际价格b与定出的价格a之比为b:a=0.618:1,利用“对半还价法”讨价还价,最终商家将能有百分之几的利润?
4.学校餐厅每天供应1000名学生用餐,每星期一有两样菜A,B可供选择(每人选一样菜),调查资料表明,凡是在星期一选A的下星期一会有20%改选B,而选B的,下星期一则有30%改选A,用An,Bn表示在第n个星期一分别选A,B的人数.
(I)试用An,Bn分别表示An+1,Bn+1;
(II)证明:An+1=12An+300,Bn+1=12Bn+200;
(III)若A1=a,B1=b(a,b∈N),试求An,Bn.
5.如果数列an满足a1=a,an+1=pan+qran+s,求数列an的通项公式.
次数
消费者还价
商家讨价
第一次
b1=12a
c1=b1+12a-b1
第二次
b2=c1-12c1-b1
c2=b2+12c1-b2
第三次
b3=c2-12c2-b2
c3=b3+12c2-b3
⋯
⋯
⋯
第n次
bn=cn-1-12cn-1-bn-1
cn=bn+12cn-1-bn